Baccalauréat S Asie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Asie 21 juin 2011 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) . 1. Étude d'une fonction f On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x)= lnx x . On note f ? la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +∞[. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ( O, ??ı , ??? ) . La courbe C f est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. b. Calculer la dérivée f ? de la fonction f . c. En déduire les variations de la fonction f . 2. Étude d'une fonction g On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par : g (x)= (lnx) 2 x . On note Cg la courbe représentative de la fonction g dans le repère ( O, ??ı , ??? ) . a. Déterminer la limite de g en 0, puis en +∞. Après l'avoir justifiée, on utilisera la relation : (lnx) 2 x = 4 ( lnpx p x )2 .

• point d'intersection


• equation cartésienne


• hauteur du triangle stu


• restitution organisée de connaissances


• entier naturel


• coordonnées


• surfaces ?

Sujets

• Équation cartésienne
• Entier naturel
• Coordonnées

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2011
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSAsie21juin2011\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
³ ´!? !?
Leplanestrapportéàunrepèreorthonormal O, ı , | .
1. Étude d’une fonction f On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; ?1[
par:
lnx
f(x)? .
x
0Onnote f lafonctiondérivéedelafonction f surl’intervalle]0;?1[.
³ ´!? !?
On noteC la courbe représentative de la fonction f dans le repère O, ı , | . Laf
courbeC estreprésentéeenannexe1(àrendreaveclacopie).f
a. Déterminerleslimitesdelafonction f en0eten?1.
0b. Calculerladérivée f delafonction f.
c. Endéduirelesvariationsdelafonction f.
2. Étuded’unefonction g
Onconsidèrelafonction g définiesurl’intervalle]0;?1[par:
2(lnx)
g(x)? .
x
³ ´!? !?
OnnoteC lacourbereprésentativedelafonction g danslerepère O, ı , | .g
a. Déterminerlalimitedeg en0,puisen?1.
pµ ¶22(lnx) ln x
Aprèsl’avoirjustifiée,onutiliseralarelation: ?4 p .
x x
0b. Calculerladérivéeg delafonction g.
c. Dresserletableaudevariationdelafonction g.
3. a. DémontrerquelescourbesC etC possèdentdeuxpointscommunsdontonf g
préciseralescoordonnées.
b. ÉtudierlapositionrelativedescourbesC etC .f g
c. Tracersurlegraphiquedel’annexe1(àrendreaveclacopie)lacourbeC,g.
4. On désigne parA l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan délimitée,
d’une partpar les courbesC etC ,etd’autre partpar les droitesd’équations res-f g
pectives x?1etx?e.
En exprimant l’aireA comme différence de deux aires que l’on précisera, calculer
l’aireA.
EXERCICE 2 5points
Communàtouslescandidats
DansleplancomplexeonconsidèrelespointsA,BetCd’affixesrespectives a??2,b?5i
et c?4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres
respectifsS,TetU.
Lafigureestdonnéeenannexe2.
?
1. Donnerl’écriturecomplexedelarotationr decentreAetd’angle .Endéduireque
2
lepointJapouraffixe?7?2i.
Onadmettraquel’affixedupointKest-2-6i.BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK]
et[JC]ontlamêmelongueur.Calculercettelongueur.
3. a. CalculerlesaffixesdespointsSetT.
b. Déterminerl’affixedupointU.
c. Démontrerqueladroite(AU)estunehauteurdutriangleSTU.
³ ´?! ?!
4. Déterminerunemesuredel’angle JC,AU .
5. Onadmetquelesdroites(BK)et(JC)secoupentaupointVd’affixe
v??0,752?0,864i.
a. ÉtablirquelespointsA,VetUsontalignés.
?b. Quereprésenteladroite(AU)pourl’angleBVC?
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
On considère un cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1. On note I le point d’intersection
deladroite(EC)etduplan(AFH).
³ ´?! ?! ??!
1. Onseplacedanslerepère D; DA,DC,DH .
Danscerepère,lessommetsducubeontpourcoordonnées:
A(1; 0; 0)B(1; 1; 0)C(0; 1; 0)D(0;0; 0)E(1;0; 1)F(1; 1; 1)C(0; 1; 1)H(0;0; 1)
a. Déterminerunereprésentationparamétriquedeladroite(EC).
b. Détermineruneéquationcartésienneduplan(AFH).
c. EndéduirelescoordonnéesdupointI,puismontrerquelepointIestleprojeté
orthogonaldupointEsurleplan(AFH).
