Baccalauréat L spécialitéMétropole–La Réunion juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat L spécialitéMétropole–La Réunion\ 19 juin 2009 L'usage d'une calculatrice est autorisé 3 heures Deux annexes sont à rendre avec la copie EXERCICE 1 5 points Quatre affirmations sont données ci-dessous. Dire si chacune de ces quatre affir- mations est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. 1. Soit f la fonction définie par f (x)= ( 1+ x2 ) ex pour tout nombre réel x. Affirmation no 1 : La courbe représentative de f est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses . 2. Soit g la fonction définie par g (x)= 2x ? 1 x +1 pour tout x de ]?1 ; +∞[. On note (C ) la courbe représentative de g et A le point de (C ) d'abscisse 0. Affirmation no 2 : La tangente à (C ) en A a pour équation y = 2x ?1. 3. Soit deux évènements A et B . A désigne l'évènement contraire de A. On sup- pose que la probabilité de A est égale à 0,4 et que la probabilité de l'évènement A?B est égale à 0,12. Affirmation no 3 : La probabilité de B sachant que A est réalisé est égale à 0,2. 4. On lance deux dés cubiques équilibrés et on lit la somme des résultats des faces supérieures.

• représentation enperspective


• dessin no


• représentation en perspective centrale du cube abcdefgh


• ficelle passant par les milieux des arêtes


• rayon de soleil


• cube opaque


• centrale du cubeabcdefgh

Sujets

• Rayon de soleil

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatLspécialitéMétropole–LaRéunion\
19juin2009
L’usaged’unecalculatriceestautorisé 3heures
Deuxannexessontàrendreaveclacopie
EXERCICE 1 5points
Quatreaffirmationssontdonnéesci-dessous.Diresichacunedecesquatreaffir-
mationsestvraieoufausse.Justifierchaqueréponse.
¡ ¢
2 x1. Soit f lafonctiondéfiniepar f(x)? 1?x e pourtoutnombreréelx.
oAffirmationn 1:Lacourbereprésentativede f esttoujourssituéeau-dessus
del’axedesabscisses.
1
2. Soitg lafonctiondéfinieparg(x)?2x? pourtoutx de]?1;?1[.
x?1
Onnote(C)lacourbereprésentativedeg etAlepointde(C)d’abscisse0.
oAffirmationn 2:Latangenteà(C)enAapouréquation y?2x?1.
3. Soitdeuxévènements A etB. A désignel’évènement contrairede A.Onsup-
posequelaprobabilitédeAestégaleà0,4etquelaprobabilitédel’évènement
A\B estégaleà0,12.
oAffirmationn 3:LaprobabilitédeB sachantque A estréaliséestégaleà0,2.
4. On lance deux dés cubiques équilibrés et on lit la somme des résultats des
facessupérieures.
5
oAffirmationn 4:Laprobabilitéd’obtenirunesommeégaleà5estégaleà .
36
EXERCICE 2 4points
2n nDanscetexercice,ons’intéresse àlapropriété«lenombre3 ?2 estdivisiblepar
7»,oùn estunnombreentiernaturel.
1. a. Existe-t-il un nombre entier naturel n pour lequel cette propriété est
vraie?Justifier.
2b. Quelestlerestedeladivisioneuclidiennede3 par7?
2. a. Montrerque,pourtoutnombreentiernatureln,
¡ ¢2n n n 2(n?1) n?19 3 ?2 ?7?2 ?3 ?2 .
b. Enutilisantl’égalitéprécédentedémontrerque,sipouruncertainentier
2n n 2(n?1) n?1natureln, 3 ?2 estdivisiblepar7,alors3 ?2 estaussidivisible
par7.
3. Dans cette question toute tracede recherche,même incomplète, ou d’ini-
tiative,mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
2n nLenombre3 ?2 est-iltoujoursdivisiblepar7,quelquesoitlenombreen-
tiernatureln?
EXERCICE 3 6pointsBaccalauréatLspécialité
Oneffectueuncoloriageenplusieursétapesd’uncarrédecôtédelongueur2cm.
Premièreétapeducoloriage:
On partage ce carré en quatre carrés de même aire et on colorie le carré situé en
bas à gauche comme indiqué sur la figure ci-dessous (la figure n’est pas en vraie
grandeur).
Deuxièmeétapeducoloriage:
On partage chaque carré non encore colorié en quatre carrés de même aire et on
colorie dans chacun, le carré situé en bas à gauche, comme indiqué sur la figure
ci-dessous.
Onpoursuitlesétapesducoloriageencontinuantlemêmeprocédé.
Pourtoutentiernatureln,supérieur ouégalà1,ondésignepar A l’aire,expriméen
2encm ,delasurfacetotalecoloriéeaprèsn coloriages.
Onaainsi A ?1.1
eLasurfacecoloriéesurlafigureàla2 étapeducoloriageadoncpouraire A .2
LesdeuxpartiessuivantesAetBdecetexercicepeuventêtretraitéesdemanière
indépendante.
PartieA
37
1. CalculerA puismontrerqueA ? .2 3
16
2. Onconsidèrel’algorithmesuivant:
Entrée: Punentiernaturelnonnul.
Initialisation: N=1;U=1.
Traitement: TantqueN6P:
AfficherU
AffecteràNlavaleurN?1
5 1
AffecteràUlavaleur ?U?
4 2
Métropole–LaRéunion 2 19juin2009BaccalauréatLspécialité
a. FairefonctionnercetalgorithmeavecP?3.
b. Cetalgorithmepermetd’afficherlesPpremierstermesd’unesuiteUde
termegénéralU .n
Diresichacunedesdeuxpropositionssuivantesestvraieoufausse.Jus-
tifierlaréponse.
Proposition1:Ilexisteunentiernatureln strictementsupérieur
à1telqueU ?A .n n
Proposition 2 : Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,
U ?A .n n
PartieB
3
Onadmetque,pourtoutentiernatureln supérieurouégalà1,A ? A ?1.n?1 n
4
1. Onposepourtoutentiern supérieurouégalà1,B ?A ?4.n n
a. CalculerB .1
3
b. Montrerquepourtoutentiern supérieurouégalà1, B ? B .n?1 n
4
c. Quelleestlanaturedelasuite(B )?n
d. Exprimer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, le terme général Bn
delasuite(B )enfonctionden.n
2. QuelestlecomportementdeA lorsquen tendvers?1?Justifierlaréponse.n
Donner une interprétation de ce résultat en rapport avec l’aire de la surface
coloriée.
EXERCICE 4 5points
Danstoutl’exercice, A, B, C, D, E, F, Get Hsontlessommetsd’uncubeopaquedont
laface ABCDestposéesurlesol.
Trois dessins sont donnés en annexes. Ils corrcspondent aux trois questions de
l’exercicequisontindépendantes.Cesdessinssontàcompléteraufuretàmesure
de la résolutionde l’exerciceet à rendreavecla copie. On laisseraapparentsles
traitsdeconstruction.
o1. Ledessinn 1donnéenannexeestlareprésentation enperspective parallèle
du cube ABCDEFGH. Ce cube est éclairé par le soleil suivant la direction in-
0diquée par l’ombre E du sommet E. Compléter ce dessin par l’ombre de ce
cube sur le sol, les rayons du soleil étant considérés parallèles. On repassera
encouleurledessinfinidel’ombreausoleilducubepourenaméliorerlalisi-
bilité.
o2. Onveutconstruiresurledessinn 2lareprésentationenperspectivecentrale
du cube ABCDEFGH, l’arête [BF] étant dans le plan frontal. Les images des
sommets A, B, C,...sontdésignéesparleslettresminusculesa,b,c,...
Onatracélaligned’horizon(Δ)etladiagonale[ac]quiestparallèleàlaligne
d’horizon.
a. Construirelespointsdedistanced etd .1 2
b. Terminerlareprésentationenperspectivecentraleducubeenrepassant
ledessinencouleurpourenaméliorerlalisibilité.
3. On entoure ce cube d’une ficelle passant par les milieux des arêtes comme
indiquésurledessinci-dessous.
Métropole–LaRéunion 3 19juin2009BaccalauréatLspécialité
H G
E
F
C
A B
oLedessinn 3estlareprésentationenperspectivecentraleducube ABCDEFGH,
laface ABFEétantplacéedansunplanfrontal.(Δ)estlaligned’horizon.
oCompléter ledessinn 3parunereprésentationdecetteficelle.
Métropole–LaRéunion 4 19juin2009BaccalauréatLspécialité
Annexe1(àcompléteretàrendreaveclacopie)
oDessinn 1
H G
E F
C
A B
0E
oDessinn 2
(Δ)
f
a c
b
Métropole–LaRéunion 5 19juin2009
bBaccalauréatLspécialité
Annexe2(àcompléteretàrendreaveclacopie)
oDessinn 3
(Δ)
gh
fe
c
a b
Métropole–LaRéunion 6 19juin2009