Baccalauréat S Centres étrangers juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 1997 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats On dispose de deux urnesU1 etU2 contenant des boules indiscernables au toucher. U1 contient n boules blanches et 3 boules noires (n est un entier supérieur ou égal à 1).U2 contient 2 boules blanches et 1 boule noire. On tire au hasard une boule de U1 et on la met dans U2, puis on tire au hasard une boule deU2 et on la met dansU1 ; l'ensemble de ces opérations constitue une épreuve. 1. On considère l'évènement A : « après l'épreuve, les urnes se retrouvent cha- cune dans leur configuration de départ ». a. Montrer que la probabilité p(A) de l'évènement A peut s'écrire : p(A)= 34 ( n+2 n+3 ) . b. Déterminer la limite de p(A) lorsque n tend vers +∞. 2. On considère l'évènement B : « après l'épreuve, l'urne U2 contient une seule boule blanche ». Vérifier que la probabilité p(B) de l'évènement B peut s'écrire p(B)= 64(n+3) . 3. Un joueur mise 20 francs et effectue une épreuve. À l'issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dansU2.

• points candidats


• etu2 contenant des boules indiscernables


• courbe représentative


• barycentre du système de points pondé


• boule blanche


• affixe

Sujets

• Graphe d'une fonction
• Affixe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1997
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Centres étrangers juin 1997\

E X E R C IC E 1 4points Commun à tous les candidats On dispose de deux urnesU 1 etU 2 contenant des boules indiscernables au toucher. U 1 contientnboules blanches et 3 boules noires (nest un entier supérieur ou égal à 1).U 2 contient 2 boules blanches et 1 boule noire. On tire au hasard une boule deU 1 et on la met dansU 2 , puis on tire au hasard une boule deU 2 et on la met dansU 1 ; l’ensemble de ces opérations constitue une épreuve. 1.On considère l’évènement A : « après l’épreuve, les urnes se retrouvent cha cune dans leur configuration de départ ». a.Montrer que la probabilitép(A) de l’évènementApeut s’écrire : µ ¶ 3n+2 p(A)=. 4n+3 b.Déterminer la limite dep(A) lorsquentend vers+∞. 2.On considère l’évènement B : « après l’épreuve, l’urneU 2 contient une seule boule blanche ». Vérifier que la probabilitép(B) de l’évènementBpeut s’écrire 6 p(B)=. 4(n+3) 3.Un joueur mise 20 francs et effectue une épreuve. À l’issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dansU 2 . – SiU 2 contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit 2nfrancs ; – SiU 2 contient 2 boules blanches, le joueur reçoitnfrancs ; – SiU 2 contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien. a.Expliquer pourquoi le joueur n’a aucun intérêt à jouer tant quenne dé passe pas 10.? Dans la suite, on considèren>10 et on introduit la va riable aléatoireXqui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si, après l’épreuve, l’urneU 2 contient une seule boule blanche, X=2n?20). b.Déterminer la loi de probabilité deX. c.Calculer l’espérance mathématique deX. d.On dit que le jeu est favorable au joueur si et seulement si l’espérance mathématique est strictement positive. Montrer qu’il en est ainsi dès que l’urneU 1 contient au moins 25 boules blanches.

E X E R C IC E points2 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal directO,u,v, l’unité gra phique est 1 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives :

³ ´³ ´³ ´³ ´³ ´³ ´ p pp z A =3 3−2+i 3+;2 3z B = −3−1+i 3−1 ;z C =1−4 3+i−4−3 . ³ ´ −→−→ 1.O,On se propose de placer les points A, B et C dans le repèreu,và l’aide du compas. Pour cela on considère la rotationRde centre O et d’angle de 2π mesure−. 3

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

a.Donner l’écriture complexe deR. ′ b.Vérifier queRd’affixe : 4transforme le point A en le point A−6i. ′ ′ On admettra queRet Ctransforme les points B et C en les points B d’affixes respectives 2+2i et ?2+8i. ′ ′ ′ c.puis, à l’aide du compas, les points A, B, C. (LaPlacer les points A , B , C construction du point A sera justifiée). 2. a.Calculerz A ?z B +z C . b.En déduire que le point O est le barycentre du système de points pondé rés {(A, 1), (B,−1), (C, 1)}. 3.Soit l’ensembleCdes pointsMdu plan tels que : −−→ −−→ −−→−−→ −−→−−→ kMA−MB+MCk = kMA−2MB+MC .k a.Vérifier que B appartient àC. b.Déterminer puis tracer l’ensembleC. 4.Déterminer puis tracer l’ensembleDdes pointsMdu plan tels que : −−→−−→−−→−→−−→ 2.kMA−MB+MCk = kMA−3MB .k

