Baccalauréat S Centres étrangers II juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Centres étrangers II juin 1997 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incident se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée : – la probabilité que l'alarme se déclenche par erreur, c'est-à-dire sans qu'il y ait eu incident, est égale à 150 ;– la probabilité qu'un incident survienne sans que l'alarme se déclenche est égale à 1500 ; – la probabilité qu'un incident se produise est égale à 1100 .On pourra noter : A l'évènement « l'alarme se déclenche » ; I l'évènement « un incident se produit » ; A et I leurs évènements contraires respectifs. Ainsi, par exemple, A? I représente l'évènement « l'alarme se déclenche sans qu'il y ait incident ». Partie A 1. Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l'alarme se déclenche. En déduire la probabilité que l'alarme se déclenche. 2. Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d'alarme soit mis en défaut ? 3. L'alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un incident ? Partie B Les assureurs estiment qu'en moyenne, pour l'entreprise, le coût des anomalies est le suivant : – 5000 F pour un incident lorsque l'alarme fonctionne ; –

• moyen des anomalies


• variable représentant le coût journalier des anomalies pour l'entreprise


• axe des abscisses


• ex sin2


• points enseignement obligatoire


• equation différentielle


• coût journalier


• signe de ex ?1

Sujets

• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1997
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Centres étrangers II juin 1997\

E X E R C IC E points1 5 Commun à tous les candidats Une usine est dotée d’un système d’alarme qui se déclenche en principe lorsqu’un incident se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée : – laprobabilité que l’alarme se déclenche par erreur, c’estàdire sans qu’il y ait 1 eu incident, est égale à; 50 – laprobabilité qu’un incident survienne sans que l’alarme se déclenche est 1 égale à; 500 1 – laprobabilité qu’un incident se produise est égale à. 100 On pourra noter :Al’évènement « l’alarme se déclenche » ; Il’évènement « un incident se produit » ; AetIleurs évènements contraires respectifs. Ainsi, par exemple,A∩Ireprésente l’évènement « l’alarme se déclenche sans qu’il y ait incident ». Partie A

1.Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l’alarme se déclenche. En déduire la probabilité que l’alarme se déclenche. 2.Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d’alarme soit mis en défaut ? 3.L’alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu’il y ait réellement un incident ?

Partie B Les assureurs estiment qu’en moyenne, pour l’entreprise, le coût des anomalies est le suivant : – 5000 F pour un incident lorsque l’alarme fonctionne ; – 15000 F pour un incident lorsque l’alarme ne se déclenche pas ; – 1000 F lorsque l’alarme se déclenche par erreur. On considère qu’il se produit au plus une anomalie par jour. SoitXla variable représentant le coût journalier des anomalies pour l’entreprise. 1.Donner la loi de probabilité deX. 2.Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?

E X E R C IC E 2 4points Enseignement obligatoire Z π x 1.Soit l’intégrale : K=e cos(2x) dx. 0 π e−1 À l’aide de deux intégrations par parties successives, montrer que : K=. 5 Z Z π π x2x2 2.Soient I=e cosxdxet J=e sinxdx. 0 0 Calculer I + J et I−J. En déduire les valeurs de I et J.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

2 2 3.Linéariser cosxet sinx. Retrouver directement les valeurs de I et de J à l’aide de ce résultat et de la première question.

E X E R C IC E 2 4points Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Soit O,ı,un repère orthonormal du plan. On considère la courbe (C) de re présentation paramétrique : ½ x=3 cost oùt2décrit l’intervalle [0 ;π] y=2 sint

1.Reconnaître la nature de la courbe (C) et en donner l’équation cartésienne. Tracer (C) (unité graphique 2 cm). 2.Exprimer en fonction det, l’affixezd’un pointM(t) de (C). ′ 3.Soit A le point d’affixe 2. Pour tout pointMde (C), on construit le pointMtel AM ′ ′ que le triangle AM Msoit direct, rectangle en A et tel que : AM=. 2 ′ a.Montrer queMest l’image deMpar une similitude directe que l’on pré cisera. ′ ′ b.Exprimer l’affixezdeMen fonction det. c.es pointsEn déduire une représentation paramétrique de l’ensemble d ′ MlorsqueMdécrit (C). ′ ′ d.Montrer queMappartient à la courbe (C) d’équation cartésienne :

4 2 2 (x−2)+(y+1)=1. 9 ′ Montrer que (C) est une conique dont on précisera le centre.

