Baccalauréat C Rouen juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Rouen juin 1979 \ EXERCICE 1 3 POINTS On dispose de deux dés cubiques dont chaque face a la même probabilité d'appa- raître après un lancer. L'un a une face numérotée 0, deux faces numérotées 1, trois faces numérotées 2 ; l'autre a trois faces numérotées 0, deux faces numérotées 1, une face numérotée 2. 1. On définit une variable aléatoire, X, par la somme des numéros de la face su- périeure de chaque dé après un lancer simultané. Déterminer la loi de probabilité de X, calculer son espérance mathématique et sa variance. 2. Pour chaque lancer simultané des deux dés, on appelle succès la réalisation d'une somme égale à 4. On effectue n lancers des deux dés. Calculer n tel que l'espérance mathématique du nombre de succès soit égale à 1. EXERCICE 2 4 POINTS 1. Calculer (ex +e?x 2 )2 ? (ex ?e?x 2 )2 . 2. Soit f l'application de R dans R définie par : f (x)= e x ?e?x 2 . a. Étudier les variations de f . Dessiner la courbe représentative de f dans le plan rapporté au repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . (On se contentera de déterminer les points de la courbe d'abscisses ?1, 0 et 1 et les tangentes à la courbe en ces points ; on ne demande pas d'étudier les branches infinies).

• directions respectives


• droites vectorielles


• somme des numéros de la face su


• projection vectorielle sur ∆2 de direction ∆1


• ?? e1


• ∆1


• équation dans le repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1979
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Rouen juin 1979\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS On dispose de deux dés cubiques dont chaque face a la même probabilité d’appa raître après un lancer. L’un a une face numérotée 0, deux faces numérotées 1, trois faces numérotées 2; l’autre a trois faces numérotées 0, deux faces numérotées 1, une face numérotée 2.

1.On définit une variable aléatoire, X, par la somme des numéros de la face su périeure de chaque dé après un lancer simultané. Déterminer la loi de probabilité de X, calculer son espérance mathématique et sa variance. 2.Pour chaque lancer simultané des deux dés, on appelle succès la réalisation d’une somme égale à 4. On effectuenlancers des deux dés. Calculerntel que l’espérance mathématique du nombre de succès soit égale à 1.

E X E R C IC E 2 µ ¶µ ¶ x−x 2 x−x 2 e+e e−e 1.Calculer−. 2 2 2.Soitfl’application deRdansRdéfinie par :

4 P O IN TS

x−x e−e f(x)=. 2 a.Étudier les variations def. Dessiner la courbe représentative defdans ³ ´ −→−→ le plan rapporté au repère orthonorméO,ı,. (On se contentera de déterminer les points de la courbe d’abscisses−1, 0et 1 et les tangentes à la courbe en ces points; on ne demande pas d’étudier les branches infinies). b.Dire pourquoifadmet une application réciproquegdont on détermi nera le nombre dérivé pour la valeury 0 =f ( x 0 ) en fonction dey 0 . 2x x c.yétant un réel fixé, résoudre e−2ye−1=0. ¡ ¢ ′ En déduire l’expression degpuis retrouverg y 0 .

P R O B L È M E 13 P O IN TS ³ ´ −→−→ SoitEun plan vectoriel r éel, P un plan affine de directionEet O,ı,un repère de P. On considère les vecteurs ³ ´³ ´ −→ 1 −→ −→−→ 1 →−−→ e 1 =ı+2,e 2 =ı−2. 2 2 et les points I , A et B de coordonnées respectives : Ã !Ã ! µ ¶ 1 12 12 −;et 00 ;; 0− 2 22 22 On désigne par : −→−→ •Δ 1 etΔ 2 les droites vectorielles engendrées respectivement pare 1 ete 2 ; •D 1 etD 2 les droites affines contenant I et de directions respectivesΔ 1 etΔ 2 .

