Baccalauréat S Antilles Guyane juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2006 \ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats 1. Restitution organisée des connaissances Pré-requis : – la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa fonction dérivée est la fonction inverse ( x 7? 1 x ) . – ln(1)= 0 Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x, ln(ax)= ln(a)+ ln(x). 2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que ln ( 1 b ) =? ln(b) et que ln ( a b ) = ln(a)? ln(b) pour tous réels strictement positifs a et b. 3. On donne 0,696 ln26 0,70 et 1,096 ln36 1,10. En déduire des encadrements de ln6, ln (1 6 ) , et ln (3 8 ) . EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l'absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

• barycentre des points


• nature du triangle bef


• restitution organisée des connaissances pré


• bary- centre des points


• diamètre des cylindres


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2006
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2006\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
1. Restitutionorganiséedesconnaissances
Pré-requis:
– la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; ?1[ et sa fonctionµ ¶
1
dérivéeestlafonctioninverse x7! .
x
– ln(1)?0
Démontrerquepourtousréelsstrictementpositifs a etx,
ln(ax)?ln(a)?ln(x).
2. Utiliser lerésultatprécédentpourdémontrerque
µ ¶ ³ ´1 a
ln ??ln(b)etque ln ?ln(a)?ln(b)
b b
pourtousréelsstrictementpositifsa etb.
3. Ondonne0,696ln260,70et1,096ln361,10.µ ¶ µ ¶
1 3
Endéduiredesencadrementsdeln6,ln ,etln .
6 8
EXERCICE 2 3points
Communàtouslescandidats
QCM:pour chaque question une seule desréponses proposées estexacte.Aucune
justification n’est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque
erreurenlève0,25 point, l’absence deréponse vaut0point. Siletotaldespoints de
l’exerciceestnégatif,lanoteestramenéeà0.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre
correspondantàvotreréponse.
2x x1. L’équatione ?3e ?4?0admetdansR:
a.0solution b.1solution c.2solutions d. plus de 2 so-
lutions
?x2. L’expression?e
a. n’est jamais b. est toujours c.n’estnégative d. n’est néga-
négative négative que si x est po- tive que si x est
sitif négatif
x2e ?1
3. lim ?
xx!?1 e ?2
1
a.? b.1 c.2 d.?1
2
04. L’équationdifférentielle y?2y ?1apourensembledesolutions:
1 1 12x x x 2x
2 2a. x 7! ke ?1 b. x7! ke ?1 c. x7! ke ?1 d. x7!ke ?
2
aveck2R aveck2R aveck2R aveck2RBaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
PartieA
SoitX unevariablealéatoirecontinuequisuituneloiexponentielledeparamètreλ.Za
?λtOnrappellequeP(X6a)? λe dt.
0
Lacourbedonnéeen ANNEXE 1représentelafonctiondensitéassociée.
1. InterprétersurlegraphiquelaprobabilitéP(X61).
2. Indiquersurlegraphiqueoùselitdirectementleparamètreλ.
PartieB
Onposeλ?1,5.
1. Calculer P(X61), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à
?310 prèsparexcès.
2. CalculerP(X>2).
?33. Déduiredescalculsprécédentsl’égalitésuivante:P(16X62)?0,173à10
près.
Zx
?1,5t4. Calculerl’intégraleF(x)? 1,5te dt.
0
Déterminer la limite quand x tend vers?1 de F(x); on obtient ainsi l’espé-
rancemathématiquedelavariableX.
PartieC
Une machine outil fabrique descylindres. Onmesure l’écart, en dixièmes demilli-
mètres,entrelediamètredescylindresetlavaleurderéglagedelamachine.
Onsupposequecetécartsuituneloiexponentielledeparamètreλ?1,5.
Sil’écart est inférieur à1, le cylindreest accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2,
onprocèdeàune rectificationquipermet d’accepter lecylindredans80 %descas.
