Baccalauréat S France septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S France septembre 2006 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie A 1. b b E1 0,5 b E2 0,2 b O20,8 b O1 0,5 b E2 0,8 b O20,2 2. On a p (E1)= 0,5 ; pE1 (O2)= 0,8 ; p (E1?E2)= 0,5?0,2 = 0,1. 3. La probabilité cherchée est p (E1?E2)+p (O1?O2)= 0,1+0,5?0,2 = 0,1+0,1 = 0,2. Partie B 1. On a ici une épreuve de Bernoulli de paramètres n et p = 0,5= 1 2 . La probabi- lité que k touristes partent à l'Est est donc : (n k ) 0,5k ? (1?0,5)n?k = (n k ) 0,5n . 2. a. étant donné qu'il y a au moins 3 touristes et qu'il n'y a que 2 plages, il ya obligatoirement aumoins deux touristes aumoins sur une plage, donc il ne peut pas y avoir deux touristes heureux. b.

• ?24k ?


• ??? pq


• solutions entières


• ce??x ?1 ??


• ??


• ??


• ?z ?

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2006
• Nombre de lectures: 10

Extrait

[BaccalauréatSFranceseptembre2006\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
PartieA
1.
0,2
E2E1
0,5
O20,8
0,8 E2
0,5
O1 O20,2
2. Onap(E )=0,5; p (O )=0,8; p(E ∩E )=0,5×0,2=0,1.1 E 2 1 21
3. Laprobabilitécherchéeestp E ∩E +p O ∩O =0,1+0,5×0,2=( ) ( )1 2 1 2
0,1+0,1=0,2.
PartieB
1
1. OnaiciuneépreuvedeBernoullideparamètresn etp=0,5= .Laprobabi-
2? ? ? ?
n k n−k n nlitéquek touristespartentàl’Estestdonc: 0,5 ×(1−0,5) = 0,5 .
k k
2. a. étantdonnéqu’ilyaaumoins3touristesetqu’iln’yaque2plages,ilya
obligatoirementaumoinsdeuxtouristesaumoinssuruneplage,doncil
nepeutpasyavoirdeuxtouristesheureux.
b. Ilnepeutyavoiruntouristeheureuxquedansdeuxcas:
– unseulestpartiàl’Estetlesautres(n−1)versl’Ouest;
– unseulestpartiversl’Ouestetlesautres(n−1)versl’Est.
? ? ? ? ? ?n n n? ? ? ? 1 1 1n n−1 n n−1Onadoncp= 0,5×0,5 + 0,5×0,5 =n +n =2n =
1 1 2 2 2
n
.
n−12
c. Laprobabilitéqu’ilyaituntouristeheureuxparmi10touristesest:
10 10
= ≈0,195soit0,20aucentièmeprès(1chancesur5).
92 512
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
−−−→−−−→ ′ ′ ′1. OM (x ; y)etOM (x ; y ).
−−−→ −−−→−−→ −−→′ ′ ′ ′OM et OM sont orthogonaux si et seulement si OM ?OM (x ; y )=0 ⇐⇒
′ ′xx +yy =0.
? ?
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Orz z=(x +iy )(x−iy)=xx +yy +i(xy −x y).D’oùRe z z =xx +yy .
−−−→−−→ ′ ′Conclusion:OM etOM sontorthogonauxsietseulementsiRe(z z)=0.
′2. De même O, M et M sont alignés si et seulement si leurs coordonnées sont
′ ′ ′ ′proportionnelles,soitsi y=αx et y =αx soitsixy −x y=0.
? ?
′ ′ ′OrIm z z =xy −x y.
′ ′Conclusion:O,M etM sontalignéssietseulementsiIm(z z)=0.
Applications
bbbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
? ? −−−→ −−→23. SoitN z −1 .D’aprèslaquestion1.OM etON sontorthogonauxsietseule-? ? ? ? ?? ? ?
2 2 2 2 2mentsiRe(z z −1 )=0⇐⇒ Re (x−iy) x −y −1+2ixy =0 ⇐⇒ x x −y −1 +? ?
2 2 2 2 2 22xy =0 ⇐⇒ x x −1 =0⇐⇒ x=0oux +y −1=0 ⇐⇒ x=0oux +y =
1.
L’ensembledespointsM estdonclaréuniondel’axedesordonnées(x=0)et
2 2ducerclecentréenOetderayon1(x +y =1).
