Baccalauréat S Centres étrangers juin 1996

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Centres étrangers \ juin 1996 1. EXERCICE 1 4 points 1. Soit a un nombre réel. On considère la suite (un ) de nombres réels définie pour tout entier naturel n > 1 par la relation de récurrence un+1 = 4 10 ? 3 10un et par la condition initiale u1 = a. a. Soit (vn) la suite de nombres réels définie pour tout entier naturel n > 1 par vn = 13un ?4. Montrer que (vn) est une suite géométrique et déterminer sa raison k. Exprimer vn en fonction de n et a. b. Prouver que pour tout entier naturel n > 1, un = 4 13 + ( a? 4 13 )( ? 3 10 )n?1 . c. Déterminer la limite de la suite (un ). 2. Un professeur oublie fréquemment les clés de sa salle de classe. Pour tout en- tier naturel n > 1, on note En l'évènement : « le professeur oublie ses clés le jour n » et En l'évènement contraire de En . Soit pn la probabilité de En et qn celle de En . On note a la probabilité p1 qu'il oublie ses clés le premier jour. On suppose en outre que les deux conditions suivantes sont réalisées : – Si le jour n, il oublie ses clés, la probabilité qu'il les oublie encore le jour suivant n+1 est 110 .

• coefficient directeur de la tangente t1


• quadrilatère sur la figure


• construction de c1


• points enseignement obligatoire


• points de coordonnées respectives

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1996
• Nombre de lectures: 462
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSCentresétrangers \
juin1996
1.
EXERCICE 1 4points
1. Soit a un nombre réel. On considère la suite (u ) de nombres réels définien
pourtoutentiernatureln>1parlarelationderécurrence
4 3
u ? ? un?1 n
10 10
etparlaconditioninitialeu ?a.1
a. Soit(v )lasuitedenombresréelsdéfiniepourtoutentier natureln>1n
parv ?13u ?4.n n
Montrerque(v )estunesuitegéométriqueetdéterminersaraisonk.n
Exprimer v enfonctionden eta.n
b. Prouverquepourtoutentiernatureln>1,
µ ¶µ ¶n?14 4 3
u ? ? a? ? .n
13 13 10
c. Déterminerlalimitedelasuite(u ).n
2. Unprofesseuroubliefréquemmentlesclésdesasalledeclasse.Pourtouten-
tier naturel n>1, on note E l’évènement : «le professeur oublie ses clés len
journ»etE l’évènement contrairedeE .n n
Soit p laprobabilitédeE et q celledeE .Onnote a laprobabilité p qu’iln n n n 1
oublie ses clés le premier jour. On suppose en outre que les deux conditions
suivantessontréalisées:
– Silejourn,iloubliesesclés,laprobabilitéqu’illesoublieencorelejour
1
suivantn?1est .
10
– Si le jour n, il n’oublie pas ses clés, la probabilité qu’il les oublie le jour
4
suivantn?1est .
10
1 4
a. Montrerque,pourtoutn>1, p ? p ? q .n?1 n n
10 10
Pour cela, on pourra d’abord calculer les probabilités conditionnelles³ ´
p(E /E )etp E /E .n?1 n n?1 n
Endéduirel’expressiondep enfonctiondep .n?1 n
b. Àl’aidedesrésultatsdelaquestion1.,donnerl’expressiondep enfonc-n
tiondea etn.
Lalimite p dep dépend-elledelaconditioninitiale a?n
EXERCICE 2 5points
Enseignementobligatoire
³ ´!? !?
LeplanPestrapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v .Lorsqu’unpointde
0Pest désigné par une lettremajuscule (A,B,G, ..., M ,..., M ,...), onconvient de1
désignersonaffixecomplexeparlalettreminusculecorrespondante(a,b,g,...,m ,1
0...,m ,...).
SoientA,B,CtroispointsduplanP.OnnoteGleurisobarycentre.
ÀtoutpointMduplanPonassocielespointsM ,M ,M isobarycentresrespectifs1 2 3
0de{M, B, C},{M, A, C}et{M, A, B}.OnnoteenfinM l’isobarycentrede{M ,M ,M }.1 2 3BaccalauréatS A.P.M.E.P.
1. a. TracerletriangleABCetsonisobarycentreGsurunefigure.
??! ??! ??! ??!
ExprimerOG,enfonctiondeOA,OB etOC.Endéduirel’expressionde
g enfonctiondea,b,c.
0b. Exprimerdemêmem ,m ,m puism enfonctiondea,b,c,m.1 2 3
02. Soit f latransformationquiàtoutpointMdePassocielepointM .
0 1a. Montrerquem ?g? (m?g).
3
b. En déduire la nature de la transformation f et ses éléments caractéris-
tiques.
0 0 0c. Placersurla figurel’image A B C dutriangleABCpar latransformation
f.
d. Déterminerlerapportdesairesdecesdeuxtriangles.
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité
0On considère deux points distincts donnés F et F du plan orienté. On note O le
