Baccalauréat ES Nouvelle Calédonie novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie \ novembre 2005 EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats On considère la fonction f défi- nie sur l'intervalle [0 ; 6] par : f (x)= 34x 2?3x+6 La courbe (C f ) ci-contre est re- présentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan d'origine O. La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe (C f ), l'axe des abscisses, l'axe des ordonn ées et la droite d' équation x = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -1 1 2 3 4 5 6-1 O 1. Calculer, en unités d'aire, l'aire S de la partie hachurée. 2. Onconsidère unpointM appartenant à la courbe (C f ) d'abscisse x avec x ? [0 ; 6]. La parallèle à l'axe des ordonn ées passant par M coupe l'axe des abscisses en un point H . La parallèle à l'axe des abscisses passant par M coupe l'axe des ordonnées en un point K . On appelle R(x) l'aire, en unit és d'aire, du rectangle OHMK . Prouver que, pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 6],R(x)= 0,75x3 ?3x2+6x.

• sym étrie axiale d'axe


• allure du nuage de points associ


• sym étrie d'axe


• axe des abscisses


• nature de l'intersection de la surface


• point a?

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2005
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatESNouvelle-Calédonie\
novembre2005
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
15
14
13
12
11
On considère la fonction f défi-
niesurl’intervalle[0; 6]par: 10
3 2f(x)? x ?3x?6 9
4
La courbe (C ) ci-contre est re-f 8
présentative de la fonction f
dans un repère orthonormal du 7
pland’origineO.
La partie hachurée ci-contre est 6
limitée par la courbe (C ), l’axef
5des abscisses, l’axe des ordonn
éesetladroited’équation x?6.
4
3
2
1
O
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1. Calculer,enunitésd’aire,l’aireS delapartiehachurée.
2. OnconsidèreunpointM appartenantàlacourbe(C )d’abscissexavecx2[0; 6].f
Laparallèleàl’axedesordonnéespassantparM coupel’axedesabscissesen
unpointH.
Laparallèleàl’axedesabscissespassantpar M coupel’axedesordonnéesen
unpointK.
OnappelleR(x)l’aire,enunitésd’aire,durectangleOHMK.
3 2Prouverque,pourtoutxappartenantàl’intervalle[0; 6],R(x)?0,75x ?3x ?6x.
3. On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de x de l’intervalle
[0; 6]tellesquel’aireR(x)durectangleOHMK soitégaleàl’airehachuréeS.
a. Montrerqueleproblèmeprécédentrevientàrésoudrel’équationg(x)?0
oùg estlafonctiondéfiniesurl’intervalle[0; 6]par:
3 2g(x)?0,75x ?3x ?6x?36.BaccalauréatES A.P.M.E.P.
b. Étudier les variations de g sur l’intervalle [0 ; 6] et dresser le tableau de
variationde g.Endéduirequel’équation g(x)?0admetsurl’intervalle
[0; 6]unesolutionuniqueα.
Donnerunevaleurapprochéedeαaucentième.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
Dansuneville,deuxfournisseursd’accèsauréseauinternetsontenconcurrence.
Pourétudier l’évolution dunombred’abonnésà cesdeuxfournisseurs A etB, ona
reportédansletableausuivant,àlafindechaqueannée,lenombretotald’abonnés
déclaréparchacundesdeuxfournisseurs.
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rangx del’année 1 2 3 4 5 6i
Nombretotal yi
d’abonnéspar 975 1443 2049 2930 4220 5850
lefournisseur A
Nombretotalti
d’abonnéspar 4012 4813 5872 7281 8664 10432
lefournisseurB
1111000000
10000
9000
8000
7000
FournisseurA
6000
FournisseurB
5000
4000
3000
2000
1000
0
1 2 3 4 5 6 7
1. Recopierlesdeuxdernièreslignesdutableausuivantenlescomplétant.
Ondétaillera chacundesquatrecalculsetonarrondiralesrésultats àl’entier
leplusproche.
Augmentationdu Pourcentage Pourcentage
nombred’abonnés d’augmentationdu annuelmoyen
entre1999et2004 nombred’abonnés d’augmentationdu
entre1999et2004 nombred’abonnés
entre1999et2004
FournisseurA ... 500% ...%
FournisseurB 6420 ...% ...%
2. a. L’allure dunuagedepoints associé à la sériestatistique (x ; y ) permeti i
d’envisagerunajustementexponentiel.OnposeY ?ln(y ).i i
Écrire une équation de la droite (d) d’ajustement de Y en x par la mé-
thodedesmoindrescarrés.
Lescalculsserontfaitsaveclacalculatrice(sansjustification)etlesrésul-
tatsfinauxserontarrondisaumillième.
Nouvelle-Calédonie 2 novembre2004
urrrururuuruurBaccalauréatES A.P.M.E.P.