E X E R C IC E points2 5 Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Dans le plan complexePO,rapporté à un repère orthonormal directu,v, on donne les points A d’affixe 2i, B d’affixe 2 et I milieu de [AB] (on prendra 2 cm pour unité graphique). On considère la fonctionfqui, à tout pointMdistinct de A, d’affixez, associe le ′ ′ pointMd’affixeztelle que : ? 2z ′ z=. z−2i 1. a.Montrer quefadmet comme points invariants le point O et un deuxième point dont on précisera l’affixe. b.Déterminer les images parfdes points B et I. 2.SoitMun point quelconque distinct de A et de O. Établir que : ³ ´³ ´  −→ −−−→ −−→−−→ ′  u; OM=MA ;MO+k2π,k∈Z MO  ′ OM=2 MA 3.Soit (Δ) la médiatrice de [OA]. Montrer que les transformés parfdes points de (Δ) appartiennent à un cercle (C) que l’on précisera. 4.Soit (Γ) le cercle de diamètre [OA], privé du point A. Montrer que les transfor més parfdes points de (Γ) appartiennent à une droite (D) que l’on précisera. 5.Tracer (Δ), (Γ), (C), (D) sur une même figure.

P R O B L È M E 11 points Partie A Soit la fonctionfdéfinie pour tout réelxdifférent de 1 par : ? −x e f(x)= 2(1−x) On appelleΓsa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal ³ ´ −→−→ O,ı,.

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

1. a.Étudier les limites def(x) lorsquextend vers+∞, et lorsquextend vers 1. Interpréter graphiquement ces résultats. b.Vérifier que, pour toutxdifférent de 1,f(x) peut s’écrire : −x ex f(x)= × −x2(x−1) En déduirelimf(x). x→−∞ ? −x xe ′ 2. a.Montrer quef(x)=. 2 2(1−x) b.Étudier les variations def. c.Montrer quefadmet un minimum que l’on précisera sur l’intervalle ]− ∞; 1[.

Partie B ′′ ′ On considère l’équation différentielle (E) :y+2y+y=0 oùyest une fonction numérique deux fois dérivable surR. 1.Résoudre (E). 2.On considère les solutions de (E) dont la courbe représentative passe par le µ ¶ 1 point A de coordonnées0 ;. 2 µ ¶ 1 −x a.Montrer que ces solutions s’écrivent sous la forme :a x+e . 2 On note alors : µ ¶ 1 −x h a (x)=a x+e . 2 oùaest un nombre réel. b.Faire l’étude du sens de variation deh a selon les valeurs deaet montrer que, pour tout réeladifférent de 0,h a admet un extremum pour une valeur dexque l’on déterminera en fonction dea. c.On noteC a la courbe représentative deh a etS a le point deC a corres pondant à l’extremum deh a ; vérifier que, pour tout réeladifférent de 0,S a est un point deΓ, la courbe définie dans la partie A.

Partie C Sur la feuille donnée en annexe, on a représenté dans le plan muni d’un repère or 1 thonormal les courbesC a poura=et pour quatre autres valeurs dea:−et2, 0, 1 4 2. 1.Sur cette feuille annexe, construireΓet ses droites asymptotes. 2.Pour chacune des courbesC a ?tracées (autres queC 1 ), déterminer la valeur 4 correspondante deaen indiquant la méthode utilisée.

Partie D 1 Dans cette partie, on considère la fonctionh a obtenue poura=. 4 Soitλun nombre réel supérieur à−2 ; on appelle D λ l’ensemble des points du plan limité par l’axe des abscisses, la courbeC 1 et la droite d’équationx=λ. 4

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A. P. M. E. P.

1.Exprimer ? en fonction deλ; on pourra utiliser une intégration par parties ou se servir de l’équation différentielle (E). 2.SoitA(λ) la mesure en unités d’aire de l’aire D λ ; quelle est la limite deA(λ) lorsqueλtend vers+∞?

a=a= 4

3

2

1

−5−4−3−2−1 12 3 4 −1

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1 a= 4

−2

−3 a= a=

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