Baccalauréat ES Amérique du Nord juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 2002 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats En l'absence d'indications spécifiques, les résultats seront arrondis à 10?2 près. On effectuera les calculs statistiques à l'aide de la calculatrice. Aucun détail n'est alors demandé. Après injection d'une substance médicamenteuse, un laboratoire de recherche me- sure l'évolution de la quantité de cette substance dans le sang d'un individu. Après une série de mesures, on obtient les résultats donnés dans le tableau indi- qué en annexe (document 1), où x désigne le temps écoulé depuis l'injection (ex- primé en minutes) et y désigne la quantité de substance (exprimée en dixièmes de grammes par litre). Le nuage de points correspondant est indiqué sur le document 2 de la feuille annexe. Les mesures réalisées pour x = 10 et x = 60 ayant été plusieurs fois vérifiées, on juge que les points A et B sont fiables. On se propose de modéliser ce nuage à l'aide de la courbe représentative d'une fonction, afin de réaliser une prévision sur les points d'abscisses 50 et 70 pour lesquels les mesures n'ont pas été effectuées. Les questions 1 et 2 sont indépendantes. 1. On propose un premier modèle d'ajustement du nuage par une courbe C d'équation y = a ln(x)+b, et on impose à la courbe de passer par les points A et B.

• interpré- tation graphique


• tableau indi- qué en annexe


• coefficient de corré- lation linéaire de la série statistique


• feuille annexe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2002
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Français

