Baccalauréat ES Antilles Guyane septembre, Antilles-Guyane
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[ Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 2005\ EXERCICE 1 5 points Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C d'une fonction f dé- rivable sur [ ? 3 2 ; +∞ [ . • Les points J ( ? 3 2 ; ? 3 2 ) , K(?1 ; 0), A(1 ; e) et B(2 ; 2) sont des points de C ; • La tangente à C en A est parallèle à l'axe des abscisses. • La tangente à C en B passe par T(4 ; 0). • La droite d'équation y = 1 est asymptote à C en +∞. • La fonction f est strictement croissante sur [ ? 3 2 ; 1 [ et strictement décrois- sante sur [1 ; +∞[. O K A J B T C ??ı ?? ? 1. a. Donner les valeurs de f ( ? 3 2 ) , f (?1), f (1), f (2) ainsi que la limite de f en +∞. b. Donner, en justifiant vos réponses, les nombres f ?(1) et f ?(2). 2. Soit g la fonction définie par g (x)= ln[ f (x)] et ? sa représentation graphique.
- équation de la droite d'ajustement
- durée d'efficacité de l'injection
- nuage de point
- repère semi-logarithmique
- représentation graphique
- phrase comparant les probabilités
- appareil
[BaccalauréatESAntilles-Guyaneseptembre2005\
EXERCICE 1 5points
Sur lafigureci-dessous, onatracélacourbereprésentativeC d’unefonction f dé-· ·
3
rivablesur ? ;?1 .
2 µ ¶
3 3
? LespointsJ ? ;? ,K(?1; 0),A(1;e)etB(2;2)sontdespointsdeC ;
2 2
? LatangenteàC enAestparallèleàl’axedesabscisses.
? LatangenteàC enBpasseparT(4;0).
? Ladroited’équation y?1estasymptoteàC en?1.· ·
3
? La fonction f est strictement croissante sur ? ; 1 et strictement décrois-
2
santesur[1;?1[.
A
B
C
!?
|
K T
!?O
ı
J
µ ¶
3
1. a. Donner les valeurs de f ? , f(?1), f(1), f(2) ainsi que lalimite de f
2
en?1.
0 0b. Donner,enjustifiantvosréponses,lesnombres f (1)et f (2).
2. Soit g lafonctiondéfiniepar g(x)?ln[f(x)]etΓsareprésentationgraphique.
a. Déterminer l’intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en
?1eten?1.
EndéduirelesasymptotesàlacourbeΓenprécisantuneéquationpour
chacuned’elles.
0 0b. Exprimer g (x) à l’aide de f(x) et f (x). En déduire le tableau de varia-
tionsde g.
0c. Déterminer g(2) et g (2), puis une équation de la tangente àΓ au point
0B d’abscisse2.
EXERCICE 2 5points
Dans cet exercice, A et B étant des évènements, A désigne l’évènement contraire de
l’évènementA, P(A)la probabilité deA et P (A)la probabilitéde A sachantque B estB
réalisé.
Uneentreprisefabriquedesappareilsengrandnombre.Uneétudestatistiqueaper-
misdeconstaterque10%desappareilsfabriquéssontdéfectueux.BaccalauréatES A.P.M.E.P.
L’entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces appareils avant
leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 80% des appareils défectueux,
mais il élimine également à tort 10% des appareils non défectueux. Les appareils
nonéliminéssontalorsmisenvente.
On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l’évènement «l’appareil est
défectueux»etVl’évènement «l’appareilestmisenvente».
1. Construireunarbrepondérérendantcomptedecettesituation.
³ ´
2. a. CalculerP(V\D)etP V\D .
En déduire que la probabilité qu’un appareil fabriqué soit mis en vente
aprèscontrôleest0,83.
b. Calculer la probabilité qu’un appareil mis en vente après contrôle soit
défectueux.
c. VérifierqueP (D)?0.24?P(D).V
Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d’ac-
quérir un appareil défectueux suivant que l’entreprise applique ou non
letestdecontrôle.
3. Uneentreprisedécided’appliquer lecontrôle,toutencontinuantàfabriquer
le même nombred’appareils. Elle fabriquaitetvendaitune quantité q d’ap-0
pareilsauprix p .0
Lespourcentagesdemandésserontarrondisàl’unité.
a. Quelle est, en fonction de q la nouvelle quantité q d’appareils mis en0 1
venteaprèscontrôle?
b. Dequelpourcentagelaquantitévenduea-t-ellediminué?
c. Queldoitêtrelenouveauprixp (enfonctiondep pourquel’entreprise1 0
maintiennesonchiffred’affaires?
Quelestalorslepourcentaged’augmentationduprixdevente?
EXERCICE 3 10points
Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent, la
substanceestéliminéeparlesreins.Laquantité q présentedanslesang(q enmil-i i
ligrammes) àl’instant t (t ,enheures) aétémesurée pardesprisesdesang toutesi i
lesdeuxheures.
t (heures) 0 2 4 6 8i
q (mg) 9,9 7,5 5,5 3,9 3i
PARTIEA
Modélisationparunefonctionaffine¡ ¢
Lenuagedepointsassociéàlasérie t ; q estreprésentédanslerepèreorthogonali i
ci-dessous.
