Baccalauréat C Rennes septembre 1975

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Rennes septembre 1975 \ EXERCICE 1 Leplan affine euclidienorienté est rapporté au repère orthonormédirect ( O, ??ı , ??? ) . On considère le point A de coordonnées (1 ; 0) et le point B de coordonnées (0 ; 1). Soit S1 la similitude plane directe de centre A, d'angle dont une détermination est2pi 3 et de rapport 2. Soit S2 la similitude plane directe de centre B, d'angle dont une détermination est pi3 et de rapport 12 . 1. Quelle est la nature de T = S2 ?S1 ? 2. Soit M un point de coordonnées (x ; y), M ? le transformé de M par T . Exprimer les coordonnées x? et y ? de M ? en fonction de celles de M . EXERCICE 2 1. Montrer que l'équation : 7x+11y = 1 (1) admet des solutions dans Z?Z. 2. Résoudre dans Z/11Z l'équation : 7˙ . x = 1˙ (2) 3. Donner toutes les solutions de l'équation (1). PROBLÈME Soit ? l'ensemble des applications de R dans R trois fois dérivables sur R et E l'en- semble des fonctions f de? possédant la propriété : ?x ?R, f ???(x)?3 f ??(x)+3 f ?(x)? f (x)= 0 (1) 1.

• µb f2


• solution de l'équation


• réels ?


• courbe représentative


• de?


• coordonnées det?


• de? possédant la propriété


• point de coordonnées


• t?

Sujets

• Graphe d'une fonction

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1975
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Rennes septembre 1975\

E X E R C IC E 1 ³ ´ −→−→ Le plan affine euclidien orienté est rapporté au repère orthonormé directO,ı,. On considère le point A de coordonnées (1 ; 0) et le point B de coordonnées (0 ; 1). SoitS 1 ermination estla similitude plane directe de centre A, d’angle dont une dét 2π et de rapport 2. 3 π SoitS 2 la similitude plane directe de centre B, d’angle dont une détermination est 3 1 et de rapport. 2 1.Quelle est la nature deT=S 2 ◦S 1 ? ′ 2.SoitMun point de coordonnées (x;y),Mle transformé deMparT. ′ ′′ Exprimer les coordonnéesxetydeMen fonction de celles deM.

E X E R C IC E 2 1.Montrer que l’équation :

7x+11y=1 (1) admet des solutions dansZ×Z. 2.Résoudre dansZ/11Zl’équation :

˙ ˙ 7 .x=1 (2) 3.Donner toutes les solutions de l’équation (1).

P R O B L È M E SoitΩl’ensemble des applications deRdansRtrois fois dérivables surRetEl’en semble des fonctionsfdeΩpossédant la propriété : ′′′ ′′ ′ ∀x∈R,f(x)−3f(x)+3f(x)−f(x)=0 (1)

1.Montrer queΩ, muni de l’addition des fonctions et de la loi de multiplication des fonctions par un nombre réel, est un espace vectoriel surR. Montrer que la fonctionf 1 définie par :

x ∀x∈R,f 1 (x)=e est élément de E. Montrer queEest un sousespace vectoriel deΩ. 2.A tout élémentfdeEon associe la fonctiongdeΩdéfinie par :

−x ∀x∈R,g(x)=ef(x). ′′′ Montrer quegvérifie la propriété :∀x∈R,g(x)=0. Réciproquement, montrer qu’à toute fonctiongdeΩtelle que :

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

′′′ ∀x∈R,g(x)=0 on peut associer une fonctionfdeE. En déduire que : © ¡¢ ª 2x3 E=f/∀x∈R,f(x)=a+b x+c xe ,(a,b,c)∈R 3.On appellef 1 ,f 2 ,f 3 les trois fonctions définies par :

x x2x ∀x∈R,f 1 (x)=e ,f2(x)=xe ,f3(x)=xe . ¡ ¢ Montrer queB=f 1 ,f 2 ,f 3 est une base deE. Etudier les fonctionsf 1 ,f 2 ,f 3 et tracer dans un même repère leurs courbes représentatives respectivesC 1 ,C 2 ,C 3 . 4. a.Montrer que sifest un élément quelconque deE, la fonction dérivée de ′ f,f, est aussi élément deE. ⋆ En déduire que, quel que soitn∈N(nentier naturel non nul), la déri (n) vée d’ordrendef, que l’on notef, est élément deE. SoitDl’application de E dans E définie par :

′ ∀f∈E,D(f)=f ′ Montrer queDest linéaire. Exprimer les coordonnées defdans la base :n en fonction de celles def. En déduire queDest bijective. Déterminer −1 Dpuis une primitive def. λdésignant un réel négatif, calculer l’aireA(λ) du domaine limité par les courbesC 2 ,C 3 et les droites d’équationx=λetx=0. Cette aire atelle une limite quandλtend vers−∞? ¡ ¢ ′ b.SoitFle plan vectoriel deE, de baseB=f 1 ,f 2 . Montrer que∀h∈ F,D(h)∈F. ⋆ SoitDl’application deFdansFdéfinie par : ⋆ ∀h∈F,D(h)=D(h) ⋆ ⋆′ Dest linéaire. Quelle est la matriceΔ, deDdansB. 2 32n CalculerΔ=Δ×Δ,Δ=Δ×Δ, puisΔ(ndésignera un entier naturel supérieur ou égal à 3). n n−1 (On rappelle que,n > 2,Δ=Δ×Δ. ′ Soithun élément deFde coordonnées (a;b) dansB. Montrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, la fonction (n) dérivéenième deh,h, est élément deFet calculer les coordonnées (n) ( a n ;b n ) dehen fonction deaetb. 5. a.αdésignant un réel donné, à toute fonction réelleϕdéfinie surR, on fait correspondre la fonctionϕ α définie par :

Rennes

∀x∈R,ϕ α (x)=ϕ(x+α). Montrer que siϕest élément deE,ϕ α est alors aussi élément deE. À tout nombre réelα, on associe alors l’applicationT α deEdansEdéfi nie par :

∀f∈E,T α (f)=f α . Montrer queT α est linéaire. Eétant rapporté à la baseB, exprimer les coordonnées deT α (f) en fonc tion de celles def. En déduire queT α est bijective.

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septembre 1975

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

b.SoitTl’ensemble des applicationsT α (f) lorsqueαdécritR. Montrer que :T α (f)=T β (f)⇐⇒α=β. αetβdésignant deux réels quelconques, montrer que :

T α ◦T β ∈T; En déduire que l’application deRdansTqui, àα, fait correspondreT α est un isomorphisme de (R,+) dans (T,◦). 0 eTdésigne l’application identique deE On pos α =Id E (Id E dansE) et n n−1 ∀n > 1,T=T◦T α . α α n Montrer que :∀n∈N,T=T nα . α n Calculer dans la baseBles coordonnées deT(f) en fonction de celles α def. c.Montrer que :∀h∈F,T α (h)∈F. ⋆ SoitTl’application deFdansFdéfinie par : α ⋆ ∀h∈F,T(h)=T α (h) α Montrer queT α est une application linéaire bijective. ⋆n On poseT(h)=λ n f 1 +µ b f 2 . α ′ Calculer les coordonnées dehdans la baseBen fonction deλ n etµ n . N.B. : Le candidat pourra considérer comme connue la propriété suivante : L’ensemble des applications deRdansRmuni des lois + et . est un espace vectoriel surR.

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