Baccalauréat ES Antilles septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat ES Antilles septembre 2003 EXERCICE 1 9 points Commun à tous les candidats Le but de cet exercice est l'étude d'une fonction définie partiellement par sa repré- sentation graphique ; on considère la fonction f définie sur par : f (x)= ax+bx ln(x)?1, où a et b sont deux réels non nuls. La courbe représentative C de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; 2] est donnée en an- nexe (à rendre avec la copie). Partie A 1. a. Déterminer graphiquement f (1). b. En déduire que a = 3. 2. On sait que f ( e? 32 ) =?6e? 32 ?1. En déduire la valeur de b. Dans la suite du problème la fonction f est définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x)= 3x+6x ln(x)?1. Partie B 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. (On pourra utiliser le résultat suivant : lim x?0x ln(x)= 0.) 2. a. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ ; montrer que pour tout x ? ]0 ; +∞[, f (x)= 9+6ln(x).

• estimation de la part des femmes élues


• équation de la droite d'ajustement


• séries statistiques


• repré- sentation graphique


• droite sur le graphique précédent


• points enseignement obligatoire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2003
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESAntillesseptembre2003
EXERCICE 1 9points
Communàtouslescandidats
Lebutdecetexerciceest l’étude d’unefonction définiepartiellement parsa repré-
sentationgraphique;onconsidèrelafonction f définiesurpar:
f(x)=ax+bxln(x)−1,
où a etb sontdeuxréelsnonnuls.
LacourbereprésentativeC delafonction f surl’intervalle ]0;2]estdonnéeenan-
nexe(àrendreaveclacopie).
PartieA
1. a. Déterminergraphiquement f(1).
b. Endéduireque a=3.
³ ´
3 3− −
2 22. Onsaitque f e =−6e −1.
Endéduirelavaleurdeb.
Danslasuiteduproblèmelafonction f estdéfiniesur]0;+∞[par:
f(x)=3x+6xln(x)−1.
PartieB
1. Déterminerleslimitesdelafonction f en0eten+∞.
(Onpourrautiliserlerésultatsuivant: limxln(x)=0.)
x→0
2. a. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[; montrer que pour tout x∈
]0;+∞[, f(x)=9+6ln(x).
′b. Étudier le signe de f et en déduire les variations de la fonction f sur
l’intervalle]0;+∞[.
3. a. Déterminerl’équationdelatangenteD àlacourbeC aupointd’abscisse
1.
b. Tracer en couleur la droiteD sur la figure de l’annexe ainsi que la tan-
3−
2genteaupointd’abscissee .
PartieC
Sur la figure de l’annexe, les graduations représentent 1 unité en ordonnée et 0,1
unitéenabscisse.
1. Combiend’unitésd’airereprésenteuncarreau?
Envousappuyantsurlafiguredel’annexe,donnerunencadrementd’ampli-
Z2
tudeinférieureouégaleà2del’intégrale f(x)dx.
1
2. Onconsidèrelafonction g définiesur]0;+∞[par:
2g(x)=3x ln(x).
′a. On admet que g est dérivablesur ]0 ; +∞[; déterminer la dérivée g de
g.BaccalauréatES
Z2
b. Endéduireuneprimitivede f sur]0;+∞[etcalculer f(x)dx.
1
−1Donnerunevaleurapprochéedurésultatà10 près.
y
1
O 1 x0,1 2
EXERCICE 2 6points
Dansune fête foraine, Julie décidede jouer à un jeu dontchaque partie se déroule
delafaçonsuivante:
• Elletireunjetondansuneurnecontenant7jetonsrougeset2bleus.
• S’il est bleu elle gagne, sinon, sans remettre le premier jeton tiré, elle en tire
undeuxième.
• S’il est bleu elle gagne, sinon, sans remettre les deux précédents, elle en tire
untroisième.
• S’ilestbleuellegagne,sinonelleaperdulapartie.
1. Pourlescalculssuivants,onpourras’aiderd’unarbrepondéré.
Lesrésultatsserontdonnéssousformedefractionsirréductibles.
