Baccalauréat S France juin correction

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S France 15 juin 2007 (correction)\ EXERCICE 1 3 points 1. (P) a pour équation cartésienne : x+2y ? z+1= 0. Un vecteur normal à (P) est : ??n ? ? 1 2 ?1 ? ?. (P') a pour équation cartésienne : ?x+ y + z = 0. Un vecteur normal à (P) est : ?? n? ? ? ?1 1 1 ? ?. Alors : ??n . ?? n? = (1? (?1))+ (2?1)+ (?1?1) =?1+2?1= 0 donc les vecteurs ??n et ?? n? sont orthogonaux. Les plans (P) et (P') sont perpendiculaires. 2. Les deux plans étant perpendiculaires, ils se coupent selon une droite (d). Les coordonnées (x ; y ; z) des points de (d) vérifient les deux équations des plans et sont solutions du système formé par ces deux équations { x+2y ? z+1 = 0 ?x+ y + z = 0 ? { x+2y = z?1 = 0 ?x+ y = ?z ? { ?x+ y = ?z 3y = ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x = ?1 3 + t y = ?1 3 z = t , t ?R qui est la représentation paramétrique de (d) donnée dans

• cercle


• equation cartésienne


• π0 ?


• droite appelée droite d'euler


• vecteurs ???hg


• centre du cercle circons- crit


• affixe zg?

Sujets

• France 5
• France 3
• France 4
• France 2
• Cercle
• Équation cartésienne

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSFrance15juin2007(correction)\
EXERCICE 1 3points
 
1
→−  1. (P)apouréquationcartésienne:x+2y−z+1=0.Unvecteurnormalà(P)est: n 2 .
−1
 
−1→−
′ (P’)apouréquationcartésienne:−x+y+z=0.Unvecteurnormalà(P)est:n 1 .
1
→− →−→− →−′ ′Alors: n.n =(1×(−1))+(2×1)+(−1×1)=−1+2−1=0donclesvecteurs n etn sontorthogonaux.Lesplans(P)
et(P’)sontperpendiculaires.
2. Lesdeuxplansétantperpendiculaires,ilssecoupentselonunedroite(d).Lescoordonnées(x ; y ; z)despointsde
(d)vérifientlesdeuxéquationsdesplansetsontsolutions dusystèmeforméparcesdeuxéquations? ? ?
x+2y−z+1 = 0 x+2y=z−1 = 0 −x+y = −z
⇔ ⇔
−x+y+z = 0 −x+y = −z 3y = −1

1 x = − +t 3
1⇔ , t∈Rquiestlareprésentationparamétriquede(d)donnéedansletexte.
y = − 3
z = t
3. Pourunpland’équation(P)cartésienneax+by+cz+d=0etunpointA(x ; y ; z ),ladistanceentreAet(P)est:A A A
|ax +by +cz +d|A A A
d(A;(P))= p .
2 2 2a +b +c
2 2
Onendéduit:d(A;(P))=p etd(A;(P’))=p .
6 3
NotonsHetH’lesprojetésorthogonauxdeAsur(P)etsur(P’).Commelesdeuxplans(P)et(P’)sontorthogonaux,
leprojeté orthogonaldeHsur(P’)estcofondu avecleprojeté orthogonaldeH’sur(P).LequadrilatèreAHDH’est
doncunrectangle.SoitδladistanceentreAet(d).δestlalongueurdeladiagonaledecerectangle.Onapplique le
? ? ? ?2 2 p2 2 2 4
2théorèmedePythagore:δ = p + p = + =2.D’oùδ= 2.
3 36 3
EXERCICE 2 3points
1. Restitutionorganiséedeconnaissances
Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] et dont les dérivées sont continues. Alors uv est dérivable et
′ ′ ′(uv) =u v+uv . R Rb b′ ′ ′ ′ ′ ′Parconséquent,u v=(uv)−uv etcesontdesfonctionscontinuesd’où u (x)v(x)dx= [(uv) (x)−u(x)v (x)]dx=a aR R Rb b b′ ′ b ′(uv) (x) dx− u(x)v (x) dx (linéaritédel’intégrale) = [u(x)v(x)] − u(x)v (x) dx = u(b)v(b)−u(a)v(a)−a a a aRb ′u(x)v (x) dx.a
R Rπ πx x2. OnposeI= e sinx dx etJ= e cosx dx.0 0
′ x x ′a. Premièreméthode:onposeu (x)=e d’oùu(x)=e etv(x)=sinx d’oùv (x)=cosx.
u etv sontdérivablesetleursdérivéessontcontinues.Oneffectueuneintégrationparparties:Rππx xI=[e sinx] − e cosx dx=−JdoncI=−J.0 0
Deuxièmeméthode:
x ′ x ′onposeu(x)=e doncu (x)=e etw (x)=sinx d’oùw(x)=−cosx.
′ ′u etw sontcontinues.Onintègreparparties:Rπx π x π πI=[−e cosx] − −e cosx dx=1+e +JdoncI=1+e +J.0 0
Onobtientlesystème:BaccalauréatS
?
I=−J
.πI=1+e +J
1 1π πOnobtient:I= (1+e )etJ=− (1+e )
2 2
France 2 15juin2007BaccalauréatS
EXERCICE 3 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialitéPartieA
3 2Soit(E)l’équation z −(4+i)z +(13+4i)z−13i=0.
3 21. Ona:i −(4+i)i +(13+4i)i−13i=−i+4+i−4+13i−13i=0donciestsolutionde(E).
2 3 22. (z−i)(az +bz+c)=az +(b−ai)z +(c−bi)z−ic.
Deuxpolynômessontégauxsietseulement silescoefficientssontégaux.Onobtientlesystème:
 
