Baccalauréat C Vientane juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Vientane juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. Soit f et g deux fonctions numériques définies au moins dans un intervalle ouvert non vide de centre x0. On sait que l'implication (1) : f continue en x0 et g continue en x0 =? f g continue en x0 g continue en x0 est vraie. L'implication (2) f g discontinue en x0 =? f discontinue en x0 ou g discontinue en x0 est-elle vraie ? 2. a. Soit F la fonction numérique définie dans [0 ; 1] par ?x ? [ 0 ; 16 ] : F (x) = 6x2+ x+1 ?x ? [1 6 ; 1 ] : F (x) = 6x+32x+5 Étudier la continuité de F en 16 . b. SoitG et H les fonctions numériques définies par : ?x ? [0 ; ] : G(x) = cos3pix H(x) = cos4pix Étudier la continuité des fonctions produit FG et FH en 16 . 3. L'implication (3) : f g continue en x0 =? f continue en x0 et g continue en x0 est-elle vraie quelles que soient les fonctions numériques f et g définies au moins dans un intervalle ouvert non vide de centre x0 ? EXERCICE 2 4 POINTS On considère l'application f : f ? ? ? ? C ? C (C ensemble des nombres complexes) z 7?? z4? z3+

• droites vectorielles


• coeffi- cients réels


• graphiquec dans le planp rapporté au repère orthonormé


• racine de l'équation


• axes de symétrie dec

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1977
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Vientane juin 1977\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS 1.Soitfetgdeux fonctions numériques définies au moins dans un intervalle ouvert non vide de centrex 0 . On sait que l’implication (1) : fcontinue enx 0 etgcontinue enx 0 =⇒f gcontinue enx 0 gcontinue enx 0 est vraie. L’implication (2) fdiscontinue enx 0 f gdiscontinue enx 0 =⇒ ou gdiscontinue enx 0 estelle vraie ? 2. a.SoitFla fonction numérique définie dans [0 ; 1] par · ¸ 1 2 ∀x∈:0 ;F(x)=6x+x+1 6 · ¸ 1 6x+3 ∀x∈; 1:F(x)= 6 2x+5 1 Étudier la continuité deFen . 6 b.SoitGetHles fonctions numériques définies par : G(x)=cos 3πx ∀x∈[0 ; ] : H(x)=cos 4πx 1 Étudier la continuité des fonctions produitF GetF Hen . 6 3.L’implication (3) : fcontinue enx 0 f gcontinue enx 0 =⇒ et gcontinue enx 0 estelle vraie quelles que soient les fonctions numériquesfetgdéfinies au moins dans un intervalle ouvert non vide de centrex 0 ?

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS On considère l’applicationf: C→C(Censemble des nombres complexes) f 4 3 2 ¯ z−→7z−z+z+2 1. a.Montrer que si l’équation (1):f(z)=0 admet pour racine le nombre complexeα, elle admet aussi pour racineα. 1 3 b.Montrer que 1+i et− +racines de l’équation (1) .i sont 2 2 c.Quel est l’ensemble des solutions de l’équation (1) ? En déduire une factorisation def(z).

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

2.Montrer quefest le produit de deux polynômes du second degré à coeffi cients réels.

P R O B L È M E 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Soit un plan vectoriel euclidienPrapporté à une base orthonorméeO,ı,. On rappelle que l’ensembleL(P) des endomorphismes deP, (applications linéaires dePdansPn espace), muni de l’addition et de la multiplication par un réel est u vectoriel surR.

Partie A ³ ´ −→−→ 1.Soitp,q,sles éléments deL(P) définies dans la baseı,par :  ³´  ³ ´  ³ ´ −→−→−→−→−→−→    p ı=ı qı=0s ı= ³ ´³ ´³ ´ −→−→−→−→−→−→    p=0q=ı s=ı

Montrer quepetqsont des projections. Quelle est la nature des? 2.SoitEle sousespace deL(P) engendré parp,q,s. Quelle est la dimension deE? 3.On noteFle sousensemble deL(P) constitué par les endomorphismesf ³ ´³ ´ −→−→−→−→ tels queı∙f=∙f ı. a.Montrer quefest élément deFsi, et seulement si, sa matrice dans la µ ¶ ³ ´ −→−→ a b baseı,est de la formeoùa,b,ddésignent trois nombres b d réels. b.Montrer queF=E. µ ¶ ³ ´ a b −→−→ 4.Soitfun élément deFde matriceoùa,b,ddans la baseı,. À tout b d ³ ´ −→−→−→ réelλon associe l’ensembleE λ des vecteursudePtels quef u=λu. a.Montrer queE λ est un sousespace vectoriel deP. b.Montrer qu’il existe en général deux valeurs distinctesλ 1 etλ 2 deλpour n o −→ lesquellesE λ 6=0 . c.Préciser la nature des endomorphismes correspondant aux cas d’excep tion. 5. a.Établir l’implication : ³ ´³ ´ −→−→−→−→−→−→ f∈F⇒ ∀u∈P,∀v∈P,u∙f v=v∙f u. b.Siλ 1 etλ 2 sont les valeurs deλ(distinctes) trouvées au 4. b., montrer que E Esont d λ 1 et λ 2 eux sousespaces vectoriels orthogonaux. Partie B Dans cette question on étudie le cas particulierf=p+2s−2q. ³ ´ −→−→ 1.Quelle est la matrice defdans la baseı,?festelle bijective ? 2.Déterminerλetλ(on choisiraλ<λ) et vérifier queEetEsont deux 1 21 2 λ 1 λ 2 ³ ´ −→−→ droites vectorielles orthogonales dont on donnera l’équation dans la baseı,. −→−→ On noteu 1 etu 2 deux vecteurs unitaires deEetE λ respectivem λ 1 2 ent. Quelle ³ ´ −→−→ est la matrice defdans la base orthonorméeu 1 ,u 2 ?

Vientane

2

juin 1977

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

Partie C On appelle P un plan affine euclidien associé au plan vectorielPet soit O un point deP.

1.Étudier la fonctiong:

R→R ³ ´ g : 2 3 2 ¯ x7−→−x−3−x+25 5 ³ ´ −→−→ et tracer son graphique Cdans le plan P rapporté au repère orthonorméO,ı,. (On prendra 1 cm pour unité). 2.Soitϕl’application affine de P telle que son endomorphisme associé soit l’en domorphismefétudié en B, et telle queϕ(0)=0. −1 a.Montrer queϕest bijective et déterminer analytiquementϕ. ³ ´ −→−→ 2 2 b.SoitCla courbe d’équationx+y−5=0 par rapport àO,ı,. On ′ ′ appelleCl’image deCparϕ. Déterminer une équation deCpar rap ³ ´ −→−→ port àO,ı,. ′ ′′ Montrer queCest la réunion deCet d’une courbeCdont on détermi 1 2 ′ ′ nera une équation. Prouver queCetCsont symétriques par rapport à 1 2 ′ O. En déduire le tracé deC. c.Caractériser géométriquement la courbeC. Quelle est son équation dans ³ ´ −→−→ ′ le plan rapporté au repèreO,ı,? En déduire une équation deCpar ′ rapport à ce repère. Etudier alors la nature deC. Quels sont les axes de ′ symétrie deC? Les tracer sur la figure faite en b.

Vientane

3

juin 1977