1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajuste-
mentaffinede q en t parlaméthodedesmoindrescarrés(coefficientsarron-
?2disà10 );tracerladroiteDsurlafigure1.
2. En supposant que cemodèle reste valablependant 12 heures, quelle estima-
tion obtient-on de la quantité demédicament présente dansle sang au bout
de12heures?Qu’enpensez-vous?
PARTIEB
Recherched’unmodèlemieuxadapté
1. Représenter dans le repère semi-logarithmique ci-dessous le nuage de point¡ ¢
associéàlasérie t ; q .i i
Quel type d’ajustement l’allure de cette représentation permet-elle d’envisa-
ger?
Antilles-Guyane 2 septembre2005BaccalauréatES A.P.M.E.P.
11
q (mg)
10
10
9
8
7
6
5
5
4
3
2
1
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13t (heures)0 5 10
FIGURE 1–
2. Onpose y ?lnq .Recopieretcompléterletableauci-dessous(valeursarron-i i
diesaucentième).
t (heures) 0 2 4 6 8i
y (mg)i
3. Déterminer à l’aide dela calculatrice une équation dela droited’ajustement
affinede y en t par laméthode desmoindres carrés(coefficients arrondisau
centième).
4. Montrerquel’expressionde q enfonctionde t obtenueàpartirdecetajuste-
?btmentestdelaforme q?ae où a estarrondiàl’unitéetb aucentième.
5. Étudierlesensdevariationdelafonction f définiesur[0;15]par:
?0,15tf(t)?10e .
TracersacourbereprésentativeCsurlafigure1.
6. Onsupposequecenouveaumodèlerestevalablependant12heures.Calculer
?1à 10 près la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12
heures.Placerlepointcorrespondantsurlegraphique.
PARTIEC
f(t?1)?f(t)
1. Calculer . Interpréter le résultat par une phrase concernant le
f(t)
pourcentagedevariationdelaquantitédemédicamentprésentedanslesang.
2. Lemédicamentresteefficacetantquelaquantité présentedanslesangreste
supérieureà2mg.
Déterminergraphiquement,à1heureprèspardéfaut,laduréed’efficacitéde
l’injection.
3. Calculer,àundixièmedemilligramme près,laquantitémoyennedemédica-
mentprésentedanslesangpendantles10heuresquisuiventl’injection.
Antilles-Guyane 3 septembre2005
bbbbbBaccalauréatES A.P.M.E.P.
q (mg)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 5 10 t (heures)
FIGURE 2–
EXERCICE 4 5points
Enseignementdespécialité
Sur unmarchéoùseulunproduitAétaitprésent, unnouveau produitBestmisen
venteàpartirdel’année2003.Uneenquêteamontréque:
? la probabilité qu’un client de A, une année donnée, reste fidèle à A l’année
suivanteest0,67;
? la probabilité qu’un client de B, une année donnée, choisisse A l’année sui-
vanteest0,27.
Onsuppose quelaclientèle totale pour les deuxproduits nechangepas.Onprend
unclientauhasardl’année(2002?n).
Notations:
– OnappelleAl’état«acheterleproduitA»;
– OnappelleBl’état«acheterleproduitB»;
– Onnote a laprobabilitéquececlientachèteApendantl’année(2002?n).n
– Onnoteb laprobabilitéquececlientachèteBpendantl’année(2002?n).n
– Onadonc a ?1etb ?0.0 0
1. Traduirelesdonnéesdel’énoncéparungrapheprobabilistedesommetsAet
B.
LamatriceMdecegrapheprobabiliste,enconsidérantlessommetsdugraphe
dansl’ordreApuisB,estdonc:
µ ¶
0,67 0,33
M?
0,27 0,73
2. OnappelleP ?(a b )lamatricedécrivantl’étatprobabilistedelaclientèlen n n
l’année(2002?n)
Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatES A.P.M.E.P.
a. Donnerlarelationmatricielleliantl’étatP àl’étatP .CalculerP ettra-1 0 1
duirecerésultatparunephrase.
b. Calculerettraduiredemêmel’étatP .2
3. a. ExprimerP enfonctiondeP .Endéduiteque,pourtoutentier n,onn?1 n
a:
a ?0,67a ?0,27b puis a ?0,4a ?0,27.n?1 n n n?1 n
b. On définit la suite (u ) par u ? a ?0,45 pour tout entier n. Montrern n n
que (u ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et len
premierterme.
c. Exprimeru puis a etb enfonctionden.n n n
4. a. Quellessontleslimitesrespectivesa etbdessuites a et b .Exprimer( ) ( )n n
cesrésultatsentermesderépartitionsurlemarchédesproduitsAetB.
b. OnposeP?(a b).
VérifierqueP=P?M.
Quereprésentel’étatP?Dépend-ildel’étatinitialP ?0
Antilles-Guyane 5 septembre2005
