Baccalauréat ES Antilles–Guyane juin
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Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat ES Antilles–Guyane juin 1999 EXERCICE 1 4 points Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal, dont les unités sont 1 cm sur chaque axe. Construire ce repère sur votre copie en plaçant l'origine du repère en bas et à gauche. Partie A 1. Représenter la droite (D1) d'équation 3x + y = 30, la droite (D2) d'équation x+4y = 32 et la droite (D3) d'équation x+ y = 10. 2. Déterminer au moyen d'un calcul les coordonnées du point d'intersection I des droites (D1) et (D2). 3. Repérer graphiquement à l'aide d'une croix («? ») les points du plan dont les coordonnées sont des nombres entiers positifs, x et y , qui vérifient de plus les conditions : 3x+ y 30 ; x+4y 32 ; x+ y 10. Partie B Un artisan fabrique deux sortes de poupées : des petites poupées et des grandes poupées. Les petites poupées nécessitent 3 heures de travail et les grandes poupées une heure seulement. L'artisan, avec ses ouvriers, peut travailler 30 heures au plus par jour. L'artisan ne dispose que de 32 mètres de tissu par jour. Il lui faut 1 mètre de tissu pour habiller une petite poupée et 4 mètres pour habiller une grande poupée.
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Baccalauréat ES Antilles–Guyane juin 1999 EXERCICE 1 4 points Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal, dont les unités sont 1 cm sur chaque axe. Construire ce repère sur votre copie en plaçant l'origine du repère en bas et à gauche. Partie A 1. Représenter la droite (D1) d'équation 3x + y = 30, la droite (D2) d'équation x+4y = 32 et la droite (D3) d'équation x+ y = 10. 2. Déterminer au moyen d'un calcul les coordonnées du point d'intersection I des droites (D1) et (D2). 3. Repérer graphiquement à l'aide d'une croix («? ») les points du plan dont les coordonnées sont des nombres entiers positifs, x et y , qui vérifient de plus les conditions : 3x+ y 30 ; x+4y 32 ; x+ y 10. Partie B Un artisan fabrique deux sortes de poupées : des petites poupées et des grandes poupées. Les petites poupées nécessitent 3 heures de travail et les grandes poupées une heure seulement. L'artisan, avec ses ouvriers, peut travailler 30 heures au plus par jour. L'artisan ne dispose que de 32 mètres de tissu par jour. Il lui faut 1 mètre de tissu pour habiller une petite poupée et 4 mètres pour habiller une grande poupée.
- repère orthonormal
- annexedansun repère
- droite de régression
- tension
- journée de travail
- réel ? unique
- représentation graphique
Baccalauréat ES Antilles–Guyane juin 1999
EXERCICE1 Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité
4 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal, dont les unités sont 1 cm sur chaque axe. Construire ce repère sur votre copie en plaçant l’origine du repère en bas et à gauche.
Partie A
1.Représenter la droite (D1) d’équation 3x+y=30, la droite (D2) d’équation x+4y=32 et la droite (D3) d’équationx+y=10.
2.Déterminer au moyen d’un calcul les coordonnées du point d’intersection I des droites (D1) et (D2).
3.Repérer graphiquement à l’aide d’une croix («×») les points du plan dont les coordonnées sont des nombres entiers positifs,xety, qui vérifient de plus les conditions :
3x+y30 ;x+4y32 ;x+y10.
Partie B Un artisan fabrique deux sortes de poupées : des petites poupées et des grandes poupées. Les petites poupées nécessitent 3 heures de travail et les grandes poupées une heure seulement. L’artisan, avec ses ouvriers, peut travailler 30 heures au plus par jour. L’artisan ne dispose que de 32 mètres de tissu par jour. Il lui faut 1 mètre de tissu pour habiller une petite poupée et 4 mètres pour habiller une grande poupée. On désigne parxle nombre de petites poupées et paryle nombre de grandes pou pées produites dans une journée. L’artisan s’impose de fabriquer au moins 10 pou pées par jour. On admet que les contraintes de l’énoncé correspondent aux conditions suivantes :
xetysont deux nombres entiers positifs x0 ; y0 ;
3x+y30 ; x+4y32 x+y10.
Le nombre total de poupées produites dans une journée de travail est représenté par S=x+y. L’artisan veut que sa production journalièreSsoit maximum. Combien de poupées de chaque sorte doitil fabriquer ?
EXERCICE1 Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité
4 points
Une suite réelle ( Un)n∈Nest définie par son premier terme U0strictement positif et par la relation de récurrence suivante :
Un+1−Un= −0, 04Un.
Partie A
1.En fonction de U0, calculer U1, U2et U3.
Baccalauréat ES
2.Démontrer que cette suite est une suite géométrique de premier terme U0et de raisonqque l’on déterminera.
