Baccalauréat S Amérique du Sud novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2004 \ EXERCICE 1 7 points Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x)= xe?x . On note ? la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal( O, ??ı , ??? ) (unité graphique : 10 cm). Partie A 1. a. Déterminer la limite de f en +∞. b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. c. Construire ? dans le repère ( O, ??ı , ??? ) . 2. a. Montrer que, pour tout réel m de ] 0 ; 1e [ , l'équation f (x) = m admet deux solutions. b. Dans le cas où m = 14 , on nomme ? et ? les solutions (avec ? 0.

• axe des ordonnées de l'arc de courbe ?ab


• points d'affixes respectives


• similitude de centre a0


• solution de l'équation différentielle


• boules noires indiscernables

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2004
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSAmériqueduSudnovembre2004\
EXERCICE 1 7points
Soit f lafonctiondéfiniesur[0;?1[par
?xf(x)?xe .
On note Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal³ ´!? !?
O, ı , | (unitégraphique:10cm).
PartieA
1. a. Déterminerlalimitede f en?1.
b. Étudierlesvariationsde f etdressersontableaudevariations.
³ ´!? !?
c. ConstruireΓdanslerepère O, ı , | .
¸ ·
1
2. a. Montrer que, pour tout réel m de 0; , l’équation f(x)? m admet
e
deuxsolutions.
1
b. Danslecasoùm? ,onnomme?et?lessolutions(avec???).
4
?2Déterminerunencadrementd’amplitude10 de?.
1
c. Résoudrel’équation f(x)?m danslecasoùm?0etm? .
e
PartieB
1. Onconsidèrelasuite(u )définiesurNparn
½
u ? ?0
?unu ? u e , pourtoutentiernaturelnn?1 n
où?estleréeldéfiniàlaquestionA.2.b.
a. Montrerparrécurrenceque,pourtoutentiernatureln, u ?0.n
b. Montrerquelasuite(u )estdécroissante.n
c. Lasuite(u )est-elleconvergente?Sioui,déterminersalimite.n
2. Onconsidèrelasuite(w )définiesurNparw ?lnu .n n n
a. Montrerque,pourtoutn entiernaturel,onau ?w ?w .n n n?1
b. OnposeS ?u ?u ?????u .n 0 1 n
MontrerqueS ?w ?w .n 0 n?1
c. Endéduire lim S .n
n!?1
3. On considèrela suite (v ) définie surN par son premier terme v (v ?0) et,n 0 0
?vnpourtoutentiernatureln, v ?v e .n?1 n
Existe-t-il une valeur de v différente de ? telle que, pour tout n? 1, on ait0
u ?v ?n n
Sioui,préciserlaquelle.
EXERCICE 2 3pointsA
2
B
1
0
O
0 1 2 3³ ´!? !?
Onareprésentéci-dessus,dansunrepèreorthonormal O, ı , | ,lacourberepré-
sentativedelafonction f dérivablesurR,solutiondel’équationdifférentielle
0(E) : y ?y?0 ettelleque f(0)?e.
1. Déterminer f(x)pourtoutx réel.
2. Soitt unréeldonnédel’intervalle[1;e].
1?xRésoudredansRl’équatione ?t d’inconnuex.
3. SoitAlepointd’abscisse0etBlepointd’abscisse1delacourbe.
On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe des ordonnées de
•l’arcdecourbeABcommereprésentéci-dessous.OnnoteVsonvolume.
Ze
2
OnadmetqueV?? (1?lnt) dt.
1
CalculerVàl’aidededeuxintégrationsparpartiessuccessives.
2
1
?2 ?1 1
