Baccalauréat S Asie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Asie 21 juin 2011 \ EXERCICE 1 5 points 1. (?x ?]0;+∞[) f (x)= lnx x . a. La limite de la fonction f en 0 est?∞ car lim x?0 ; x>0 ( 1 x ) =+∞ et lim x?0 ; x>0 (ln(x))=?∞ ; donc on obtient par produit le résultat énoncé. En +∞, la limite de la fonction f est 0 (voir le cours). b. f ?(x)= 1 x ? x?1? ln(x) x2 = 1 x2 ? (1? ln(x)) . c. f ?(x) est du signe de (1? ln(x)) sur ]0 ; +∞[, or sur ]0 ; +∞[ ; 1? ln(x)> 0 ?? x < e; 1? ln(x)< 0 ?? x > e; 1? ln(x)= 0 ?? x = e x 0 e +∞ f ?(x) + 0 ? f ?∞ 1 e 0 2. Étude d'une fonction g On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par : g (x)= (lnx) 2 x .

• p2?ei pi4


• z???


• calculons z??


• angle


• ?2i


• z?? jc

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2011
• Nombre de lectures: 38

Extrait

[BaccalauréatSAsie21juin2011\
EXERCICE 1 5points
1.
lnx
(8x2]0;?1[) f(x)? .
x
? ?
1
a. Lalimitedelafonction f en0est?1car lim ??1et lim (ln(x))??1;
x!0 ; x?0 x x!0 ; x?0
donconobtientparproduitlerésultaténoncé.
En?1,lalimitedelafonction f est0(voirlecours).
1?x?1?ln(x) 1x0b. f (x)? ? ?(1?ln(x)).
2 2x x
0c. f (x)estdusignede(1?ln(x))sur]0;?1[,
orsur]0;?1[;
1?ln(x)?0 () x?e; 1?ln(x)?0 () x?e; 1?ln(x)?0 () x?e
x 0 e ?1
0f (x) ? 0 ?
1
e
f
?1 0
2. Étuded’unefonctiong
Onconsidèrelafonction g définiesurl’intervalle]0;?1[par:
2(lnx)
g(x)? .
x
? ??! ?!
OnnoteC lacourbereprésentativedelafonction g danslerepère O, ı , | .g
a. Lalimitedeg en0est?1carg(x)?f(x)?ln(x)or,
lim (ln(x))??1; lim (f(x))??1; donc on obtient par produit le ré-
x!0;x?0 x!0 ; x?0
sultaténoncé.
Lalimitedeg en?1est0car:
? p ? ? p ? ? ?2 2 2 2ln( x) 2ln( x) ln(x) (ln(x))
4 ? ? ? ?g(x).p p p
xx x x
? !? p ? ? ? ? ? ? ?2 2ln( x) ln(X) ln(X)
Donc lim (g(x))? lim 4 p ? lim 4 ?0car lim ?0;
x!?1 x!?1 X!?1 X X!?1 Xx
p
onaposé X ? x et X tendvers?1quandxtendvers?1.
1 1
0 2b. g (x)? ?(2ln(x)?(ln(x)) )? ?(2?ln(x))?ln(x),
2 2x x
0 2doncg (x)s’annulessiln(x)?0ouln(x)?2doncpourx?1oux?e .
2x 0 1 e ?1
ln(x) jj ? 0 ?
(2?ln(x)) jj ? ? 0 ?
0g (x) jj ? 0 ? 0 ?BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2x 0 1 e ?1
0 ? 0 ? 0 ? 0g (x)
4?1
2e
g
0
0c.
3. a. Les courbesC etC se coupent aux points dont les abscisses sont les solu-f g
tions f(x)?g(x)
2 2f(x)? g(x) () ln(x)? (ln(x)) () 0?(ln(x)) ?ln(x) () 0?ln(x)?
(ln(x)?1) () ln(x)?0 ou ln(x)?1 () x?1 ou x?e? ?
1
cesontlesdeuxpoints A(1; 0);B e; .
e
b. La position relative des courbesC etC est donnée par l’étude du signe def g
f(x)?g(x).
2f(x)?g(x)?0 () ln(x)?(ln(x)) () ln(x)(1?ln(x))?0
x 0 1 e ?1
ln(x) jj ? 0 ?
(1?ln(x)) jj ? ? 0 ?
ln(x)?(1?ln(x)) jj ? 0 ? 0 ?
f(x)?g(x)?0 () ln(x)?0ouln(x)?1 () x?1oux?e
f(x)?g(x)?0 () 1?x?e
Lacourbede f estaudessusdelacourbedeg pourx2]1; e[.
Lacourbede f estaudessousdelacourbedeg pourx2]0; 1[\]e;?1[.
Lacourbede f coupelacourbedeg pourx?1oupourx?e.
c. Onatracésurlegraphiquedel’annexe1(àrendreaveclacopie)lacourbeC .g
Ze
4. A ? (f(x)?g(x))dx carsur [1 ; e], f(x)?g(x) et f et g sont continues
