Baccalauréat C Toulouse septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1978 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit f la fonction réelle de variable réelle qui, à x, associe f (x)= ??e?2x ?2e?x ?? 1. Étudier les variations de f . Étudier la continuité et la dérivabilité de f au point x0 =?Log2. Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé. 2. ? étant un réel supérieur ou égal à Log 2, calculer l'aire de l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant { ?Log2 6 x 6 ? 0 6 y 6 f (x). Soit A (?) cette aire. 3. Déterminer la limite de A (?) quand ? tend vers +∞ ? EXERCICE 2 4 POINTS Une urne contient n+8 boules distinctes de trois couleurs : n boules bleues (n entier > 2) 5 boules rouges 3 boules vertes. 1. On tire deux boules de l'urne sans remise et on se place dans l'hypothèse de l'équiprobabilité. Une règle du jeu a été établie de la façon suivante : – on gagne quand on tire deux boules de la même couleur – on perd quand on tire deux boules de couleurs distinctes. Calculer en fonction de n la probabilité pn de gain puis la probabilité qn de perte. Calculer lim n?+∞ pn .

• application de eb


• probabilité qn de perte


• image par ?a de la droite vectorielle d'équation cartésienne dans la base


• base orthonormée

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1978
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Toulouse septembre 1978\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Soitfla fonction réelle de variable réelle qui, àx, associe −2x−x ¯ ¯ f(x)=e−2e 1.Étudier les variations def. Étudier la continuité et la dérivabilité defau pointx 0 = −Log 2. Construire la courbe représentativeCdefdans un repère orthonormé. 2.λnsemble desétant un réel supérieur ou égal à Log2, calculer l’aire de l’e pointsMde coordonnées (x;y) vérifiant ½ −Log 2 6 x 6 λ 0 6 y 6 f(x). SoitA(λ) cette aire. 3.Déterminer la limite deA(λ) quandλtend vers+∞?

E X E R C IC E 2 Une urne contientn+8 boules distinctes de trois couleurs : nboules bleues (nentier > 2) 5 boules rouges 3 boules vertes.

4 P O IN TS

1.hypothèse deOn tire deux boules de l’urne sans remise et on se place dans l’ l’équiprobabilité. Une règle du jeu a été établie de la façon suivante : – ongagne quand on tire deux boules de la même couleur – onperd quand on tire deux boules de couleurs distinctes. Calculer en fonction denla probabilitép n de gain puis la probabilitéq n de perte. Calculer limp n . Ce résultat étaitil prévisible ? n→+∞ 2.On effectue maintenant une série de dix tirages de deux boules comme au 1. en remettant chaque fois les deux boules tirées dans l’urne. Calculer en fonction denla probabilitép n pour obtenir 9 fois et 9 fois seule ment un tirage de deux boules de la même couleur. Calculer limp n . Ce résultat étaitil prévisible ? n→+∞

P R O B L È M E 4 P O IN TS On donne : ³ ´ −→−→ Pplan vectoriel euclidien muni d’une base orthonorméeı, ³ ´ −→ D 1 , droite vectorielle dePde baseı ³ ´ −→ D 2 , droite vectorielle dePde base Al’ensemble des applications linéaires dePdansPqui laissent tout vecteur de D 1 invariant et la droite vectorielleD 2 globalement invariante. Partie A

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ 1.Montrer que toute application deAa une matrice dans la baseı,qui peut s’écrire sous la forme : µ ¶ 1 0 avecaparamètre deR−{0}. 0a µ ¶ ³ ´ 1 0 −→−→ On noteraϕ a dans la basel’application linéaire de matriceı,. 0a 2.Donner l’image parϕ a de la droite vectorielle d’équation cartésienne dans la ³ ´ −→−→ baseı,:

2 αx+βy=0avec (α;β)6=(0 ;0) et(α;β)∈R

En déduire que les seules droites laissées globalement invariantes parϕ a avec a6=1 sontD 1 , etD 2 .

Partie B

On donne : ³ ´ −→−→ P plan affine euclidien, associé àPO,, muni d’un repère orthonorméı,. Soient les points A (1 ; 0) ; B(−0) ; C (0 ; 1)1 ; SoitB b l’ensemble des applications affines de P dans P qui laissent O et A invariants − −→− → ′ et qui transforment C en Ctel que OC=bOC’ avecbparamètre fixe deR−{0 ; 1}. 1.Montrer queB b ne contient qu’une seule application que l’on noteraf b dont ³ ´ −→−→ on donnera l’expression analytique dans le repèreO,ı,. Caractériser cette application pourb=1 ; puis pourb= −1. 2.métant la projection orthogonale d’un pointMquelconque de P sur la droite − →−− − − →− ′ ′ (AB) ;Métant l’image deMparf b calculerm Men fonction dem M. 3.On désigne par E b l’image parf b du cercleΩde centre O de rayon OA. Déterminer E b pour|b| =1. Déterminer E b pour|b| 6=1 ; préciser les éléments remarquables. Partie C SoitCl’ensemble des applications affines de P dans P conservant globalement le cercleΩet conservant globalement la droite (AB). 1.Montrer queCest non vide et que toute application deCest bijective. 2.Montrer queCest la réunion de deux ensembles non vides notésC A et C B ,C A étant l’ensemble des applications deCpour lesquelles A est invariant et C B l’ensemble des applications deCpour lesquelles A est transformé en B. En déduire que toute application deClaisse O invariant. 3.SoitFune application quelconque deCetuson endomorphisme associé. Montrer queutransforme tout vecteur de norme 1 en un vecteur de norme 1. En déduire queuconserve la norme de tout vecteur deP(c’estàdire ³ ´ −→ −→−→ ∀V∈P, ° u V ° = ° V ° ). Quelle est la nature deF? 4.En déduire queCne contient que quatre applications que l’on caractérisera, Partie D SoitE b l’ensemble des applications affines de P dans P transformant le cercleΩen E b et qui laissent la droite (AB) globalement invariante.

Toulouse

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Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

1.Montrer que l’applicationf b du B est une application deE b . −1 2.Soitϕune application deE b , montrer quef◦ϕest une isométrie ponctuelle b de P. 3.Démontrer queE b ne contient que quatre applications affines que l’on déter minera.

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