a = 1 a = 1  a = 1  
b−ai = −4−i c = 13
⇔ ⇔ b = −4
  c−bi = 13+4i b−i = −4−i  c = 13
−ic = −13i 13−bi = 13+4i
3 2 2doncz −(4+i)z +(13+4i)z−13i=(z−i)(z −4z+13).
23. L’équation(E)s’écrit(z−i)(z −4z+13)=0.
DansC,unproduitdefacteursestnulsietseulement sil’undesfacteursestnul.
• z−i=0⇔z=i
2• z −4z+13=0.
4−6i2Δ=−36=(6i) <0.Ilyadeuxracinescomplexesconjuguées =2−3iet2+3i.
2
L’ensemble dessolutionsest:S ={i; 2−3i; 2+3i}
PartieB
π
1. Soitr larotationdecentreBetd’angle .
4
π π′ i ′ i
4 4Uneécriturecomplexeder estz −z =e (z−z )⇔z =e (z−2−3i)+2+3i.B B? !p p
p ? p ?π 2 2i
4Onendéduitz =e (−2−2i)+2+3i=−2 +i (1+i)+2+3i=−2i 2+2+3i=2+ 3−2 2 i.A’
2 2
2. LesaffixesdeA’,BetContlamêmepartieréelle2donclestroispointssontalignéssurladroited’équationréduite
x=2. p p
BA’ 3−(3−2 2) 2 2
A’estdoncl’imagedeCparunehomothétiedecentreBetderapportk.k>0donck= = = =
BC 3−(−3) 6p
2
.
3
Uneécriturecomplexedecettehomothétie estalors:p
2′ ′z =k(z−z )+z c’est-à-direz = (z−2−3i)+2+3i.B B
3
EXERCICE 3 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. SoitσlasimilitudedirectedecentreAquitransformeCenH. p
AH |z −z | |6i| 6 3 3 2H A
Lerapportdecettesimilitudeestk= = = = = = .p p
AC |z −z | 8−8i| 8C A 8 2 4 2? ? ? ? ? ? ? ?? ? z −z −6i 6 i 3−→ −→ H A
Un angle de cette similitude est : AC; AH =arg =arg =arg − × =arg − ×(−1+i) =
z −z 8−8i 8 1−i 8C A? ?
3 π
arg (1−i) =− +2kπ,k∈Z.
8 4 p
3 2 π
σestlasimilutudedirectedecentreA,derapport etd’angle− .
8 4
′2. a. s apourécriturecomplexe z =az+b.
AetCsontinvariantsdonconalesystème:?
z = az +bA A
.
z = az +bC C
France 3 15juin2007BaccalauréatS
? ? z −z −8+8i −1+iA C
En soustrayant membre à membre, il vient : z −z = a z −z donc a = = = =A C A C
z −z −8−8i −1−iA C
−i(−1−i)
=−i.
−1−i
b=z −az =−5+6i+i(−5−6i)=−5+6i−5i+6=1+iA A
′s apourécriturecomplexe:z =−iz+1+i.
s n’est pas l’identité et est une similitude indirecte ayant deux points invariants : c’est une symétrie axiale,
d’axe(AC).
b. EestlesymétriquedeHparrapportàladroite(AC),doncEestl‘imagedeHpars.
z =−iz +1+i=−i(−5)+1+i=1+6i. z .E H E=1+6i
p
c. LerayonducerclecirconscritautriangleABCestFA=|z −z |=|−5+6i+2−i|=|−3+5i|= 34.A Fp
FE=|z −z |=|1+6i+2−i|=|3+5i|= 34.E F
FE=FAdoncEappartientaucerclecirconscritautriangleABC.
(Remarque: H est en fait l’orthocentre du triangle ABC et on a vérifié une propriétégénérale dans un triangle
disantquelesymétriquedel’orthocentred’untriangleparrapportàuncôtédecetriangleappartientaucercle
circonscrit )
z +z −5+6i+3−2i −2+4iA C
3. Iestlemilieude[AC].L’affixedeIestz = = = =−1+2i. z =−1+2i.I I
2 2 2
2
G est l’image de I par l’homothétie de centre B et de rapport . (par conséquent, G est le centre de gravité du tri-