? ?
1
4. P −1 .
2z
∗a. Pourtoutz∈C
? ? ? ?? ? ??? ?1 1 1
2 2−1 z −1 = −1 −z −1
2 2 2z z z
? ?? ?
1 1
2=−z −1 −1
2 2z z
? ?2? ?1
2? ?=−z −1? ?2z
? ?2? ?12? ?=−z −1? ?2z
?? ? ?? ?1
2b. O,N etP sontalignésd’après2.sietseulementsiIm −1 z −1 =
2z? ?? ?2? ? ? ? ? ?12 2 2 2? ?0 ⇐⇒ Im −z −1 =0 ⇐⇒ Im −z =0 ⇐⇒ Im −x +2ixy+y =? ?2z? ?2? ?1 1 1? ?0ou −1 =0 ⇐⇒ xy=0ou −1=0 ⇐⇒ x=0ou y=0ou =? ?2 2 2z z z
1 ⇐⇒ x=0ou y=0ouz=−1ouz=1.
Conclusion:l’ensemble despoints M telsqueO,N etP sontalignésest
laréuniondesdeuxaxesdecoordonnées(exceptél’origineO).
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
(E) : 17x−24y=9
1. a. Ona17×9−24×6=9quiestvraie.
?
17x−24y = 9
b. De ondéduitpardifférence:
17×9−24×6 = 9
17(x−9)−24(y−6)=0 ⇐⇒ 17(x−9)=24(y−6) (1).
Donc24divise17(x−9),maisétantpremieravec17,divisex−9.Ilexiste
donck∈Ztelquex−9=24k ⇐⇒ x=9+24k.
Enreportantdans(1),17×24k=24(y−6) ⇐⇒ 17k=y−6 ⇐⇒
y=6+17k.
L’ensembledessolutionsdel’équation(E)estdonc:
{(9+24k ; 6+17k)}, k∈Z.
Onvériequepourtoutk∈Z, 17(9+24k)−24(6+17k)=153+17×24k−
144−24×17k=9.
2. a. SiJeanaeffectué y toursavantd’attraper lepompom àl’instant t,alors
quelepompomaeffectuéx tours,alorst=17x (lepompom),etcomme
3
Jeanmet ×24=9secondespourallerdeHàA,alorspourluit=9+24y,
8
soitenégalant:17x=9+24y ⇐⇒ 17x−24y=9,x∈N, y∈N.
Le couple (x ; y) doit donc être une solution de l’équation résolue à la
question1.
Métropole-LaRéunion 2 septembre2006BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Ord’aprèsl’ensembledessolutions,lepluspetitcoupledenombrespo-
sitifs vérigiant cette équation est le couple (9; 6). Donc le temps néce-
saire à Jean pour attraper le pompom est t = 17×9= 9+24×6= 153
secondessoit2minuteset33secondes.
b. EndeuxminutesJeann’apasletempsd’attraperlepompom.
c. Enraisonnantcommeaua.
17
– SiJeanattrapelepompomaupointB,ondoitavoirt= +17x=
4
5
×24+24y ⇐⇒ 68x=43+96y ⇐⇒ 68x−96y=43.
8
OrlePGCDde68et96est4quinedivisepas43,donccetteéqua-
tionn’apasdesolutionsentières.
17
– SiJeanattrapelepompomaupointC,ondoitavoirt= +17x=
2
7
×24+24y ⇐⇒ 34x=25+48y ⇐⇒ 34x−48y=25.
8
LePGCDde34et48est2quinedivisepas25,donccetteéquation
n’apasdesolutionsentières.
51
– SiJeanattrapelepompomaupointD,ondoitavoirt= +17x=
4
1
×24+24y ⇐⇒ 68x=−39+96y ⇐⇒ 68x−96y=−39.
8
LePGCDde68et96est4quinedivisepas39,donccetteéquation
n’apasdesolutionsentières.
Conclusion:Jeannepeutattraperlepompomqu’aupointA.
1
d. Si Jean part de E, on a toujours t= 17x et pour Jean t = ×24+24y =
8
3+24y,d’où17x=3+24y ⇐⇒ 17x−24y=3.
Or17×3−24×2=3,donclecouple(3; 2)estsolutiondecetteéquation.
Le temps nécessaire à Jeanpour attraper le pompom est t=17×3=51
secondesquisontbieninférieuresauxdeuxminutespayées.
EXERCICE 3 5points
? ?
1 1 1
1. Si sur −∞; , y >0, alors z= existe (et z>0). En dérivant z= , on0
2 y y0 0
obtient:
′y0′ ′ 2z =− .Orpardéfinition y =y +λy ,donc:00 02y0
2y +λy0 10′z =− =−1−λ =−1−λz.
2y y00
1
Deplus y(0)=1⇒z(0)= =1.
y(0) ?
′z = −1−λz
Conclusionz estsolutiondel’équationdifférentielle:
z(0) = 1
