Baccalauréat ES Pondichéry avril
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat ES Pondichéry 3 avril 2006\ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats La courbe ci-contre C f est la repré- sentation graphique d'une fonction f définie, continue et dérivable sur ] ?∞ ; 5 2 ] . On note f ? sa fonction dérivée et F la primitive de f qui vérifie : F (1)= 2e. On précise : • limx??∞ f (x)= 0 et pour tout x < 0, f (x)> 0. • La tangente à la courbe au point A(2 ; 0) passe par le point B ( 1 ; e2 ) . • F (?3)= 6 e3 . 1 2 3 4 5 6 7 ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 1 2 3 4?1?2?3?4?5?6 C f A Bexp(2) Pour chacune des huit affirmations, précisez sur votre copie si elle est vraie ou fausse (aucune justification n'est demandée et il n'est pas nécessaire de recopier l'énoncé). Barème : À chaque question est attribué 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif il est ramené à zéro. Affirmation 1 Affirmation 5 Pour tout x ?]?∞ ; 2], f ?(x)> 0.

  • seconde carte

  • démonstration de la propriété

  • centaines de boîtes

  • prix inférieur au prix d'équilibre

  • paquet

  • boîte

  • prix d'équilibre


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Publié le 01 avril 2006
Nombre de lectures 13
Langue FrançaisFrançais