1
surcetintervalle.Z Ze e 2 2 3ln(x) (ln(x)) (ln(x)) (ln(x)) 1 1 1eA ? ( )dx? ( )dx?[ ? ] ? ? ?1x x 2 3 2 3 61 1
n 0(pourtrouverlesprimitives,onareconnulaformeu ?u avecu:x7!u(x)?ln(x)et
0 0 1 0u :x7!u (x)? etpourlapremièreintégralen?1c’estu?u etpourladeuxième
x
2 0n?2c’estu ?u ;
n?1u(x)n 0etsin6??1,alorsu ?u apourprimitive x7! .
n?1
Asie 2 21juin2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Annexe1(exercice1)
0,6
0,5
0,4
?E
0,3
Cf
0,2
0,1
O
5 10 15 20
?0,1
?0,2
?0,3
?0,4
Asie 3 21juin2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Communàtouslescandidats
Lafigureestdonnéeenannexe2.
?
i? 0 21. L’écriturecomplexedelarotationr decentreAetd’angle estz ?e (z?z )?z .A A
2
0Doncz ?iz?2i?2.
LepointJapouraffixeiz ?2?2i??5?2?2i??7?2i.B
Onadmettraquel’affixedupointKest-2-6i.
z?! ? ?JC
2. Lesdroites(BK)et(JC)sontperpendiculairesssiarg( )? ou? .
??!z 2 2
BK
zJC
Lessegments[BK]et[JC]ontlamêmelongueurssij j?1
zBK
z?! 4?7?2i 11?2i i(?11i?2)JC
Calculons c’est ? ? ?i.
??!z ?2?6i?5i ?2?11i ?2?11i
BK
z ?JC
Doncenprenantmoduleetargumentdei,onprouveainsiquearg( )? etque
z 2BK
z?!
JC
j j?1
??!z
BK
donclessegments[BK]et[JC]ontlamêmelongueuretsontperpendiculaires.p p
2 2Lalongueurde[BK]égalelalongueurde[JC]égale 11 ?2 ? 125.
z ?zJ B
3. a. Le point S est le milieu de[JB] doncsi onnote z l’affixe deS, z ? ?S S
2
?3,5?3,5i.
z ?zK C
LepointT estlemilieude[KC]doncsionnotez l’affixedeT,z ? ?T T
2
1?3i.
?
b. LepointU estlemilieu de[CN],or N estobtenuparrotationde autour de
2
5?9i?4
B dupointC,doncz ?i(z ?z )?z donc z ?5?9idoncz ? ?N C B B N U
2
4,5?4,5i.
c. Démontrons que la droite (AU) est perpendiculaire à la droite (ST) en calcu-
??!z
AU
lantunargumentde .
z?!
ST
??!z 4,5?4,5i?2 6,5?4,5i i?(4,5?6,5i)AU
Or ? ? ? ?i
??!z 1?3i?3,5?3,5i 4,5?6,5i 4,5?6,5i
ST
?! ??! ?
donc(ST ; AU )? ,ladroite(AU)estperpendiculaireàladroite(ST).
2
? ? z??!?! ?! AU
4. Unemesuredel’angle JC,AU estdonnéeparunargumentde .
?!z
JC
??!z 4,5?4,5i?2 6,5?4,5i (6,5?4,5i)?(11?2i) (13?9i)?(11?2i)AU
Or ? ? ? ? ?
?!z 11?2i 11?2i 125 250
JC p p?i
4(143?18)?i?(99?26) 125?125i 1?i 2?e 2 ?i 4? ? ? ? ?e , donc l’angle
250 250 2 2 2? ??! ?! ?
JC,AU vaut à2k?près
4
5. Onadmetquelesdroites(BK)et(JC)secoupentaupointVd’affixe
v??0,752?0,864i
(en fait x??0,752 et y?0,864 s’obtiennent en résolvant le système donné par les
11
deuxéquations desdroites(BK) et(JC)d’équations respectives: y? x?5et y?
2
?2
(x?4)).
11
??!a. z ?2?0,752?0,864i?1,248?0,864i.
AV
??!z ?6,5?4,5i.
AU
Asie 4 21juin2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
1248 156 12 24
Or1,248? ? ?13? ?6,5? .
1000 125 125 125
864 108 12 24
0.864? ? ?9? ?4,5? .
1000 125 125 125
??! 24 ??!
Donc AV ? AU donc A,V,U sontalignés.
125
? ??! ?! ?
?b. l’angleBVCestdroitcar JC,BK ? c’estl’angleentrelesdroites(BK); (JC)
2? ?? ??! ??!?etonsaitquel’angle UVCvaut car JC,AU ? donccommeV estaligné
4 4
avec J etC et J,V,C sontalignésdanscetordre
