Baccalauréat ES Antilles Guyane septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1998 EXERCICE 1 4 points Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. Neuf amis, cinq garçons et quatre filles, décident de tirer au sort deux conducteurs, qui devront rester sobres durant une soirée. Chacun écrit son nom sur un carton glissé ensuite dans une boîte. L'un d'entre eux extrait au hasard, successivement et sans remise, deux cartons de la boîte. On définit les évènements G1, G2, F1 et F2 par : • G1 : « Un garçon est désigné au premier tirage » ; • G2 : « Un garçon est désigné au deuxième tirage » ; • F1 : « Une fille est désignée au premier tirage » ; • F2 : « Une fille est désignée au deuxième tirage ». 1. a. Calculer la probabilité que le nom d'une fille apparaisse au deuxième ti- rage sachant que le nom d'un garçon a été lu sur le premier carton. b. Calculer la probabilité de l'évènement G1?F2. La comparer à celle de l'évènement G2?F1. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait deux conductrices en fin de soirée. 3. Calculer la probabilité que le sort désigne une fille au deuxième tirage. 4. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de filles désignées. a. Déterminer la loi de probabilité de X . b.

• repère orthonormal


• ajustement linéaire


• nuage de point


• probabilité de l'évènement g1?f2


• coeffi- cient de corrélation linéaire de la série


• point de coordonnées


• points enseignement obligatoire

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1998
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESAntilles-Guyaneseptembre1998
EXERCICE1 4points
Touslesrésultatsserontdonnéssousformedefractionsirréductibles.
Neufamis,cinqgarçonsetquatrefilles,décidentdetirerausortdeuxconducteurs,
quidevrontrestersobresdurantunesoirée.
Chacunécritsonnomsuruncartonglisséensuitedansuneboîte.
L’und’entreeuxextraitauhasard,successivementetsansremise,deuxcartonsdela
boîte.
Ondéfinitlesévènements G ,G,F etF par:1 2 1 2
• G :«Ungarçonestdésignéaupremiertirage»;1
• G :«Ungarçonestdésignéaudeuxièmetirage»;2
• F :«Unefilleestdésignéeaupremiertirage»;1
• F :«Unefilleestdésignéeaudeuxièmetirage».2
1. a. Calculerlaprobabilitéquelenomd’unefilleapparaisseaudeuxièmeti-
ragesachantquelenomd’ungarçonaétélusurlepremiercarton.
b. Calculerlaprobabilitédel’évènement G ∩F .1 2
Lacompareràcelledel’évènement G ∩F .2 1
2. Calculerlaprobabilitéqu’ilyaitdeuxconductricesenfindesoirée.
3. Calculerlaprobabilitéquelesortdésigneunefilleaudeuxièmetirage.
4. Soit X lavariablealéatoireégaleaunombredefillesdésignées.
a. Déterminerlaloideprobabilitéde X.
b. Calculersonespérancemathématique E(X).
EXERCICE2 4points
Le tableau ci-dessous donne l’évolution duSMIC horaire (SalaireMinimum In-
terprofessionneldeCroissance)de1988à1996.
Date 07/88 07/89 07/90 07/91 07/92 07/93 07/94 07/95 07/96
Rangdel’année(x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9i
Montantenfrancs(y ) 28,76 29,91 31,28 32,66 34,06 34,83 35,56 36,98 37,91i
Source:INSEE.
1. Représenterlenuagedepointsassociéàlasérie(x ; y ).i i →− →−
Le plan est rapporté à un repère O, ı ,  d’unités graphiques 1 cm pour 1
ansurl’axedesabscisseset2cmpour1francsurl’axedesordonnées.
L’originedurepèrecorrespondaupointdecoordonnées(0;28).
−22. Àl’aidedelacalculatrice,donnerunevaleurapprochéeà10 prèsducoeffi-
cientdecorrélationlinéairedelasérie(x ; y ).i i
Pourquoipeut-onenvisagerunajustement linéaire?
3. Donnerune équation deladroitederégressionde y en x parlaméthodedes
moindrescarrés.
−2(Lescoefficientsserontdonnéspardesvaleursapprochéesà10 près.)BaccalauréatES
Tracercettedroitesurlegraphiqueprécédent.
(Les coordonnées des points utilisés pour le tracé de la droite seront indi-
quées.)
4. Estimer,àl’aidedel’équationdeladroitederégressionetenfaisantfigurer
surlacopielesétapesducalcul,lemontantprévisibleduSMICenjuillet1997.
5. Quelle est, en pourcentage, l’erreurcommise parrapport aumontant réel du
SMICquiétaitde39,93Fenjuillet1997?
EXERCICE3 5points
Enseignementobligatoire
Onconsidèreunefonction f delavariableréelle x,dontondonneletableaude
variations:
1−x −∞ 2 0 1 +∞
f (x) − 0 + −
+∞ +∞11
0f(x)
1−3 1
→− →−
Onappelle(C)lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormé O, ı , 
(unitésgraphiques2cmsurchaqueaxe).
PartieA
Eninterprétantletableaudonnéci-dessus:
1. Préciserl’ensemble dedéfinitionde f.
→− →−
2. Placerdanslerepère O, ı ,  :
a. l’asymptote horizontale(D);
b. l’asymptote verticale(D);
c. lepointAoùlatangenteà(C)esthorizontale.
PartieB
Ondonnemaintenantl’expression de f :
4 3
f(x)=1+ + .
2(x−1) (x−1)
1. Résoudreleséquations f(x)=0etf(x)=1.
Antilles-Guyane 2 septembre1998BaccalauréatES
2. Aumoyendevotrecalculatriceremplirletableausuivant(recopiercetableau
survotrecopie.)
x −1 −0,75 0,5 2 3 4
f(x)
3. Placerlacourbe(C)danslerepèredelaquestionA.2..
EXERCICE3 5points
Enseignementdespécialité
Onconsidèrelasuite(u ) définiepar:n n0

