Baccalauréat S Amérique du Sud novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 1995 \ EXERCICE 1 4 points On tire trois boules simultanément et au hasard d'une urne contenant trois boules blanches, trois noires, trois vertes et trois rouges. On suppose l'équiprobabilité des tirages. Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 1. X est la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules blanches obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Pour gagner il faut tirer au moins deux boules blanches, mais on estime qu'un joueur sur dix est un tricheur et qu'un tricheur gagne avec une probabilité égale à 12 . On note : T l'évènement « être un tricheur », T l'évènement contraire de T , G l'évènement « gagner au jeu ». a. Calculer la probabilité de l'évènement « gagner pour un non tricheur » c'est-à-dire pT (G). En déduire la probabilité de l'évènement G?T . b. Calculer p(T ?G). c. Démontrer que la probabilité de l'évènement G est 1811100 . d. Calculer la probabilité qu'une personne qui a gagné soit un tricheur. EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire On pose pour tout entier naturel n non nul : In = ∫n 1 x2(lnx)n dx, où ln désigne la fonction logarithme népérien et : In = ∫n 1 x2 -dx.

• repère orthonormé direct


• graphique précédent


• probabilité égale


• courbe représentative dans le repère


• equation différentielle


• repère orthonormé

Sujets

• Équation différentielle
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 1995
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 1995\

E X E R C IC E 1 4points On tire trois boules simultanément et au hasard d’une urne contenant trois boules blanches, trois noires, trois vertes et trois rouges. On suppose l’équiprobabilité des tirages. Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1.ombre de boulesX est la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le n blanches obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X. 2.Pour gagner il faut tirer au moins deux boules blanches, mais on estime qu’un joueur sur dix est un tricheur et qu’un tricheur gagne avec une probabilité 1 égale à. 2 On note : Tl’évènement « être un tricheur », Tl’évènement contraire deT, Gl’évènement « gagner au jeu ».

a.richeur »Calculer la probabilité de l’évènement «gagner pour un non t c’estàdirep(G). T En déduire la probabilité de l’évènementG∩T. b.Calculerp(T∩G). 181 c.Démontrer que la probabilité de l’évènementGest . 1 100 d.Calculer la probabilité qu’une personne qui a gagné soit un tricheur.

E X E R C IC E points2 5 Enseignement obligatoire On pose pour tout entier naturelnnon nul : Z n 2n I n =x(lnx) dx, 1 où ln désigne la fonction logarithme népérien et : Z n 2 I n =xdx. 1 1.CalculerI 1 . 2.En utilisant une intégration par parties, calculerI 1 . 3.En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier natu relnnon nul :

3 3I n+1 +(n+1)I n =e .

En déduireI 2 . 4. a.Démontrer que, pour tout entier naturelnnon nul,I n est positive. b.Déduire de l’égalité (1) que, pour tout entier naturelnnon nul, 3 e I n 6 . n+1 c.Déterminer limI n . n→+∞

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

E X E R C IC E 2 5points Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ SoitPun plan rapporté à un repère orthonormé directO,u,v(unité graphique : 1,5 cm). fest l’application du planP, privé du point O, dansPqui à tout pointMd’affixe ′ ′ z(z6=0) associe le pointMd’affixeztelle que : 2 z−4 ′ z=. 2z 1. a.Démontrer que, siz==62i on a : µ ¶ ′ 2 z+2iz+2i =. ′ z−2iz−2i b.On désigne par A et B les points d’affixes respectives 2i et (−2i). Justifier que : ³ ´³ ´ −−→−−→ −−→−−→ ′ ′ MA ,MB=2MA ,MB (2π) puis que µ ¶ ′ 2 MBMB =. ′ MAMA 2.Soit I le point d’affixez I = −4+2i. ³ ´ −→−→ IA a.et .Déterminer IA, IB IB b.Déterminer et construire l’ensemble E défini par : ½ ¾ MAB E=M/M∈Pet=2 . MA c.En utilisant les questions précédentes, construire le point l’image de I parf.

P R O B L È M E 11 points Objectif du problème: Résolution d’une équation différentielle et étude d’une de ses solutions. ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonorméO,ı,(unité graphique : 2 cm).

Partie A On considère l’équation différentielle :

′′ ′−x y+2y+y=2e .(E) 2−x 1.Déterminer le réelλtel que la fonctiony 0 définie surRpary 0 (x)=λxe soit solution de l’équation (E). 2.Démontrer quey, fonction numérique deux fois dérivable surR, est solution surRde (E) si et seulement si la fonctionzdéfinie parz=y−y 0 est solution de l’équation différentielle (E) :

′′ ′ z+2z+z=0.

3.Résoudre l’équation différentielle (E 1 ). 4.En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).

Amérique du Sud

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novembre 1995

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

5.Déterminer la solutionfde (E) dont la courbe représentative dans le repère ³ ´ −→−→ O,ı,passe par le point de coordonnées (−1 ; 0) et admet en ce point une −→ tangente de vecteur directeurı.

Partie B Soitfla fonction définie surRpar :

2−x f(x)=(x+1) e. ³ ´ −→−→ On noteCla courbe représentative defdans le repèreO,ı,.

1. a.Déterminer la limite defen−∞. b.Déterminer la limite defen+∞. Donner une interprétation graphique de ce résultat. c.Étudier le sens de variation defet dresser son tableau de variations, 2.Déterminer une équation de la tangente (T) àCau point d’abscisse O. 3.On se propose dans cette question d’étudier la position deCpar rapport à (T). x a.On posek(x)=x+1−e . ′ Calculerk(x) ; en déduire le sens de variation deket son signe. b.En déduire la position deCpar rapport à (T). 4.Après avoir reproduit et complété le tableau de valeurs ci–dessous, tracer (T) ³ ´ −→−→ etCO,dans le repèreı,.

x−2−0, 5−0,5 12 3 4 60, 25 f(x) −2 Les valeurs def(x) seront données à 10près. 5.On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturelnnon nul par : Z n+1 u n =4f(t) dt. n a.Représenteru 3 sur le graphique précédent. b.Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul :

4f(n+1) 6 u n 6 4f(n).

En déduire le sens de variation de (u n ). c.Déterminer la limite de la suite (u n ).

Amérique du Sud

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