p
3
d. VérifierqueladistancedupointEauplan(AFH)estégaleà .
3
e. Démontrerqueladroite(HI)estperpendiculaireàladroite(AF).
QuereprésentelepointIpourletriangleAFH?
2. Dans la suite de cet exercice,toute trace de recherche,mêmeincomplète, ou d’initia-
tive,mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
Définitions:
? untétraèdreestditdetype1sisesfacesontmêmeaire;
? ilestditdetype2silesarêtesopposéessontorthogonalesdeuxàdeux;
? ilestditdetype3s’ilestàlafoisdetype1etdetype2.
Préciserdequel(s)type(s)estletétraèdreEAFH.
H
G
E
F
I
D
C
A
B
Asie 2 21juin2011
bbbbbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 4 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
On admet que la durée de vie (exprimée en années) d’un certain type de capteur de lu-
mière peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de
paramètre? (? strictement positif), c’est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe
enpanneavantl’année t (t positif)s’exprimepar:
Zt
??xF(t)?p(X6t)?p([0; t])? ?e dx.
0
1. Restitutionorganiséedeconnaissances
Pré-requis:
p(A\B)
a. p (A)? (où A etB sontdeuxévènementstelsque p(B)6?0);B
p(B)
³ ´
b. p A ?1?p(A)(où A estunévènement);
c. p([a; b])?F(b)?F(a)(oùaetbsontdesnombresréelspositifstelsquea6b).
Démontrerque,pourtoutnombreréelpositif s,ona:
F(t?s)?F(t)
p ([t ; t?s])? ,[t ;?1]
1?F(t)
etque p ([t ; t?s])estindépendantdunombreréel t.[t ;?1]
Pourlasuitedel’exercice,onprendra??0,2.
2. Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des
?0,4deuxpremièresannéesestégaleàe .
3. Sachant que le capteur n’est pas tombé en panne au cours desdeux premières an-
nées, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu’il soit encore en état de
marcheauboutdesixans?
4. Onconsidèreunlotde10capteurs,fonctionnantdemanièreindépendante.
Danscettequestion,lesprobabilitésserontarrondiesàlasixièmedécimale.
a. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait exactement deux capteurs
quinetombentpasenpanneaucoursdesdeuxpremièresannées.
b. Déterminer laprobabilitéque,danscelot,il yaitaumoins uncapteur quine
tombepasenpanneaucoursdesdeuxpremièresannées.
EXERCICE 4 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PartieA:Restitutionorganiséedeconnaissances
1. Pré-requis :tout nombre entier n strictement supérieur à 1admet aumoins un di-
viseurpremier.
Démontrerquetoutnombreentier n strictementsupérieur à1estpremieroupeut
se décomposer en produitdefacteurs premiers(onnedemandepas dedémontrer
l’unicitédecettedécomposition).
2. Donnerladécompositionenproduitdefacteurspremiersde629.
PartieB
³ ´!? !? !?
Dansun repèreorthonormal O, ı , | , k , on considère les surfacesΓ etC d’équations
2 2respectives:Γ:z?xy etC : x ?z ?1.
1. DonnerlanaturedelasurfaceC etdéterminersesélémentscaractéristiques.
Asie 3 21juin2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Pointsd’intersectionàcoordonnéesentièresdessurfacesΓetC
a. Démontrerquelescoordonnées(x ; y ; z)despointsd’intersectiondeΓetde
C sonttellesque:
¡ ¢
2 2x 1?y ?1.
b. EndéduirequeΓetC ontdeuxpointsd’intersectiondontlescoordonnéessont
desnombresentiersrelatifs.
3. Pointsd’intersectionàcoordonnéesentièresdeΓetd’unplan
Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par P le plan d’équationn
4z?n ?4.
a. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de Γ et du plan P dont les1
coordonnéessontdesnombresentiersrelatifs.
Pourlasuitedel’exercice,onsuppose n>2.
¡ ¢¡ ¢
2 2 4b. Vérifierque: n ?2n?2 n ?2n?2 ?n ?4.
4c. Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel n>2,n ?4 n’est pas
premier.
d. Endéduirequelenombredepointsd’intersection deΓetduplanP dontlesn
coordonnéessontdesnombresentiersrelatifsestsupérieurouégalà8.
e. Déterminer les points d’intersection deΓ et du plan P dont les coordonnées5
sontdesnombresentiersrelatifs.
Asie 4 21juin2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Annexe1(exercice1)
0,6
0,5
0,4
0,3
Cf
0,2
0,1
O
5 10 15 20
?0,1
?0,2
?0,3
?0,4
Asie 5 21juin2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Annexe2(exercice2)
N
I
B
U
M
S
J
A C
T
K L
Asie 6 21juin2011
bbb