Baccalauréat ES Centres étrangers juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2000 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] dont la représentation graphique, dans un repère orthonormal ( O, ?? ı , ?? ? ) , est la courbe (C ) donnée en an- nexe. Cette annexe est à rendre avec la copie. Les points M, N, P, Q et R appartiennent à (C ). Les coordonnées de M sont ( 0 ; 3 2 ) , celles de N sont ( 1 ; 7 2 ) , celles de P sont ( 2 ; 5 2 ) , celles de Q sont ( 3 ; 3 2 ) et celles de R sont ( 4 ; 7 2 ) . La courbe (C ) admet en chacun des points N et Q une tangente parallèle à l'axe des abscisses. La droite (∆) est la tangente à la courbe (C ) au point P ; elle passe par le point S de coordonnées (3 ; 1). 1. a. Donner f ?(1), f ?(2) et f ?(3). b.

• droites d'équations respectives


• courbe


• points candidats


• production du modèle ? pour l'année


• coordonnées des points d'intersection


• production du modèle ? pour l'année


• représentation graphique

Sujets

• Courbe
• Représentation graphique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESCentresétrangersjuin2000
EXERCICE1 5points
Communàtouslescandidats
Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0; 4] dont la représentation →− →−
graphique,dansunrepèreorthonormal O, ı ,  ,estlacourbe(C)donnéeenan-
nexe.Cetteannexeestàrendreaveclacopie.
3
LespointsM, N, P, QetRappartiennentà(C).LescoordonnéesdeMsont 0; ,
2

7 5 3
cellesdeNsont 1; ,celles dePsont 2; ,celles deQsont 3; etcelles de
2 2 2

7
Rsont 4; .
2
Lacourbe(C)admetenchacundespoints N etQ unetangenteparallèleàl’axedes
abscisses.
La droite (∆) estla tangente àla courbe(C)au point P; elle passe par le point Sde
coordonnées(3;1).
1. a. Donner f (1), f (2)et f (3).
b. Détermineruneéquationdeladroite(∆).
2. a. Déterminer à l’aide du graphique le nombre de solutions de l’équation
f(x)=3surl’intervalle[0;4].
x 3
b. Tracer la droited’équation y = + sur le document en annexe puis, à
2 2
x 3
l’aidedugraphique,résoudrel’inéquation f(x)< + .
2 2
3. La fonction f estla dérivéed’une fonction F définiesur l’intervalle [0; 4]. En
justifiantlaréponse,donnerlesensdevariationde F.
4. Soit g lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;4]par:
1
g(x)= .
f(x)
a. Donnerletableaudevariationsde f.
b. Endéduireletableaudevariationsde g.BaccalauréatES
Annexe à rendre avec la copie
N R
P
(C)
M
Q