Extrait

[ BaccalauréatESAmériqueduNordjuin2002\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
−2En l’absence d’indications spécifiques, les résultats seront arrondis à 10 près. On
effectuera les calculs statistiques à l’aide de la calculatrice. Aucun détail n’est alors
demandé.
Aprèsinjectiond’unesubstancemédicamenteuse,unlaboratoirederechercheme-
surel’évolutiondelaquantitédecettesubstancedanslesangd’unindividu.
Après une série de mesures, on obtient les résultats donnés dans le tableau indi-
qué en annexe (document 1), où x désigne le temps écoulé depuis l’injection (ex-
priméen minutes) et y désigne la quantité desubstance (exprimée en dixièmes de
grammes par litre).Le nuagedepoints correspondantest indiqué sur le document
2delafeuilleannexe.
Lesmesuresréaliséespour x=10et x=60ayantétéplusieursfoisvérifiées,onjuge
que les points A et B sont fiables. On se propose de modéliser ce nuage à l’aide de
lacourbereprésentatived’unefonction,afinderéaliseruneprévisionsurlespoints
d’abscisses50et70pourlesquelslesmesuresn’ontpasétéeffectuées.
Lesquestions1et 2sontindépendantes.
1. On propose un premier modèle d’ajustement du nuage par une courbe C
d’équation y= aln(x)+b, et on impose à la courbe de passer par les points
AetB.
a. Détermineralorslesréels a etb.
b. TracerlacourbeC surlafeuilleannexe(document2).
c. Prévoir,àl’aidedecepremiermodèle,lesquantitésmesurablespour
x=50et x=70.
2. Danscettequestion,ondétermineundeuxièmemodèled’ajustementdunuage.
a. Compléter le tableau (document 3) qui figuresur la feuille annexe avec
−3des résultats arrondisà 10 près. Calculer alors le coefficient decorré-
lationlinéairedelasériestatistique(t, y).Unajustementaffineparaît-il
alorsenvisageable?
b. Détermineruneéquationdeladroitederégressionde y en t parlamé-
thodedesmoindrescarrés.
c. Montrerquecesecondmodèleconduitàdesprévisionsdey,pourx=50
et x=70,égalesà2,70et1,04respectivement.
3. Une autre équipe de recherche a effectué les mesures pour x= 50 et x= 70
danslesmêmesconditionsetaobtenurespectivement y=2,4ety=0,6.Quel
modèledoit-onpréférerpourajustercenuage?BaccalauréatESjuin2002 A.P.M.E.P.
ANNEXE
Feuilleàrendreaveclacopie
Exercice1
Tableaudescoordonnéesdespointsdunuage(document1):
x 10 20 30 40 60 80
y 10 7,8 6 3,5 1,5 0,2
Nuagedepoints(document2):
12
A
10 ?
8 ?
6 ?
4
?
2 B
?
?0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
AmériqueduNord 2 juin2002BaccalauréatESjuin2002 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
I
gauche⇐= =⇒droite
a b c d e
Onconsidèrelecircuitdebillesschématisé parlafigureci-dessus.Unjoueur lâche
unebilleenIetonadmetqu’àchaquebifurcationlabilleprendladirectiongauche
1
avecuneprobabilitéde .
4
1. Réaliserunarbrepondérémodélisantcetteexpériencealéatoire.
2. a. Utiliser cet arbre pour déterminer les probabilités des évènements élé-
mentairessuivants,sousformedefractionsirréductibles:
A:«Labillearriveen a»;
B:«Labillearriveenb»;
C:«Labillearriveenc »;
D:«Labillearriveend »;
E:«Labillearriveene».
9
Vérifierquelaprobabilitédel’évènement Dest .
64
b. Parmi les évènements précédents, quel est l’évènement le moins pro-
bable?Leplusprobable?
3. Lejoueur gagne48points sila billearriveen a,16points siellearriveen b et
64 points sielle arriveen c.Ilnegagneriensi la bille arriveen d et ilperd 32
pointssiellearriveene.
a. OnnoteX lavariablealéatoireégaleaunombredepointsobtenus:ainsi
silabillearriveene,onaX=−32.Enutilisantlesrésultatsdeladeuxième
question,donnerlaloideprobabilitéde X.
b. CalculeralorsE(X),espérancemathématiquedeX.Lejoueura-t-ilinté-
rêtàjouer?
c. L’organisateurdujeusedoitdeproposerunjeuéquitable(c’est-à-diretel
queE(X)=0).Pourcelaildécidedemodifierlenombredepointsperdus
si la bille arriveen e. Quel nombredepoints perdusdoit-il choisir pour
queE(X)=0?
PROBLÈME 11points
Communàtouslescandidats
Onconsidèreunefonction f définiesurRparuneexpressiondelaforme
AmériqueduNord 3 juin2002BaccalauréatESjuin2002 A.P.M.E.P.
1 xf(x)=k+ (ax+b)e ,
4
oùa, betk sontdesnombresréelsquel’onseproposededéterminerdanslapartie
A.
PartieA
Sur la figure ci-dessous, on peut lire la représentation graphique de la fonction f
obtenue sur l’intervalle [0; 3] à l’aide d’un logiciel de tracé ou d’une calculatrice
graphique.Onpréciseque:
• Aestlepointdelacourbed’abscisse3,
• AupointA,lacourbeadmetunetangenteparallèleàl’axedesabscisses,
• LepointB(0;4)estunpointdelacourbe,
• Ladroite(BC)esttangenteàlacourbeaupointB,avecC(2;2,5).
4
3
2
1
1 2 3
1. Détermineruneéquationdeladroite(BC).
′ ′2. Donnerlesvaleursdesnombres f(0), f (0)et f (3).
′ ′3. Calculerl’expressionde f (x)enfonctiondea, betk, f désignantlafonction
dérivéede f.
4. Déduiredesrésultatsdesquestions2.et3.lesvaleursdesréelsa, b etk.Véri-
1 xfierquepourtout x réel: f(x)=5+ (x−4)e .
4
PartieB
1 xOn étudie maintenant la fonction f définie par : f(x)= 5+ (x−4)e sur son en-
4
semblededéfinitionR. ³ ´→− →−
OndésigneparC lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthogonal O, ı ,  .
−31. Calculer f(3) et en donner une valeur approchée à 10 près. Confronter ce
résultatàlafiguredelapremièrepartie.
2. a. Déterminerlalimitede f en+∞.
1
x xb. Démontrer que,pour tout réel x, f(x)=(5−e )+ xe etendéduirela
4
xlimite de f en−∞(onrappelle que lim xe =0).Quelleestl’interpré-
x→−∞
tationgraphiquedecerésultat?
AmériqueduNord 4 juin2002BaccalauréatESjuin2002 A.P.M.E.P.
3. a. Étudierlesvariationsde f etdressersontableaudevariations.
b. Démontrer que la courbeC coupe la droiteΔ, d’équation y=5, en un
pointEdontonpréciseralescoordonnées.
³ ´→−
4. TracerlacourbeC etladroiteΔ(unitésgraphiques:1cmsur O; ı et2cm
³ ´→−
sur O;  .
5. En utilisant une observation graphique et la remarque de la question 1 de la
partie B, indiquer le nombre de solutions de l’équation f(x)= 0 (on ne de-
mande pas de résoudre cette équation mais il faut justifier succinctement la
réponse).
PartieC
1. Vérifiergraphiquementque,pourtoutréelx dansl’intervalle[−2; 2]:
0? f(x)?5.
x2. Démontrerquelafonctiong,définieparg(x)=(x−1)e ,estuneprimitivesur
xRdelafonctionh:x7!xe .
1x x3. a. Vérifierque,pourtoutréel x,ona:5−f (x)=e − xe .
4
2b. Calculer, en cm , l’aire du domaine plan délimité par la courbe et les
droitesd’équations x=−2, x=2et y=5.Onhachureracedomainesur
−2legraphiqueetondonneraunrésultatexact,puisapprochéà10 près.
AmériqueduNord 5 juin2002