Sil’écartestsupérieurà2,lecylindreestrefusé.
1. Onprélèveauhasarduncylindredanslaproduction.
?3a. Montrerquelaprobabilitéqu’ilsoitacceptéestégaleà0,915à10 près.
b. Sachantqu’ilestaccepté,quelleestlaprobabilitéqu’ilaitsubiunerecti-
fication?
2. Onprélèvedemanièreindépendantedixcylindresdelaproduction.Onsup-
pose que le nombre de cylindres suffisamment important pour assimiler ce
tirageàuntiragesuccessifavecremise.
a. Quelleestlaprobabilitéquelesdixcylindressoientacceptés?
b. Quelleestlaprobabilitéqu’aumoinsuncylindresoitrefusé?
EXERCICE 4 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
³ ´!? !?
1. Dansleplancomplexerapportéàunrepèreorthonormal O, u , v ,onconsi-
dèrelespoints
– A d’affixea,a2R
– B d’affixeb?i,b2R
π
– C imagedeB danslarotationdecentre A etd’angle .
3
a. Déterminer une relationentre a etb pour que le pointC appartienne à³ ´!?
l’axe O ; v .
b. Exprimeralorsl’affixedupointC enfonctiondea.
Antilles-Guyane 2 juin2006BaccalauréatS A.P.M.E.P.
p
2. Danscettequestion,onposea? 3etb?0.OnconsidèrelespointsC d’affixep p
c??ietD d’affixed?2? 3?2i 3.
a. Quelleestlanaturedutriangle ABC ?
d?a
b. Calculerlequotient ;quepeut-onendéduirepourletriangleACD?
c?a
c. Déterminerl’affixedupointE imagedeD danslarotationdecentreAet
π
d’angle .
3
d. Déterminerl’affixedupointF imagedeD danslatranslationdevecteur
?!
AC .
e. DéterminerlanaturedutriangleBEF.
EXERCICE 4 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Surlafiguredonnéeen ANNEXE 2,onconsidèrelescarrésOABC etOCDE telsque:
³ ´ ³ ´??! ??! ??! ?! π
OA ; OC ? OC ; OE ? .
2
OndésigneparI lemilieudusegment[CD],par J lemilieudusegment[OC]etpar
H lepointd’intersectiondessegments[AD]et[IE].
1. Justifierl’existenced’unesimilitudedirectes transformant A enI etD enE.
2. Déterminerlerapportdecettesimilitudes.
π
Onadmetquel’angledelasimilitude s estégalà .
2
3. Donner,sansjustifier,l’imagedeB pars.
4. Détermineretplacerl’imagedeC pars.
5. SoitΩlecentredelasimilitudes.
a. Montrer queΩ appartient au cercle de diamètre [AI] et à celui de dia-
mètre[DE].
b. MontrerqueΩnepeutêtrelepointH.
c. ConstruireΩ.
³ ´??! ??!
6. Onconsidèrelerepèreorthonormaldirect O ; OA, OC .
a. Déterminerl’écriturecomplexedelasimilitude s.
b. Endéduirel’affixeducentreΩdes.
EXERCICE 5 5points
Communàtouslescandidats
PartieA
Onconsidère les suites depoints A etB définies pour tout entier natureln de lan n³ ´!?
manièresuivante:surunaxeorienté O ; u donnéen ANNEXE3,lepoint A apour0
abscisse0etlepointB apourabscisse12.0
Lepoint A estlebarycentredespoints(A ,2)et(B ,1),lepointB estlebary-n?1 n n n?1
centredespointspondérés(A ,1)et(B ,3).n n
1. Surlegraphiqueplacerlespoints A ,B .2 2
2. Ondéfinitlessuites(a )et(b )desabscissesrespectivesdespoints A etB .n n n n
Montrerque:
2a ?bn n
a ? .n?1
3
a ?3bn n
Onadmetdemêmequeb ? .n?1
4
Antilles-Guyane 3 juin2006BaccalauréatS A.P.M.E.P.
PartieB
1. Onconsidèrelasuite(u )définie,pourtoutentiernatureln,paru ?b ?a .n n n n
a. Montrerquelasuite(u )estgéométrique.Enpréciserlaraison.n
b. Donnerl’expressiondeu enfonctiondel’entiernatureln.n
c. Déterminerlalimitede(u ).Interprétergéométriquementcerésultat.n
2. a. Démontrerquelasuite(a )estcroissante(onpourrautiliserlesigneden
u ).n
b. Étudierlesvariationsdelasuite(b ).n
3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des
suites(a )et(b )?n n
PartieC
1. Onconsidèrelasuite(v )définie,pourtoutentiernatureln,parn
v ?3a ?4b .n n n
Montrerquelasuite(v )estconstante.n
2. Déterminerlalimitedessuites(a )et(b ).n n
ANNEXE 12
1
1 2 3 4
ANNEXE 2
CD I B
H
J
E O A
ANNEXE 3
!?
u A B B01 1A0
0 2 4 6 8 10 12
Antilles-Guyane 4 juin2006
bbbb