P R O B L È M E 11 points Partie A  Résolution d’une équation différentielle On cherche dans cette partie à résoudre l’équation différentielle (E) : ′′ ′ y−2y+y= −x+1 c’estàdire qu’on cherche à déterminer l’ensemble des fonctions numériquesgdeux ′′ ′ fois dérivables surRet telles que, pour tout réelx:g(x)−2g(x)+g(x)= −x+1. ′ ′′′ 1.Résoudre l’équation différentielle (E ) :y−2y+y=0. 2.Déterminer deux nombres réelsmetptels que la fonctionudéfinie par : u(x)=m x+psoit solution de l’équation différentielle (E). 3.Démontrer qu’une fonction g est solution de (E) si et seulement si la fonction ′ g−uest solution de l’équation différentielle (E ). 4.Résoudre l’équation différentielle (E). 5.Déterminer la fonctionfdeRdansRsolution de (E) et telle que :f(0)= −1 et ′ f(0)=0.

Partie B  Étude d’une solution de l’équation différentielle Soitfla fonction numérique définie surRpar :

x f(x)=xe−x−1. ³ ´ −→−→ Soit (CO,) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormalı,.

Centres étrangers II

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

1.Calculer les limites defen+∞et en−∞. Démontrer que la droite (D) d’équa tiony= −x−1 est asymptote à la courbe (C). ′x x 2. a.Vérifier que, pour tout réelx:f(x)=xe+e−1. x x b.Étudier le signe de e−1 et celui dexe . c.En déduire le sens de variation def. 3.Tracer (C) et (D). 4.Démontrer que l’équationf(x)=0 admet exactement deux solutions dansR. On noteacelle qui est positive. Montrer que : 0,8 6 a 6 0, 81.

Partie C  Détermination d’une valeur approchée dea 1.Soitx 0 un nombre réel strictement positif. On considère la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscissex 0 et on notex 1 l’abscisse du point d’inter section de (T) et de l’axe des abscisses. f ( x 0 ) Établir la relation :x 1 =x 0 −. ′ f ( x 0 ) On considère la fonctionϕdéfinie sur ]0 ;+∞[ par la relation f(x) (1) :ϕ(x)=x−. ′ f(x) L’étude faite dans la partie B du problème montre queϕest définie sur ]0 ;+∞[. On remarquera que cϕ(a)=a. f(x)f"(x) ′ 2. a.Vérifier que pour toutx>0 :ϕ(x)=. ′2 [f(x)] ′ (on utilisera la relation (1) sans expliciter nif(x) nif(x). ′′ b.Calculerf(x). ′ ′′ c.Démontrer quefetfsont croissantes sur l’intervalle ]0 ;+∞[. d.En déduire que, sixappartient à l’intervalle [a; 0,81] : ′′ f(0, 81)f(0, 81) ′ 0 6 ϕ(x) 6 . ′2 [f(0, 8)] e.Démontrer, à l’aide de l’inégalité des accroissements pour tout réelxap partenant à l’intervalle [a81] :; 0,

−2 0 6 ϕ(x)−a 6 10 (x−a). f.En déduire que, sia 6 x 6 alors :0, 81,a 6 ϕ(x) 6 0, 81. 3. On pose :x 0 =0, 81,x 1 =ϕ ( x 0 ) etx 2 =ϕ ( x 1 )∙ −6 a.Démontrer quex 2 près deest une valeur approchée par excès à 10a. b.Donner, à l’aide d’une calculatrice, une valeur approchée dex 2 .

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