′ ′2. a. Cours : posons u =λz+1; u est dérivable et u =λz =−λ(λz+1) (z
solutiondel’équationdifférentielle).
′Doncu =−λu et d’aprèsle pré-requisles fonctionsu solution decette
−λxdernière équation différentielle sont de la forme : u(x)=Ce =λz+
C 1−λx −λx1 ⇐⇒ λz=Ce −1 ⇐⇒ z= e − (carλ6?0).
λ λ
C 1
Deplusz(0)= − =1 ⇐⇒ C−1=λ ⇐⇒ C=1+λ.
λ λ
Cecimontrel’existenceetl’unicitédelafonctionz .0
1+λ 1−λxb. Doncz (x)= e − .0
λ λ
Métropole-LaRéunion 3 septembre2006BaccalauréatS A.P.M.E.P.
x
3. a. Soit f définiesur]0; 1]par f(x)=ln(1+x)− . f sommedefonctions
x+1
1 1+x−x 1 1′dérivables est dérivable et f (x)= − = − =
2 21+x (x+1) 1+x (1+x)
1+x−1 x
= qui est un quotient de nombres supérieurs à zéro
2 2(1+x) (1+x)
quelquesoitx∈]0; 1].
Ladérivéeétantpositive,lafonction f estcroissantesur]0; 1].
Comme lim f(x)=0,ilenrésulteque f(x)>0sur]0; 1].Donc
x→0+
x x
ln(1+x)− >0 ⇐⇒ ln(1+x)> .
x+1 x+1
λ
Enparticuliercomme0<λ61, ln(1+λ)> .
λ+1
λ 1 1
b. Onaln(1+λ)> ⇐⇒ ln(1+λ)> (1).
λ+1 λ λ+1
1 1
Or0<λ61 ⇐⇒ 1<λ+162 ⇐⇒ < (2).
2 λ+1
1 1
Encomparant(1)et(2),onendéduitque ln(1+λ)> .
λ 2
? ?1+λ 1 1−λx −λx4. Onaz (x)=0 ⇐⇒ e − =0 ⇐⇒ e = ⇐⇒ −λx=ln ⇐⇒0
λ λ 1+λ 1+λ
ln(1+λ) 1
λx=ln(1+λ) ⇐⇒ x= > d’aprèslaquestionprécédente.
λ 2 ? ?
1
Conclusionlafonctionz nes’annulepassurl’intervalle −∞; .0
2 ? ?
1
La fonction z est continue et garde donc un signe constant sur −∞; .0
2
Comme z (0)=1>0,ilenrésultequelafonction z estsupérieureàzérosur0 0? ?
1
l’intervalle −∞; .
2
1
La fonction y = existe donc, est positive comme inverse d’une fonction0
z0? ?
1
positivesur −∞; etpeuts’écrire:
2
λ
y = .0 −λx(1+λ)e −1
EXERCICE 4 5points
Métropole-LaRéunion 4 septembre2006BaccalauréatS A.P.M.E.P.
F
QI
E
G
H
J
K
B
A
C
P
D
? ?−→ −→ →− −→ 1 −→ −→
1. Pardéfinition2IE+IF = 0 ⇐⇒ OI = 2OE +OF .
3? ?−→ −→ →− −→ 1 −→ −→ −→ −→ →−
DemêmeJF+2JB = 0 ⇐⇒ OJ = OF+2OB etenfin2KG+KC = 0 ⇐⇒
3? ?1−−→ −−→ −−→
OK = 2OG+OC .
3
Le point I (resp. J et K) est au tiers sur le segment [EF] (resp. [FB] et [GC]) à
partirdeE(resp.FetG).
2. Le pointΩ du plan (IJK) équidistant des trois sommets du triangle (IJK) est
le centre du cercle circonscrit à ce triangle donc le point commun aux trois
médiatricesdecetriangle.
? ?
1−−→ 1−−→ 1−→
3. Danslerepère A; AD ; AB ; AE lescoordonnéessont:
3 3 3
– pourE(0;0;3)
– pourF(0;3;3)
– pourB(0;3;0)
– pourG(3;3;3)
– pourC(3;3;0)
OnendéduitlescoordonnéesdeI(0;1;3),deJ(0;3;1)etdeK(3;3;2).
4. P(2;0;0)etQ(1;3;3).
     
−1 0 3
−→ →− −→
     OnaPQ 3 , IJ 2 etIK 2 .
3 −2 −1
−→→− −→−→
OrPQ?IJ =−1×0+3×2+3×(−2)=6−6=0etPQ?IK =−1×3+3×2+3×(−1)=
−3+6−3=0.
−−→ →− −→
Le vecteur PQ est orthogonal aux vecteurs IJ et IK donc orthogonal à tout
vecteurduplan(IJK).
−→
Conclusion:ladroite(PQ)estperpendiculaireauplan(IJK).(PQ estdoncun
vecteurnormalauplan(IJK))
2 2 2 25. a. SoitM(x : y ; z)∈Δ ⇐⇒ MI=MJ=MK.DoncMI =MJ etMI =MK
soit
Métropole-LaRéunion 5 septembre2006
+
+
+
+
+BaccalauréatS A.P.M.E.P.
?
2 2 2 2 2 2x +(y−1) +(z−3) = x +(y−3) +(z−1)
2 2 2 2 2 2x +(y−1) +(