S
(∆)
O ı
EXERCICE2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
1. Une entreprise a fabriqué 20000 objets d’un modèle α en 1999. Elle réduit
progressivementcetteproductionde2500piècesparanjusqu’àcequelapro-
duction devienne nulle. On note u la production du modèle α pour l’année0
1999 et u laproductiondumodèleαpourl’année(1999+ n).n
a. Calculer u et u .1 2
b. Exprimer u enfonctionde u .n+1 n
Quelleestlanaturedelasuite(u )?n
c. Exprimer u enfonctionde n.n
d. Déterminerlenombretotald’objetsdemodèleαquiaurontétéproduits
erdu1 janvier1999au31décembre2007.
2. Dès 1999, cette entreprise lance un nouveau modèleβ. 11000 objets du mo-
dèleβontétéproduitsen1999. Laproductiondumodèleβaugmentede8%
chaqueannée.Onnote v laproductiondumodèleβpourl’année1999et v0 n
laproductiondumodèleβpourl’année (1999+ n).Lesrésultatsnumériques
serontarrondisàl’unitéprès.
a. Vérifierque v =11880etcalculer v .1 2
Centresétrangers 2 juin2000BaccalauréatES
b. Exprimer v enfonctionde v .Quelleestlanaturedelasuite(v )?n+1 n n
c. Exprimer v enfonctionde n.n
d. Calculerlaproductiondel’année2007.
e. Déterminerlenombretotald’objetsdemodèleβquiaurontétéproduits
erdu1 janvier1999au31décembre2007.
EXERCICE2 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
1
Soitlasuite u définiepar u =1et,pourtoutentiernaturel, u = u +3n 0 n+1 n
4
1
1. Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle[0;+∞[parf(x)= x+3.
4
a. Tracerdansunmêmerepèreorthonormald’unité2cmlareprésentation
graphique(D)delafonctionf etladroite(∆)d’équationy = x.
b. Calculerlescoordonnéesdupointd’intersectiondecesdeuxdroites.
c. Enfaisantapparaîtrelemodedeconstruction,utilisercegraphiquepour
représenter u ,u et u surl’axedesabscisses.1 2 3
d. Quelssemblentêtrelesensdevariationetlalimitedelasuite(u )?n
2. Soitlasuite(v )définiepourtoutentiernaturelpar v =u −u .n n n+1 n
1
a. Montrerque,pourtoutentiernaturel, v = v .n+1 n
4
Quelleestlanaturedelasuite(v )?Précisersonpremierterme v .n 0
b. Exprimer v enfonctionde n.n
enfonctiondeu etendéduireque,pourtoutentiernaturelc. Exprimer vn n
n,
n
1
u =−3× +4.n
4
)d. Déterminerlesensdevariationdelasuite(un
).e. Déterminerlalimitedelasuite(un
PROBLÈME 10points
Communàtouslescandidats
PartieA
Soit g lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[par:
2
g(x)= x +1−lnx.
1. Calculerlafonctiondérivéede g etétudiersonsigne.
Centresétrangers 3 juin2000BaccalauréatES
2. Donnerletableaudevariationsde g (onnedemandepasleslimitesen0eten
+∞).Endéduirelesignede g(x)pourx appartenantàl’intervalle]0;+∞[.
PartieB
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[par:
1 lnx
f(x)= x+ +
2 x
→− →−
etsoit(C)sareprésentationgraphiquedansunrepèreorthonormal O, ı ,  d’unité
graphique2cm.
1. a. Déterminerlalimitede f en0.Interprétergraphiquementcerésultat.
lnx
b. Déterminerlalimitede f en+∞.(Onrappelleque lim =0.)
x→+ ∞ x
g(x)
2. Montrerque,pourtoutx del’intervalle]0; +∞[, f (x)= où f estlafonc-
2x
tiondérivéede f.Endéduirelesignedef (x)puisletableaudevariationde f.
3. Montrer que l’équation f(x) = 3 admet une unique solution x dans l’inter-0
valle[2; 3].
− 2Àl’aidedelacalculatrice,donnerunencadrementd’amplitude10 de x .0

1
4. a. Calculer lalimite de f(x)− x+ lorsque x tendvers+∞.Interpré-
2
tergraphiquement cerésultat.
b. Calculer lescoordonnéesdupoint A,intersection delacourbe(C)avec
1
ladroite(D)d’équationy = x+ .
2
c. Détermineruneéquationdelatangente(T)àlacourbe(C)aupointA.
d. Étudierlapositiondelacourbe(C)parrapportàladroite(D).
→− →−
5. Tracer (C), (D)et(T) dans le repère orthonormal O, ı ,  d’unité gra-
phique2cm.
PartieC
Soit F lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[par:
2 2x +x+(lnx)
F(x)=
2
1. Montrerque F estuneprimitivede f surl’intervalle]0;+∞[
2. a. Hachurer,surlegraphiqueprécédent,ledomaine E limitéparlacourbe
(C), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x =1et
x =e.
b. Calculer l’airede E enunitéd’aire,demanièreexacte.
2c. Donnerlavaleurexactedecetteaireencm etendonnerlavaleurdéci-
malearrondieaudixième.
Centresétrangers 4 juin2000