etque A,V,U sontaussialignésdanscetordre? ? ??! ?! ?VC,VU ? ,donclademi-droite[VU)estlabissectricedel’angleBVC.
4
?Ladroite(AU)estdoncbissectricedel’angleBVC.
Asie 5 21juin2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Annexe2(exercice2)
N
I
B
U
M
S
J
o?CVU?45
VAA
C
T
K L
Asie 6 21juin2011
cbcbcbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 5points
1. a. Unereprésentationparamétriquedeladroite(EC)c’est
8 8x ? x ?t?x??!> E x ? 1?t< <EC
??!y ? y ?t?y( E t2R () y ? 0?t t2REC> ::
?! z ? 1?tz ? z ?t?zE EC
0 1
?1
??!@ AcarE(1;0;1)etEC 1 .
?1
b. Uneéquationcartésienneduplan(AFH)estdelaforme
0 1
a
?!@ Abax?by?cz?d?0,avecN estunvecteurnormalàceplandoncnormal
c
0 1 0 1
0 1
?! ??! ??! ??!@ A @ Aà AF etFH or AF 1 etHF 1
1 0
?! ?!
doncavecleproduitscalairedeN etde AF :b?c?0
?! ??!
doncavecleproduitscalairedeN etdeHF :a?b?0;
0 1
?b
?! ?!
@ Adonc c ??b;a??b donc N b , tous les vecteurs N sont colinéaires à
?b
0 1
1
??!
@ AN ?1 doncl’équationduplan(AFH)c’estx?y?z?d?0resteàtrouver?1
1
d, or ce plan passe par A(1 ; 0 ; 0) donc1?d?0 doncd??1, (AFH) a pour
équation x?y?z?1?0
c. LescoordonnéesdupointIsontlessolutionsdusystème
8
x ? 1?t><
y ? 0?t
> z ? 1?t:
1?t?t?1?t ? 1
,donc
8 1t ?> 3< 2x ?
3
1> y ? 3: 2z ? 3
0 1 0 12 ?1?13 3?! ?! ?! ??!1 1 ?1@ A @ Apuis comme EI , donc EI donc EI ? N et vu que I 2?13 3 3
2 ?1?1
3 3
(AFH),lepointI estleprojetéorthogonaldupointEsurleplan(AFH).
p1
2 2 2d. LadistancedupointE auplan(AFH)estégaleàEI? ? (?1) ?1 ?(?1) ?
3p
3
.
3
jax ?by ?cz ?djE E E
(onpeutaussicalculercettedistanceaveclaformuled(E ; (AFH))? p
2 2 2a ?b ?cp
1 3
c’estp ? )
33
?!
e. Ladroite(HI)estperpendiculaireàladroite(AF)ssileproduitscalairedeHI
?!
etde AF estnul,
Asie 7 21juin2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
0 1 0 1 0 12 20 3 3??! ??! ??!1 1@ A @ A @ Aor AF 1 et HI , donc HI , on fait le produit scalaireon3 3
2 ?11 ?13 3
1 ?1trouve ? ?0donc3 3
Ladroite(HI)estperpendiculaireàladroite(AF).
LepointI estdansleplandutriangleAFHetladroite(HI)estperpendiculaire
àladroite(AF)donc(HI)estl’unedeshauteursdutriangleAFH,pourprouver
queI estl’orthocentredutriangle AFH prouvonsqueladroite(AI)estperpen-
0 1 0 1?1 1
3?! ??!1@ A @ A1diculaireàladroite(HF),onfaitleproduitscalairede AI etHF3
2 0
3
?1 1ontrouve ? ?0;3 3
I estl’orthocentredutriangleAFH etcommecetriangleestéquilatéraldecôtép
delongueur 2,lepointI estpointderencontrede«touteslesdroites»dutri-
angle AFH
p
absin(C)2. LetriangleAFHestéquilatéraldecôté 2doncsonaire(formuleA(ABC)? )2pp p32( 2) ? 3 12donc ? orl’airede AEH c’estcelled’une demifaceducubec’est
2 2 2
donc le tétraèdre est ni de type 1 ni de type 3. Reste à voir s’il est de type 2 or par
?! ?! ?! ?!
exempleEA s’écritEI ?IA ,etl’arêteopposéeà[EA]c’est[HF]etEI estorthogo-
?! ??! ?! ??!
nalàtoutelaface(AFH)doncEI ?HF etIA ?HF car(AI)estl’unedeshauteurs
dutriangle AFH donc[EA]et[HF]sontorthogonalesetilendemêmeaveclesdeux
autrescouplesd’arêtes:([EF]et[AH])et([EH]et[AF])
letétraèdreEAFHestditdetype2carlesarêtesopposées sontorthogonalesdeuxà
deux
H
G
E
F
I
D
C