Exrait

[ BaccalauréatESPondichéry3avril2006\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
exp(2) B
7
6
La courbe ci-contre C est la repré- 5f
sentation graphique d’une fonction
4
f définie, continue et dérivable sur¸ ¸
5 3
?1; .
2 20Onnote f safonction dérivéeetF la
Cf 1primitivede f quivérifie:F(1)?2e.
AOnprécise:
? lim f(x)?0etpourtout
?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3 4x!?1 ?1
x?0, f(x)?0.
? La tangente à la courbe au point ?2¡ ¢
2A(2;0)passeparlepointB 1; e .
?3
6
?F(?3)? .
3 ?4e
?5
?6
Pour chacune des huit affirmations, précisez sur votre copie si elle est vraie ou
fausse (aucune justification n’est demandée et il n’est pas nécessaire de recopier
l’énoncé).
Barème : À chaque question est attribué 0,5 point. Une réponse inexacte enlève
0,25 point Unequestionsansréponsenerapportenin’enlèveaucunpoint.Sile total
estnégatifilestramenéàzéro.
Affirmation1 Affirmation5
Z2
0 0Pourtoutx2]?1; 2], f (x)>0. f (x)dx??2
0
Affirmation2 Affirmation6
12Lenombredérivéen2delafonction f estégalàe . Lafonction estdéfiniesur]?1; 2].
f
Affirmation3 Affirmation7
1
LafonctionF présenteunmaximumen2. Lalimitedelafonction en?1est?1.
f
Affirmation4 Affirmation8
L’aire de la partie du plan comprise entreC , l’axe desf
abscisses, les droites d’équations x ? ?3 et x ? 1 est
La courbe représentative de la fonction42e ?6 1égale(enunitéd’aire)à présente une asymptote d’équation3e f
x?2.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Pourpasserletemps, Chloé etMargauxinventent unjeuavecleurpaquetde32
cartesàjoueretunpaquetdebonbons.
On rappelle que, dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleurs (pique,
trèfle, cour, carreau)et, dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10,
valet,dame,roi,as).
Margauxproposelarèglesuivante:BaccalauréatES
? On tire une carte, on regarde si c’est un roi. Sans remettre la carte dans le
paquet,ontireunesecondecarteetonregardesic’estunroi.
? Si, sur les deux cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons; si
onatirédeuxrois,ongagne20bonbons;sinon,onaperdu!
Onnote:
R l’évènement «tirerunroiaupremiertirage»etR sonévènement contraire,1 1
R l’évènement«tirerunroiaudeuxièmetirage»etR sonévènementcontraire.2 2
1. Justifierlesvaleursdesprobabilitéssuivantes:
1 3 4
P(R )? P (R )? P (R )? .1 R 2 21 R18 31 31
2. On traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l’arbre ci-dessous en ins-
crivantlesprobabilités,enécriturefractionnairesurchaquebranche.
R2R1
R2
R2
R1 R2
Dans cequisuit,lesprobabilitésserontdonnéessousformedécimalearrondie
aumillième.
3. Calculerlaprobabilitédesévènements :
A«tirerunroiaupremiertirageetaudeuxièmetirage»;
B«tirerunroiàunseuldesdeuxtirages»
4. Ons’intéresse aunombreX debonbonsgagnésaprèsdeuxtirages.
RecopieretcompléterletableausuivantquidonnelaloideprobabilitédeX.
Nombredebonbonsx 0 10 20i
P(X?x ) 0,226i
5. Calculerl’espérancemathématique Edecetteloi,arrondieaudixième.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l’exclusi-
vité de l’acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que
lenombredetouristestransportéspendantchaquesaisoneststable.
La société «Alizés» a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005
afindeprévoirl’évolutiondelacapacitéd’accueildesesnavires.
L’analyse des résultats aconduit au modèle suivant : d’une année sur l’autre, la
société «Alizés»,notée A,conserve 80% desaclientèle etrécupère15% des clients
delasociétéconcurrente,notéeB.
Pourtoutentiernatureln,onnotepourlasaison(2005?n):
? a laprobabilitéqu’untouristeaitchoisilasociétéAlizés(A),n
? b laprobabilitéqu’untouristeaitchoisil’autresociétédetransport(B),n
? P ?(a b ),lamatricetraduisantl’étatprobabiliste,aveca ?b ?1.n n n n n
?4Lesrésultatspourlesprobabilitésserontarrondiesà10 .
Pondichéry 2 3avril2006
bbbbbbbBaccalauréatES
1. a. Modéliserlechangementdesituationparungrapheprobabilistedesom-
metsnommésAetB.
b. Onnote M la matrice detransition de cegraphe. Recopier et compléterµ ¶
0,8 ...
surlacopielamatricesuivante:M?
0,15 ...
2. En 2005, la société «Alizés» a transporté 45% des touristes. On a donc a ?0
0,45.
a. Calculer la probabilité qu’un touriste choisisse la société «Alizés» en
2006.
b. DéterminerlamatriceP etinterprétercesrésultats.2
3. SoitP?(a b)aveca etb deuxréelspositifs telsquea?b?1.
a. Déterminer a etb telsqueP?P?M.
b. Endéduire lim a .n
n!?1
c. Interprétercerésultat.
4. On admet qu’en 2015, la probabilité qu’un touriste choisisse la société A est
3
.Oninterrogequatretouristeschoisisauhasard;leschoixdestouristessont
7
indépendantslesunsdesautres.
Déterminerlaprobabilitéqu’aumoinsundesquatretouristeschoisisselaso-
ciété«Alizés»poursesvacancesen2015.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
L’objectif decetexerciceestdedémontrerlapropriétéalgébriquefondamentale de
lafonctionlogarithmenépériennotéeln.
Propriétéfondamentale:
Pourtousréelsstrictementpositifs a et b, ln(ab)?lna?lnb.
Rappels
Onrappelle lesrésultats decourssuivants, auxquels le candidatferaclairement ré-
férencepourjustifierchacunedesesaffirmationsaucoursdesétapesdeladémons-
tration(onpourraenrappelerlenuméro).
Théorème 1 : Sur un intervalle I, deux primitives d’une même fonction diffèrent
d’uneconstante.
Théorème2 : Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un
intervalle I, la fonction composée définie par x 7! ln[u(x)] est dérivable sur I, de
0u (x)
fonctiondérivéex7! .
u(x)
Théorème3: La somme f de deux fonctions dérivables u et v sur un même inter-
0 0 0valleIestdérivablesurIet f ?u ?v .
Définitionln1?0.
Énoncédel’exercice
Soita unréelconstantstrictementpositif.
Onconsidèrelesfonctions f etg,delavariablex,définiessur0;?1[par:
f(x)?ln(ax) et g(x)?lna?lnx.
Partie1
Danslecasoùa?2,donnerlesfonctionsdérivéesde f : x7!ln(2x)et
g : x7!ln2?lnx.
Partie2:démonstrationdelapropriété
Pondichéry 3 3avril2006BaccalauréatES
1. Calculer etcomparerles dérivées de f et de g dansle casgénéral où a est un
réelconstantstrictementpositif.
2. Pourquoipeut-onaffirmerqu’ilexisteunréelk telque,pourtout
x2]0;?1[, f(x)?g(x)?k?
3. Enposantx?1,déterminerlavaleurdek.
4. Justifierlapropriétéfondamentaledelafonctionlnénoncéeendébutd’exer-
cice.
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Partie1
Soientlesfonctions f etg définiessur[0;9]par
10 x
f(x)? ?1 et g(x)? .
1?x 2
1. Résoudrealgébriquementl’équation : f(x)?g(x).
Z9
2. Calculerl’intégrale:I? f(x)dx;ondonneralavaleurexactedeI.
3
Partie2
Un produit conditionné en
boite est mis sur le mar-
ché. On désigne par x le prix
d’une boîte de ce produit en
quantités9dizainesd’euros.
On admet que la quantité 8
achetée par les consomma-
teurs, en fonction du prix x 7
appliqué sur le marché, est
6donnéepar f (x)encentaines
deboîtes. 5
On admet que la quantité y? f(x) y?g(x)
proposée sur le marché par 4
les producteurs, en fonction
3du prix de vente x auquel les
producteurs sont disposés à 2 E
vendre, est donnée par g(x)
1encentainesdeboîtes.
prixSur le graphique ci-contre, A
0
sont tracées dans un repère
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
orthonormal les courbes re-
présentativesdesfonctions f
etg.
1. On pourra utiliser le graphique pour conjecturer les réponses aux questions
suivantes, puisonlesjustifieraalgébriquement.
a. Combien de boîtes seront achetées par les consommateurs si le prix de
venteestde40euroslaboite?
b. Lorsque l’offreest égaleàlademande,le marchéaatteintsonéquilibre.
Donner le prix d’équilibre, en euros, et le nombre de boîtes correspon-
dant.
Pondichéry 4 3avril2006BaccalauréatES
2. a. D’aprèslegraphique,lesproducteursétaientdisposésàvendrelesboîtes
à un prix inférieur au prix d’équilibre. On appelle surplus des produc-
teurs le gain réalisé en vendant les boîtes au prix d’équilibre. Ce gain
est donné en milliers d’euros par l’aire du triangle OAE (1 unité d’aire
=1millierd’euros).Calculercesurpluseneuros.
b. Le surplus des consommateurs est l’économie réalisée par les consom-
mateursquiétaientprêtsàpayerpluscherqueleprixd’équilibre.Cesur-
plus est donné, en milliers d’euros, par l’aire de la partie grisée du plan
surlegraphique(36x69).Préciserquelleintégralepermetdecalculer
cesurplusetendonnerl’arrondiàl’euro.
Pondichéry 5 3avril2006

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