u = 1 0
1
 u = u +1.n+1 n
2
1. Calculer u , u et u .1 2 3
→− →−
2. Dansleplanrapportéàunrepèreorthonormal O, ı ,  d’unité graphique
1
4cm,tracerladroite(D)d’équation y = x etdroite(D)d’équationy = x+1.
2
Enutilisant (D )et(D),représentersurcegraphiquelespoints P,Q,R,S,T,U,
V,decoordonnéesrespectives:
(u ;0),(u ; u ),(u ; u ),(u ; u ),(u ; u ),(u ; u )(u ; u ).0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3
3. Soit(v ) lasuitedéfiniepar: v = u −2.n n nn0
a. Montrerque(v ) estunesuitegéométriquedontonpréciseralepre-n n0
miertermeetlaraison.
b. Exprimer v enfonctionde n,endéduirel’expressionde u fonctionden n
n.
c. Calculerlalimitede u .n
PROBLÈME 10points
Le but du problème est d’étudier une fonction, dont on connaît la représenion
graphique,d’étudierlaposition delacourbeparrapportàl’une desestangenteset
decalculeruneaire.
Soit f lafonctiondéfiniesur]0; +∞[par:
f(x)=2xlnx−x.
Ondésignepar(C)lacourbereprésentativede f. →− →−
Leplanestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  (voirannexe).
Unitésgraphiquesutilisées :2cmsurchaqueaxe.
Joindrecetteannexeàvotrecopie.
A.Étudedelafonctionf
1. Étudedeslimites de f auxbornesdesonintervalle dedéfinition.
Antilles-Guyane 3 septembre1998BaccalauréatES
a. Déterminer lim f(x).(Ondonne lim xlnx =0).
x→0 x→0
b. Déterminer lim f(x).(Onpourramettre x enfacteur).
x→+∞
2. Montrerque f (x)=2lnx+1.
3. Étudier lesignede f (x)etdresserletableaudevariationsde f.
4. Calculer lescoordonnéesdupointA,intersectiondelacourbe(C)etdel’axe
desabscisses.PlacercepointAsurlegraphiquedonnéenannexe.
B.Positionde(C)parrapportàl’unedesestangentes
1. Établir qu’une équation de la droite (∆), tangente en A à la courbe (C)est:

y =2x−2 e.
Placer(∆)surlegraphiquedonnéenannexe.
2. Soit g lafonctiondéfiniesur]0; +∞[par:

g(x)= f(x)−(2x−22 e).
a. Calculer g (x).
b. Àl’aidedutableaudevariationsde g montrerque g(x)0sur]0;+∞[.
Endéduirequelacourbe(C)estau-dessusdeladroite(∆)sur]0;+∞[.
C.Calculd’uneaire
1
2Soit H lafonctiondéfiniesur]0; +∞[parH(x)= x lnx− .
2
1. Calculer H (x).
e

2. Calculerlavaleurexactede 2xlnx−3x+2 e dx.
e
3. Cetteintégralecorrespondaucalculdel’aired’undomaineplan.
a. Coloriercedomainesurlafigure.
2 −2b. Donner, en cm , une valeur approchée à 10 près par défaut de cette
aire.
Antilles-Guyane 4 septembre1998BaccalauréatES
y
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1−
2e0
x0 1 2 e 3 401234
-1
1−
2−2e
Annexe
-2
Antilles-Guyane 5 septembre1998