0milieude[FF ]etΔlamédiatricedecesegment. Onpose c?OF.OnnoteAetBles
pointsdeΔtelsqueOA=OB?c.
Onnotes lasymétriecentraledecentreFetr larotationdecentreFetd’angledont
?
unemesureest .
2
0 0SoientDetD lesdroitessymétriquesdeΔparrapportàFetF .
Cesdifférentsélémentssontplacéssurlafigureci-dessous.Ilconvientdereproduire
cettefiguresurlacopie.
1. a. OnconsidèrelespointsP=r(A)etQ= s(A).Prouverquer(Q)=B.
DéterminerlanatureduquadrilatèreAPQBettracercequadrilatèresur
lafigure.
b. Déterminer les images respectives du segment [AB] par s, par r et par
r?s.
c. ÀtoutpointNdusegment [AB],onassocielespoints H= s(N),I= r(N),
etJ=r(H)=(r?s)(N).
Déterminer la nature du quadrilatère NIHJ et tracer ce quadrilatère sur
lafigure.
2. OnnoteΓlecercledecentreNetderayonNI.
a. MontrerquepourtoutpointMduplan,
¡ ¢
2 2 2 2MH ?MN ?2 MF ?NF .
b. EndéduirequeΓestl’ensembledespointsMduplanvérifiant
2 2MH ?2MF ?0.
3. OnnoteKlaprojectionorthogonaledeHsurΔetonpose??ONoù
06?6c.
ExprimerNKenfonctionde?,puisNFetNIenfonctionde?etdec.
En déduireque lecercleΓ coupe la droite(HK) endeux points M et M dis-1 2
tinctsouconfondus.
M 11F
4. Prouverque ? .p
M1H 2
EndéduirequelorsqueNparcourtlesegment[AB],lespointsM etM appar-1 2
tiennent àuneellipse EdontFestunfoyeretdontonprécisera l’excentricité
etladirectriceassociéeàF.PlacerlessommetsdeEettracercetteellipse.
Centresétrangers 2 juin1996BaccalauréatS A.P.M.E.P.
0D Δ D
A
N
0OF F
H
B
PROBLÈME 11points
Soitk unnombreréel.Onconsidèrelafonction f définiesur[0;1]par:k
2f (x)?x(lnx) ?kx si x?0 et f (0)?0.k k
OnnoteC lacourbereprésentativedelafonction f dansleplanrapportéaurepèrek k³ ´!? !?
orthonormal O, ı , | (unitégraphique:10cm).
OnnoteI,JetLlespointsdecoordonnéesrespectives(1;0), (0;1)et(1;1).
Partie1-Étudedesfonctions fk
A.Danscettequestionk?0.Étudeetreprésentationde f .0
1. Signedeladérivée
0 0a. Calculer la dérivée f de f sur ]0; 1] et montrer que f (x) peut s’écrire00 0
souslaforme:
f (x)?(lnx)(lnx?2).0
b. Déterminerlessolutionsdel’équation f (x)?0sur]0;1].0
0c. Étudierlesignede f (x)sur]0;1].
0
2. Étudeàl’origine
2lnu (lnu)
a. Déterminerlalimitede p puisde lorsqueu tendvers?1.
uu
2b. En déduireque x(lnx) tend vers 0 quand x tend vers 0, puis que f est0
continueen0.
f (x)0
c. Déterminerlalimitede lorsque x tendvers0.
x
EndéduirelatangenteenOàlacourbeC .0
3. TracédelacourbeC0
a. Dresserletableaudesvariationsde f .0
b. TracerlacourbeC .0
B.Étudede fk
Centresétrangers 3 juin1996
bbbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
1. Dérivéede fk
a. Calculer f (x)sur]0;1].k
b. Soit A le point deC d’abscisse 1. Montrer que la tangente T àC auk k k k
pointA estladroite(OA ).k k
2. Étudeàl’origine
a. Établirque f estcontinueen0.k
b. DéterminerlatangenteàC enO.k
Onnedemandepasd’étudierlesvariationsde f .k
C.Étudeetreprésentationde f et f1 1/2
1. Étudede f ettracédeC1 1
0 2a. Prouverquepourtout x2]0; 1], f (x)?(lnx?1) .
1
b. DéterminerlapositionrelativedescourbesC etC .0 1
c. Établir le tableau devariation de f et tracerC sur le même graphique1 1
queC en précisant le coefficient directeur de la tangente T àC au0 1 1
pointA .1
2. Étudede f ettracédeC1/2 1/2
a. Prouverquepourtout x2[0; 1],
f (x)?f (x)0 1
f (x)? .1/2
2
b. En déduire une construction deC à partir deC etC et tracerC1/2 0 1 1/2
surlemêmegraphiquequeC etC enprécisantlatangenteT àC0 1 1/2 1/2
aupointA .1/2
PartieII-PartageducarréOILJenquatrepartiesdemêmeaire
Soit?unnombreréeltelque0??61.
1. Calculd’uneintégrale
Z1
2Onpose:I(?)? x(lnx) dx.
?
a. Prouver,eneffectuantuneintégrationparparties,que:
Z2 1? 2I(?)?? (ln?) ? xlnxdx.
2 ?
b. Eneffectuantànouveauuneintégrationparpartiesprouverque:
2 2 2? ? 1 ?2I(?)?? (ln?) ? ln?? ? .
2 2 4 4
c. Déterminerlalimite I deI(?)lorsque?tendvers0.
2. Calculd’aires
Z1
a. Onpose:S (?)? f (x)dx.k k
?
ExprimerS (?)enfonctionde?.EndéduirelalimiteS deS (?)quandk k k
?tendvers0.
Onadmettraquecettelimitereprésentel’aire(expriméeenunitésd’aire)
dudomaine plan limité par la courbeC , l’axe (Ox) etla droited’équa-k
tion x?1.
b. En déduire que les courbes C ,C et C partagent le carré OIU en0 1/2 1
quatrepartiesdemêmeaire.
Centresétrangers 4 juin1996