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

Partie A ³ ´ −→−→ 1. a.Démontrer quee 1 ,e 2 est une base deE. b.On appellep 1 la projection vectorielle surΔ 1 de directionΔ 2 etp 2 la projection vectorielle surΔ 2 de directionΔ 1 . Démontrer que :

p 1 +p 2 =Id E ,p 1 ◦p 2 =p 2 ◦p 1 =θ E etp 1 ◦p 1 =p 1 . (Id E est l’application identique deEetθ E l’application nulle deE). 2.À tout nombre réelknon nul, on associe l’endomorphisme de E, 1 ϕ k =k∙p 1 + ∙p 2 k ⋆ et on désigne parΦ(E) l’ensemble desϕ k lorsquekdécritR. ³ ´³ ´ −→ −→−→ 1 −→ a.Démontrer queϕ k e 1 =k∙e 1 etϕ k e 2 = ∙e 2 . k b.En déduire que l’application : ⋆ R→Φ(E) k−→7ϕ k est bijective. ′ ′ c.Exprimerϕ k ◦ϕ k en fonction dek,k,p 1 etp 2 . Partie B Un appellef k l’application affine de P, d’endomorphisme associéϕ k et laissant I invariant. ⋆ Soit G l ’ensemble des applicationf k quandkdécritR. 1.Démontrer que G est stable pour la loi◦et quef 1 est l’application identique de P. (On pourra utiliser des résultats de A). ⋆ ψ:R→G 2.Soit . k7→−f k ¡ ¢ ⋆ a.Démontrer queψest un isomorphisme deR,×sur (G,◦) et préciser la structure de (G,◦). n b.Pour tout entier natureln, on définitfpar : k ½ 0 f=f 1 k n n−1⋆ f=f◦f k ∀n∈N k k n n Démontrer que pour tout entier natureln,f=f k . k Partie C ³ ´ −→−→ SoitHla courbe dont une équation dans le repèreO,ı,est : 2 2 2x−y+2x+1=0. 1.Démontrer queHest une hyperbole admettantD 1 etD 2 comme asymptotes. DessinerH. Indiquer les points d’intersection avec l’axe des ordonnées. 2. a.SoitMun point de coordonnées (x;y), démontrer qu’il existe un couple de réels (α;β) unique, tel queMsoit le barycentre du système pondéré : (A,α) (B,β) (I, 1−α−β). b.Démontrer qu’un pointMappartient àH, si et seulement si le couple (α;β) déterminé à la question précédente satisfait à 4αβ+1=0.

Rouen

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juin 1979

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

c.Démontrer que H est globalement invariante par toute applicationf k de G. Partie D 1.Démontrer que toute applicationf k de G, transforme tout pointMde coor ¡ ¢ ′ ′′ données (x;y) en le pointMde coordonnéesx,ydéfinies par :  µ ¶ µ¶ µ¶ 1 11 2 1 1   x=k+x+ +k−y− 2k2 4k2 p µ ¶µ ¶µ ¶ 2 11 11   y=k−x+ +k+y 2k2 2k 2.On appellera, par la suite,Sl’ensemble des couples d’entiers naturels (X;Y) tels que

2 2 2X−Y+2X+1=0. a.Démontrer qu’un couple (X;Y) appartient àSet satisfait àX 6 3 si el seulement si (X;Y) est égal à (0 ; 1) ou (3 ; 5). ′ b.Soit J et Jles points de coordonnées respectives (0 ; 1) et (3 ; 5). ′ Démontrer qu’il existe un seul réel non nulk, tel quef k (J)=J . On noteragl’applicationf k ainsi déterminée. Vérifier quegtransforme ¡ ¢ ′ ′′ tout pointMde coordonnées (x ; y) enMde coordonnéesx;ydéfi nies par : ½ ′ x=3x+2y+1 ′ y=4x+3y+2

N→P 3.On définit une applicationen posant : n−→7Q n ⋆ Q 0 =J,Q n =g ( Q n−1 ) ,∀n∈N. ³ ´ −→−→ On désigne par (a n ;b n ) les coordonnées deQ n O,dans le repèreı,. a.Démontrer que, pour tout entier natureln, (a n ;b n ) appartient àS. b.Calculer, pour tout entier natureln,a n etb n en fonction den.

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