Baccalauréat L Nouvelle Calédonie Épreuve de spécialité novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat L Nouvelle-Calédonie Épreuve de spécialité - novembre 2005 Durée : 3 heures EXERCICE 1 8 points Rappels sur la fonction logarithmenépérien, notée ln : a et b étant des réels strictement positifs et n un entier naturel : ln(ab)= lna+ lnb ; ln (a b ) = lna? lnb ; ln(an)=n lna. Partie A : Sur la feuille annexe à rendre avec la copie on a tracé dans un repère orthonormal la courbe (C ) représentant la fonction logarithme népérien et la parabole (P) re- présentant la fonction f définie sur R par : f (x)= 2x2?3x+ 9 2 La fonction f est dérivable sur R et on note f ? sa fonction dérivée. 1. a. Calculer f ?(x) pour tout réel x. b. En déduire le tableau de variation de la fonction f . (On ne demande pas les limites de f à l'infini.) c. Quelles sont les coordonnées exactes du point S sommet de la para- bole (P) ? 2. On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par : g (x)= f (x)? lnx = 2x2?3x+ 9 2 ? lnx La fonction g est dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[ et on note g ? sa fonction dérivée.

• aire en m2 de la surface


• reste dans la division euclidienne


• longueur mn


• coloriage du carré


• sommet de la para- bole


• centraux obte- nus


• carré central

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2005
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

Baccalauréat L NouvelleCalédonie Épreuve de spécialité  novembre 2005 Durée : 3 heures

E XERCICE 18 points Rappels sur la fonction logarithme népérien, notée ln : aetbétant des réels strictement positifs etnun entier naturel :   a n ln(ab)=lna+lnb; ln=lna−lnb; ln(a)=nlna. b Partie A : Sur lafeuille annexe à rendre avec la copieon a tracé dans un repère orthonormal la courbe ( C ) représentant la fonction logarithme népérien et la parabole ( P ) re présentant la fonctionfdéfinie surRpar : 9 2 f(x)=2x−3x+ 2  La fonctionfest dérivable surRet on notefsa fonction dérivée.  1. a.Calculerf(x) pour tout réelx. b.En déduire le tableau de variation de la fonctionf. (On ne demande pas les limites defà l’infini.) c.Quelles sont les coordonnées exactes du pointSsommet de la para bole ( P ) ? 2.On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 9 2 g(x)=f(x)−lnx=2x−3x+ −lnx 2  La fonctiongest dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[ et on notegsa fonction dérivée. (4x+1)(x−1)  a.Montrer que, pour tout réel strictement positifx:g(x)=. x b.Étudier les variations de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[. 7 Justifier que le minimum degest égal à. 2 c.En déduire que pour tout réel strictement positifx:f(x)−lnx>0. Quelle propriété des courbes ( P ) et ( C ), visible graphiquement, le ré sultat cidessus permetil de justifier ?

Partie B : Pour tout réel strictement positifx, on noteMle point de la courbe ( P ) d’abscissex etNle point de la courbe ( C ) de même abscissex. On a ainsi :M N=f(x)−lnx=g(x). (la longueurM Nest exprimée dans l’unité graphique du schéma defeuille annexe.) 1.Placer les pointsMetNsur le schéma de lafeuille annexelorsquex=2. 3 27 2.Montrer que lorsquex=on a :M N= +2 ln 2−ln 3. 4 8 Donner la valeur deM Narrondie au centième. 3. a.À l’aide de lapartie A, déterminer pour quelle valeur dex, la longueur M Nest minimale. Que vaut alors cette longueur ? b.Tracer en rouge sur le schéma de lafeuille annexele segment [M N] cor respondant. 4.Quelle est la limite de la longueurM Nquandxtend vers 0 (avecx>0) ?

Baccalauréat L

E XERCICE 26 points Rappels : Soit (U n ) une suite géométrique de raisonqet de premier termeU 1 . n−1 On a alors pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 :U n =U 1 ×q. Soit (V n ) une suite arithmétique de raisonret de premier termeV 1 . On a alors pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 :V n =V 1 +(n−1)r. 9 2 Un carré d’aire 1 mest divisé en 9 car 8 rés égaux comme indiqué sur la figure ci 7 contre. er On colorie le carré central. (1coloriage) 6 5 Les huit carrés restant sont à leur tour di visés en 9 carrés égaux comme indiqué 4 sur la figure cicontre. 3 On colorie les huit carrés centraux obte e nus. (2coloriage) 2 1 On poursuit avec la même méthode la 0 division et le coloriage du carré. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Pour tout entiernsupérieur ou égal à 1, on désigne parA n de la surfacel’aire en m 1 totale coloriée aprèsncoloriages. On a ainsi :A 1 =. 9 La surface grisée sur le figure cidessus a donc pour aireA 2 . On remarquera que chaque étape du coloriage consiste à colorier un neuvième de la surface non coloriée jusque là. 1 1. a.Justifier queA 2 =A 1 +(1−A 1 ) puis calculer la valeur numérique exacte 9 deA 2 . b.Expliquer pourquoi, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1, 8 1 A n+1 =A n +. 9 9 2.On pose pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 :B n =A n −1. a.CalculerB 1 . 8 b.Montrer que pour tout entiernsupérieur ou égal à 1,B n+1 =B n . 9 c.Quelle est la nature de la suite (B n ) ? Exprimer alors, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1, le terme général B n de la suite (B n ) en fonction den.   n 8 3. a.En déduire que pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 :A n =1−. 9 b.Calculer alors la limite de la suite (A n ). Que peuton en déduire ?

NouvelleCalédonie

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novembre 2005

Baccalauréat L

E XERCICE 3

6 points

Une horloge électronique a été programmée pour émettre un bip toutes les sept heures. Le premier bip est émis le 31 décembre 2004 à minuit. er 1. a.À quelle heure est émis le dernier bip du 1janvier 2005 ? b.À quelle heure est émis le premier bip du 2 janvier 2005 ? c.À quelle heure est émis le dernier bip du 2 janvier 2005 ? d.À quelle heure est émis le premier bip du 3 janvier 2005 ? Expliquer les réponses. 2. a.Montrer que : 24≡3(modulo7). b.En déduire le reste de la division euclidienne de 2×24 par 7 et le reste de la division euclidienne de 3×24 par 7. Justifier les réponses. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Reste de la division euclidienne den×21 4 0 3 624 5 par 7 c.Expliquer pourquoi l’horloge émet un bip à minuit tous les 7 jours et tout les 7 jours seulement. 3.On rappelle que l’année 2005 est une année non bissextile et comporte donc 365 jours. a.Déterminer le plus petit entier naturelatel que : 365≡a(modulo7) b.À quelle date l’horloge émettratelle un bip à minuit pour la dernière fois en 2005 ? Expliquer la réponse.

NouvelleCalédonie

3

novembre 2005

Baccalauréat L

ANNEXE à l’exercice 1 (à rendre avec la copie)

9 9

8 8

7 7

6 6

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

( P )

( C )

0 2 1 O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −2−2 3 4 5 6 7 81 1 1 −1

2 −2

3 −3

4 −4

NouvelleCalédonie

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novembre 2005