EXERCICE 3 5points
2Onnote p (B)laprobabilitéconditionnelle del’évènement Bsachantquel’évène-A
ment Aestréalisé.
Uneurnecontient4boulesrougeset2boulesnoiresindiscernablesautoucher.
1. Oneffectueauhasarduntiragesansremisededeuxboulesdel’urne.
OnnoteA l’évènement; «onn’aobtenuaucuneboulenoire»;0
OnnoteA l’évènement :«onaobtenuuneseuleboulenoire»;1
OnnoteA l’évènement :«onaobtenudeuxboulesnoires».2
CalculerlesprobabilitésdeA , A etA .0 1 2
2. Aprèscepremiertirage,ilrestedonc4boulesdansl’urne.
On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de
l’urne.
oOnnoteB l’évènement :«onn’aobtenuaucuneboulenoireautiragen 2»0
oOnnoteB l’évènement :«onaobtenuuneseuleboulenoireautiragen 2»1
oOnnoteB l’évènement :«onaobtenudeuxboulesnoiresautiragen 2»2
a. Calculerp (B ), p (B )etp (B ).A 0 A 0 A 00 1 2
b. Endéduirep(B ).0
c. Calculerp(B )etp(B ).1 2
d. Onaobtenuuneseuleboulenoirelorsdecesecondtirage.Quelleestla
probabilitéd’avoirobtenuuneseuleboulenoirelorsdupremier?
3. Onconsidèrel’évènement R:«ilafalluexactementlesdeuxtiragespourque
lesdeuxboulesnoiressoientextraitesdel’une».
1
Montrerquep(R)? .
3
EXERCICE 4 5points
PartieA
³ ´!? !?
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
Pourréaliserlafigure,onprendrapourunitégraphique1cm.
SoitPlepointd’affixep oùp?10etΓlecercledediamètre[OP].
OndésigneparΩlecentredeΓ.
SoitA,B,Clespointsd’affixesrespectivesa, betc,oùa?5?5i, b?1?3ietc?8?4i.
1. MontrerqueA,BetCsontdespointsducercleΓ.
2. SoitDlepointd’affixe2+2i.
MontrerqueDestleprojetéorthogonaldeOsurladroite(BC).
PartieB
0 0ÀtoutpointM duplandifférentdeO,d’affixez,onassocielepointM d’affixez tel
que
200z ? oùz désignelenombreconjuguédez.
z
01. MontrerquelespointsO,M etM sontalignés.
2. SoitΔladroited’équationx?2etM unpointdeΔd’affixez.
0OnseproposededéfinirgéométriquementlepointM associéaupointM.
a. Vérifierquez?z?4.
³ ´
0 0 00 0 0b. Exprimerz ?z enfonctiondez etz etendéduireque5 z ?z ? z z .
0c. En déduire que M appartient à l’intersection de la droite (OM) et du
cercleΓ.
0PlacerM surlafigure.
3EXERCICE 4 5points
Exercicedespécialité
SoitA etB deuxpointsduplanorientételsqueA B =8.Onprendralecentimètre0 0 0 0
pourunité.
1 3?
SoitSlasimilitudedecentreA ,derapport etd’angle .0
2 4
Ondéfinitunesuitedepoints(B )delafaçonsuivante:n
pourtoutentiernatureln, B ?S(B ).n?1 n
1. ConstruireB ,B ,B etB .1 2 3 4
2. Montrerque,pourtoutentiernatureln,lestrianglesA B B etA B B0 n n?1 0 n?1 n?2
sontsemblables.
3. Ondéfinitlasuite(l )par:pourtoutentiernatureln, l ?B B .n n n n?1
a. Montrerquelasuite(l )estunesuitegéométriqueetprécisersaraison.n
b. Exprimerl enfonctionden etdel .n 0
c. OnposeΣ ?l ?l ?????l .n 0 1 n
DéterminerlalimitedeΣ lorsquen tendvers?1.n
4. a. Résoudrel’équation3x?4y?2oùx ety sontdeuxentiersrelatifs.
b. SoitΔladroiteperpendiculaireenA àladroite(A B ).0 0 0
Pourquellesvaleursdel’entiernatureln, B appartient-ilàΔ?n
4