a. Déterminerlesprobabilitésdesévènementssuivants:
• A:«Juliegagneenuntirageexactement»;
• B:«Juliegagneendeuxtiragesexactement»;
• C:«Juliegagneentroistiragesexactement».
b. Calculerlaprobabilitédegagneràcejeu.
2. On suppose dans la suite de l’exercice qu’à chaque partie la probabilité de
7
gagnerest .
12
Àchaquepartiegagnée,Juliegagne1ticket.Ellearemarquéunjolipetitour-
sonenpeluchequ’ellepeutobteniravecaumoins3tickets.
Elledécidedoncd’effectuerquatrepartiesconsécutives.
Onsupposequelespartiessontindépendantes.
Onappellek lenombredeticketsgagnésparJulielorsdesquatrepartieseton
noteraP(A)laprobabilitédel’évènementA.
−3a. MontrerqueP(k=2)≈0,354à10 près.
Antilles-Guyane 2 septembre2003BaccalauréatES
−3b. Ondonne,à10 près:
P(k=0)≈0,030;
P(k=1)≈0,169;
P(k=3)≈0,331;
P(k=4)≈0,116.
Déterminer la probabilité pour que Julie reparte avec l’ourson à l’issue
desquatreparties.
3. Lamisepourquatrepartiesestde5€.
Les gains sont des bibelots dont la valeur, en fonction du nombre de tickets
gagnés,estdonnéedansletableauci-dessous:
Nombredetickets 0 1 2 3 4
Valeurdugain(en€) 0 0,75 0,75 6 10
OnappelleG legaindeJulie,c’est-à-direcequ’ellegagnecomptetenudeses
mises.
a. QuellessontlesdifférentesvaleursprisesparG?
b. DéterminerlaloideprobabilitédeG (onpourrautiliserlesrésultatsdon-
nésàlaquestion2.).
c. Calculer l’espérance mathématique de G et commenter le résultat ob-
tenu.
EXERCICE 3 5points
Enseignementobligatoire
La part des femmes élues maires de 1947 à 2001 est donnée en pourcentage par le
tableausuivant:
Année 1947 1953 1959 1965 1971 1977 1983 1989 1995 2001
Rang x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9i
Part y (%) 0,7 0,8 1 1,1 1,7 2,6 4 5,5 7,6 11,3i
Pourtoutl’exercice,lesdétailsdescalculsstatistiquesnesontpasdemandés.
1. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique (x ; y ) dansi i
unrepèreorthonormé(unités:1cm).
2. Donneruneéquationdeladroited’ajustementaffinedey enxparlaméthode
desmoindrescarrés(lescoefficientsserontarrondisaucentième).
Tracercettedroitesurlegraphiqueprécédent.
3. Ensupposant quecetajustement restepertinent jusqu’en 2007, calculer une
estimationdelapartdesfemmeséluesmairesen2007.
4. Laformedunuagedepointslaissepenser qu’unautreajustement seraitpré-
férable.Pourcela,onpose z=lny,oùlnestlafonctionlogarithmenépérien.
a. Faire un tableau faisant apparaître les valeurs x et les valeurs z = lny,
arrondiesaucentième.
b. Donner une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la
méthodedesmoindrescarrés,lescoefficientsétantarrondisaucentième.
0,32c. Endéduirel’ajustement y=0,54e x.
Antilles-Guyane 3 septembre2003BaccalauréatES
d. Ensupposantquecetajustementrestepertinentjusqu’en2007,calculer
uneestimationdelapartdesfemmeséluesmairesen2007.
EXERCICE 3 5points
Enseignementdespécialité
Lafiguredonnéeenannexe(àrendreaveclacopie)représenteunepyramideSABCD
desommetS.
Ondonnelescoordonnéesdespointssuivantsdansunrepèreorthonormal³ ´→− →− →−
O, ı ,  , k :
S(0;0;5);A(0;2;0);B(2;0;0);C(0;−2;0);D(-2;0;0);M(0;1;0).
1. DémontrerquelabaseABCDdelapyramideestuncarré.
2. a. Sansaucuncalcul,donneruneéquationduplancontenantlespointsA,
B,CetD.
b. Détermineruneéquationduplan(ABS).
3. a. Vérifierqueleplan(BCS)admetpouréquation:5x−5y+2z=10.
b. PlacerlepointN(1;−1; 1).Est-ildansleplan(BCS)?
4. a. DétermineruneéquationduplanR parallèleauplan(BCS)passantpar
lepointM.
b. DessinerlestracesduplanR surlesplans(xOy),(yOz)et(xOz).
Antilles-Guyane 4 septembre2003BaccalauréatES
Annexe
z
S
→−
k D
C
O →−
M
→− Aı
yB
x
Antilles-Guyane 5 septembre2003