Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 1997 \ EXERCICE 1 4 POINTS On dispose de 3 urnes U1, U2, U3 contenant chacune 2 boules indiscernables. Dans U1 une boule est marquée G, l'autre est marquée A ; dans U2 une boule est marquée 3, l'autre est marquée 5 ; dansU3 une boule estmarquée 12 , l'autre estmar-quée 2. Une épreuve E consiste à tirer au hasard une boule dans chaque urne. On définit une suite u de la façon suivante : si la boule tirée dans U1 est marqué A, la suite est arithmétique, si elle est marquée G, la suite est géométrique ; la boule tirée dans U2 désigne le premier terme u0 et la boule tirée dans U3 désigne la raison. 1. Calculer la probabilité d'avoir : a. une suite u arithmétique ; b. une suite u convergente ; c. une suite u telle que u4 soit un nombre entier pair. 2. Calculer la probabilité d'avoir une suite u qui ne soit pas convergente sachant qu'elle est géométrique. 3. Un joueur tire une boule dans chaque urne et définit ainsi une suite numé- rique u : – si u est géométrique, il gagne 5 F ; – si u est arithmétique et u4 6 7, il perd 4 F ; – si u est arithmétique et u4 > 7, il perd 6 F.

• argument de ? p2


• représentation graphique dans le repère


• boule


• vecteurs unitaires


• affixes des vecteurs ???pq


• quadrilatère pqrs


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1997
• Nombre de lectures: 55
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 1997\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS On dispose de 3 urnes U 1 , U 2 , U 3 contenant chacune 2 boules indiscernables. Dans U 1 ; dans Uune boule est marquée G, l’autre est marquée A 2 une boule est 1 marquée 3, l’autre est marquée 5 ; dans U 3 , l’autre est marune boule est marquée 2 quée 2. Une épreuve E consiste à tirer au hasard une boule dans chaque urne. On définit une suiteude la façon suivante : si la boule tirée dans U 1 est marqué A, la suite est arithmétique, si elle est marquée G, la suite est géométrique ; la boule tirée dans U 2 désigne le premier termeu 0 et la boule tirée dans U 3 désigne la raison.

1.Calculer la probabilité d’avoir : a.une suiteuarithmétique ; b.une suiteuconvergente ; c.une suiteutelle queu 4 soit un nombre entier pair. 2.Calculer la probabilité d’avoir une suiteuqui ne soit pas convergente sachant qu’elle est géométrique. 3.uite numéUn joueur tire une boule dans chaque urne et définit ainsi une s riqueu: – siuest géométrique, il gagne 5 F ; – siuest arithmétique etu 4 6 7, il perd 4 F ; – siuest arithmétique etu 4 >7, il perd 6 F. SoitXla variable aléatoire égale au gain (algébrique) du joueur : – donnerla « loi de probabilité » deX; – calculerl’espérance deX.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Dans le plan orienté, on considère le carré ABCD de centre O tel que AB = 6 cm et ³ ´ −→−→ π AB ,AD=. On définit les points P, Q, R, S de la façon suivante : 2 −→ 1 −→−→ 1 −→−→ 1 −→−→ 1 −→ AP=BQAB ,=CRBC ,=CD ,DS=DA . 3 3 3 3 Le but de l’exercice est de préciser la nature du quadrilatèrePQRSen utilisant deux méthodes différentes. Placer les points P, Q, R et S sur une figure. 1.Première méthode : utilisant les nombres complexes ³ ´ −→−→ On considère le repère orthonormalA,u,u, les vecteurs unitaires étant −→−→ respectivement colinéaires et de même sens que ABet AD, l’unité étant le cm. a.Déterminer les affixesa,b,c,drespectives des points A, B, C, D. Calculer les affixesp,q,r,srespectives des points P, Q, R, S. −→→− s−p b..et SR , puis le quotientCalculer les affixes des vecteurs PQ q−p c.Interpréter géométriquement ces résultats et en déduire la nature du quadrilatère PQRS ?

Le baccalauréat de 1988

A. P. M. E. P.

2. Deuxièmeméthode : géométrique π On notef.la rotation de centre O et d’angle 2 a.Déterminer les images parfde A et B. Montrer que l’image de P parf est le point Q. b.Déterminer les images de Q, R et S parf. c.En utilisant ce qui précède, préciser et justifier la nature du quadrilatère PQRS.

P R O B L È M E 11 P O IN TS Partie A : étude d’une fonction numérique On considère la fonction numérique définie par : f:R→R −x x→−7f(x)=x+e ³ ´ −→−→ SoitCla courbe représentative defO,dans un repère orthonormal directı, du plan, l’unité graphique est 1 cm. 1. a.Déterminer la limite defen+∞. b) Déterminer la limite defen−∞, −x x [on pourra écriref(x) sous la forme :f(x)=e (xe+1)]. 2.Étudier les variations def. 3.Montrer que la droiteDd’équationy=xest asymptote àC. Étudier la posi tion deCpar rapport àD. ³ ´ −→−→ 4.TracerDetCO,dans le repèreı,.

Partie B : Étude d’une transformation du plan Soit l’applicationrdu plan (P) dans luimême qui à tout pointMd’affixezfait cor ′ ′ respondre le pointMd’affixezdéfinie par : Ã ! p 2 2 ′ z= −−iz. 2 2 p 2 2 1.Calculer le module et l’argument de− −i etreconnaîtrer. 2 2 ′ ′′ ′′ 2.On posez=x+iyetz=x+iyoùx,y,xetysont quatre réels. Calculerz ′ ′′ en fonction dez. En déduirexetyen fonction dexety. 3.On suppose que le pointMde coordonnées (x;y) appartient àC, montrer ′ ′′ que les coordonnéesxetydeMimage deMparrvérifient la relation : ³ ´ ′ ′ y= −x+2 lnx2 .

Partie C : Étude d’une fonction numérique On considère la fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ par : ³ ´ p g(x)= −x+2 lnx2 . ³ ´ −→−→ ′ SoitCsa représentation graphique dans le repèreO,ı,. 1.Étudier les limites degen 0 et en+∞. 2.Étudier les variations deg.

Antilles–Guyane

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Le baccalauréat de 1988

A. P. M. E. P.

3.En utilisant éventuellement les résultats obtenus dans la partie B, tracer la ′ courbeCdans le même repère que la courbeC.

Partie D : Calcul d’aire Z 2 ³ ´ 1.Calculer lnx2 dxen utilisant une intégration par parties. 1 2.SoitDl’ensemble des pointsMdont les coordonnées vérifient :

1 6 x 6 2 etg(x) 6 y 6 f(x). 2 Calculer en cml’aire du domaineD; on en donnera une valeur approcheée −2 à 10.

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