b. En utilisant cet ajustement, donner une estimation dunombre d’abon-
nésaufournisseur A en2006.
3. L’alluredunuagedepointsassociéàlasériestatistique(x ; t )permetd’en-i i
visagerunajustementexponentiel.
En posant T ? ln(t ), on obtient, par la méthode des moindre carrés, unei i
équationdeladroite(Δ)d’ajustementdeT enxsouslaforme:T ?0,193x?8,102
(cerésultatestadmis).
Enutilisant cetajustement, donner uneestimation dunombred’abonnésau
fournisseurB en2006.
4. En supposant que les ajustements pr éc édents restent pertinents, pr éciser
l’année à partir de laquelle le nombre d’abonnés au fournisseur A dépassera
lenombred’abonnésaufournisseurB.
Justifier.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
LebénéficeB d’uneentreprisedépendàlafoisdesinvestissementsetdelaproduc-
tion.
Onappellex lemontantdesinvestissementsenmillionsd’eurosety laquantitépro-
duite enmilliers d’unités. Onadmetque le bénéficeB decette entreprise, exprimé
2 ?xenmillionsd’euros,estmodéliséparlafonctionB définieparB(x ; y)?x ye .
2 ?xVoiciunevuedelasurface(S)d’équationz?x ye ,avecx élémentdel’intervalle
[0; 5]et y élémentdel’intervalle[0; 10],dansunrepèreorthogonaldel’espace.
6
5
A
?
E 4
?
z
3
2
10
9
1
8
7
6 0
5 5
y 4 4
3 3
2 2 x
1 1
0 0
Nouvelle-Calédonie 3 novembre2004BaccalauréatES A.P.M.E.P.
1. Déterminerparlecturegraphiquelemontantdesinvestissements etlavaleur
dela production quipermettent d’obtenir unbénéfice maximal quand x ap-
partient à l’intervalle [0 ; 5] et y appartient à l’intervalle [0 ; 10]. Calculer la
valeurcorrespondantedecebénéfice.
2. a. Surlafigureci-dessus,onaplacélepoint A appartenantàlasurface(S),
ayantpourabscissex ?1etpourordonnéey ?8.CalculerlatroisièmeA A
coordonnéez dupoint A.A
b. Surlafigureci-dessus,onaplacélepointE appartenantàlasurface(S),
ayantpourabscissex ?2etpourtroisièmecoordonnéez ?z .Calcu-E E A
lerlavaleurexacte y del’ordonnéedupointE.E
3. Quelle estla naturedel’intersection dela surface(S)avec le pland’équation
x?1?Justifier.
Tracercetteintersection dansunplanmunid’unrepèreorthonormald’unité
graphique1cm,y appartenantàl’intervalle[0; 10].Déterminer,àl’europrès,
le montant en euros du bénéfice maximal réalisé par l’entreprise quand le
montantdesinvestissements estfixéà1milliond’euros.
4. D éterminer une équation de la courbe d’intersection de la surface (S) avec
lepland’équation y?10.Expliquer alorscommentretrouverlerésultatdela
question1.
EXERCICE 3 9points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]2;?1[par: f(x)?ln(2x?4).
Onappelle(C )lacourbetracéeci-dessous,représentativede f dansunrepèreor-f
thonormal.
1. a. Déterminer lim f(x)etlim f(x).Quepeut-onendéduirepourlacourbe
x!?1 x!2
(C )?f
b. Étudier le sens de variation de f sur l’intervalle ]2 ; ?1[ et dresser son
tableaudevariations.
c. La courbe (C ) coupe l’axe des abscisses au point A. Quelles sont lesf
coordonnéesexactesde A?
d. Détermineruneéquationdeladroite(T)tangenteenAàlacourbe(C ).f
D
8
C (T)g
7
0(T )6
5
4
3 0A
Cf2
1
A
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
Nouvelle-Calédonie 4 novembre2004BaccalauréatES A.P.M.E.P.
2. Sur lafigureci-dessus, onatracélacourbe(C ),lepoint A,la droite(T)etlaf
droite(D)d’équation y?x.Parlasymétrieaxialed’axe(D),lacourbe(C )sef
transforme enunecourbe(C )représentative d’unefonction g définiedansg
xR.Onadmetque,pourtoutx réel, g(x)s’écritsouslaformeg(x)?a?be où
a et b sont deux nombres réels. La courbe (C ) ainsi construite passe par leg
0point A imagede A par la symétrie d’axe(D).Deplus, la courbe(C )admetg
0 0au point A une tangente (T ) qui est l’image dela droite(T) par la sym étrie
d’axe(D).
0a. Donner,sansjustification,lecoefficientdirecteurdeladroite(T ).
b. Calculer a etb enjustifiantsoigneusementlescalculs.
c. Calculer l’ordonnéeexactedupointE appartenantà(C )etayantpourg
abscisse2.
0d. Quelles sont les coordonnées du point E image de E par la symétrie
d’axe(D)?
µ ¶Z2 1 x3. a. Calculerlavaleurexactede 2? e dx.
20
b. En déduire l’aireA, en unités d’aire, du domaine hachuré défini par la
courbe (C ), l’axe des ordonnées et la droite parallèle à l’axe des abs-g
cissespassantparE.Ondemandelavaleurexactedurésultat.
c. Expliquer comment on peut en déduire, sans faire de calculs, la valeur
Z 1 22? e
2
exactede f(x)dx.
5
2
Nouvelle-Calédonie 5 novembre2004