3
angle,puisque l’onsaitquecelui-ciestauxdeuxtiersdechaquemédianeenpartantdusommet).
2 2′Cettehomothétie apourécriturecomplexe z −z = (z−z )doncz= (z+7+2i)−7−2i.B B
3 3
2 2 8 2 2
Avecz=z ,onobtientz = (−1+2i+7+2i)−7−2i= (6+4i)−7−2i=4+ i−7−2i=−3+ i.z =−3+ i.I G G
3 3 3 3 3
2 2−→
LevecteurHG apouraffixez −z =−3+ i+5=2+ i.G H
3 3 ? ?
−→ 3 2 3
−→LevecteurHF apouraffixez −z =−2+i+5=3+i= 2+ i = z .F H HG2 3 2
−→ −→
LesvecteursHGetHFsontdonccolinéaires:lespointsH,GetFsontdonccolinéaires.
(remarque:onaremontrédansuncasparticulierquedansuntrianglenonéquilatéral,lecentreducerclecircons-
crit,lecentredegravitéetl’othocentred’untrianglesontalignéssurunedroiteappeléedroited’Euler.)
? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
E
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
I
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
→−F xvG? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
→−OH u? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
B C
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
France 4 15juin2007
bbbbbbbbBaccalauréatS
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.
1. Supposonsqu’ilvoie5clientsetchaquerencontreestconsidéréecommeuneexpérienceidentique,indépendante,
pourlaquellelaprobabilitédevendreleproduitestp=0,2.
SiX estlavariablealéatoiredonnantlenombredeproduitsvendus, X suitlaloibinomialeB(5; p).? ?5 2 3 2 3Alorsp(X=2)= p (1−p) =10×0,2 ×0,8 =0,2048.(réponsed)).2
2. NotonsG l’événement «l’élèvechoisiestungarçon»etP l’événement «l’élèvechoisiaobtenusonpermis».
Représentonslasituationparunarbre.
1
P10
G
1
4
9 P
10
P=(P∩G)∪(P∩G)(réuniond’événements incompatibles).
3
4
1
P3
G
2 P3 1 1 1 3 1 1 11
Alors: p(P)=p(P∩G)+p(P∩G)=p (P)×p(G)+p (P)×p(G)= × + × = + = =0,275. RéponseG G 10 4 3 4 40 4 40
b).
1
p(G∩P) 140
3. Ils’agit decalculer laprobabilité conditionnelle p (G). p (G)= = = ≈0,091 à 0,001 près. C’est laP P 11p(P) 11
40
réponseb).
4. Ilfautcalculerlequotiententrel’airedelazoneextérieureetl’airetotale.
2 2π×30 −π×20 900π−100π 500π 500 5
p= = = = = .C’estlaréponsea).
2π×30 900π 900π 900 9
Ilfallaitrépondre:d),b),b),a)
EXERCICE 5 5points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle ]−1;+∞[par:
ln(1+x)
f(x)=x− .
1+x
PartieA
1. f estdérivablecommecomposée,quotientetsommedefonctionsdérivablessur]−1;+∞[.
lnv ′ ′f =u− enposantu(x)=x etv(x)=1+x.u (x)=1etv (x)=1.
v
′v ′? ?′ ×v−v lnv ′lnv 1−v lnvv′ ′ ′ ′f =u − =u − =u − .
2 2v v v
21−ln(1+x) (1+x) −1+ln(1+x)′Parconséquent,pourtoutx de]−1;+∞[, f (x)=1− = .
2 2(1+x) (1+x)
France 5 15juin2007
bbbbbbbBaccalauréatS
22.