3.Quel est son sens de variation ?
4.Exprimer Unen fonction de U0et den.
Partie B er Le 1janvier 1997, la population d’une commune rurale était de 3000 personnes. On admet que cette population a diminué de 4 % par an.
er 1.Quelle a été la population de cette commune au 1janvier 1999 ?
er 2.Quelle sera la population de cette commune au 1janvier 2000 ?
3.À partir de quelle année la population chuteratelle à moins de 2 000 per sonnes ?
EXERCICE1 Commun à tous les candidats
5 points
Le tableau suivant donne la moyenneydes maximums de tension artérielle en fonc tion de l’âgexd’une population donnée.
Âgex36 42 48 54 60 66 Tensiony5 12,12 13,3 15,6 14,4 15 1.Représenter graphiquement le nuage de pointsM(x;y) dans un repère or thogonal. On prendra pour unités graphiques 0,5 cm pour 1 an en abscisse et 3 cm en ordonnée pour l’unité de tension artérielle, l’origine correspond au point 1 de coordonnées (30 ; 10).
2.Dans cette partie, vous pourrez utiliser votre calculatrice.
−2 a.Calculer à 10près le coefficient de corrélation entrexety. On admet qu’un ajustement par la méthode des moindres carrés est justifié.
b.Déterminer l’équation de la droite de régression deyenxet la représen ter (les coefficients seront donnés à 0,001 près).
c.Une personne de 70 ans a une tension de 16,1. Quelle serait sa tension théorique en utilisant la droite de régression ? Comparer avec la tension réelle.
d.Compléter le tableau de l’annexe en utilisant les valeurs de «a» et de «b» obtenues pour la droite de régression. (1 point) Calculer la somme des «carrés »de la dernière colonne, associée à cet ajustement (calcul de la somme des résidus associés à cet ajustement).
Antilles–Guyane
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juin 1999
Annexe : À rendre avec la copie (après l’avoir complétée) TABLEAUa=. . . . . .b=. . . . . . 2 xiyia xi+b yi−(a xi+b)yi−(a xi+b) 36 12 42 13,5 48 12,6 54 14,3 60 15,4 66 15 Somme des « carrés » de la dernière colonne : .. . . . . .
PROBLÈME
Baccalauréat ES
11 points
Le but du problème est l’étude d’une fonction et le calcul d’une aire liée à cette fonc tion.
Partie A La courbe (Γ) cijointe (annexe 1) est la représentation graphique dans un repère orthonormal d’une fonctiongdéfinie et dérivable sur ]0 ;+∞[. 2 3 e Les points A1 ;et Be ;appartiennent à la courbe (Γ) et la tangente en A à 2 2 (Γ) est parallèle à l’axe des abscisses.
1.Déterminerg(1) ;g(e) etg(1).
2.Déterminer les réelsaetb, sachant que la fonctiong; +est définie sur ]0∞[ par une expression de la forme :
2 x g(x)= +a+blnx. 2 2 x 3.Sachant queg(x)= +1−lnx, retrouver au moyen d’un calcul, le sens de 2 variation deg. (Le calcul des limites n’est pas demandé.) En utilisant ce dernier résultat, étudier le signe degsur ]0 ; +∞[.
Partie B
On considère la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ par
lnx x f(x)= +. x2 1.Calculer les limites defen 0 et en+∞. lnx (On admet le résultat suivant : limite en+∞de=0.) x
2.Calculer la dérivéefdef. g(x) Vérifier quef(x)=pour tout réel positifx. x
Antilles–Guyane
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juin 1999
En déduire les variations def.
Baccalauréat ES
3.Montrer que la représentation graphique (C) defdans un repère orthonor mal admet deux asymptotes que l’on précisera. −→−→ La courbe (C) defO,est donnée en annexe dans un repère orthonormalı,, unité 2 cm sur chaque axe. 1 4.On admet l’existence d’un réelαtel que; 1unique, appartenant àf(α)= 2 0. Que représenteαpour la courbe (C) ?Placer sur la courbe (C) le point I 2 2 α1+α d’abscisseα. Montrer que lnα= −. En déduire quef(α)=. 2 2α
Partie C
2 1.Calculer la dérivée de la fonctionhdéfinie sur ]0 ;+∞[ parh(x)=(lnx) . t lnx 2.En déduire le calcul de J =dx. 1x 3.Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine plan limité par (C), l’axe des abscisses, et les droites d’équationsx=1 etx=e. 2 Déterminer l’aire, en cm, de ce domaine.
Antilles–Guyane
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juin 1999
Antilles–Guyane
y
O
Annexe2 À rendre avec la copie (après l’avoir complétée) Courbe(Γ)
y
1
O
A
1
Courbe(C)
C
5
B
x
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