Baccalauréat S L intégrale de septembre
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Français

Baccalauréat S L'intégrale de septembre

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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S 2000 \ L'intégrale de septembre 1999 à juin 2000 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Antilles-Guyane septembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Métropole septembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Sportifs de haut-niveau septembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . .11 Amérique du Sud novembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Nouvelle-Calédonie décembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Pondichéry avril 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Amérique du Nord juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Antilles-Guyane juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . .

  • courbe représentative dans le plan rapporté

  • boule

  • solution unique dans l'intervalle

  • couple de points

  • points enseignement obligatoire

  • points commun

  • repère orthonormal direct


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 79
Langue Français

Exrait

[BaccalauréatS2000\
L’intégraledeseptembre1999à
juin2000
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre1999 .........................3
Métropoleseptembre1999 ...............................8
Sportifsdehaut-niveauseptembre1999 ................11
AmériqueduSudnovembre1999 .......................14
Nouvelle-Calédoniedécembre1999 ....................18
Pondichéryavril2000 ...................................21
AmériqueduNordjuin2000 ............................24
Antilles-Guyanejuin2000 ...............................28
Asiejuin2000 ........................................... 32
Centresétrangersjuin2000 .............................36
Métropolejuin2000 .....................................40
LaRéunionjuin2000 ....................................44
Libanjuin2000 ..........................................47
Polynésiejuin2000 .....................................50
Tapuscrit:DenisVergès:L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre1999\
EXERCICE 1 4,5points
Communàtouslescandidats
Danstout l’exerciceonconsidère20boulesindiscernablesautoucher (10noireset
10 blanches) et deux urnes A et B dans chacune desquelles on placera 10 boules
suivantunmodequiseraprécisédanschaquequestion.
1. On choisit dix boules au hasard et on les met dans l’urne A. On place les dix
autresboulesdansl’urneB.
a. Quelleestlaprobabilitépourquelesdeuxurnesnecontiennentchacune
quedesboulesdemêmecouleur?
b. Quelleestlaprobabilitépourquelesdeuxurnescontiennentchacune5
boulesblancheset5boulesnoires?
2. Soit x un entier tel que 06 x6 10. On place maintenant x boules blanches
et10?x boules noiresdansl’urne Aetles 10?x boules blanches et x boules
noiresrestantesdansl’urneB.Onprocèdeàl’expérienceE:
On tire au hasard une boule de A et on la met dans B, puis on tire au hasard
unebouledeBetonlametdansA.
OndésigneparMl’évènement«chacunedesdeuxurnesalamêmecomposi-
tionavantetaprèsl’expérience».
a. Pourcettequestiona.,onprendx?6.
Quelleestlaprobabilitédel’évènement M?
b. Montrerquelaprobabilitédel’évènementMestégaleà:
? ?1 2?x ?10x?5 .
55
c. Pour quelles valeurs de x l’évènement M est-il plus probable que l’évè-
nementcontraireM?
EXERCICE 2 5,5points
Enseignementobligatoire ? ?!? !?
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .Pourtout
pointP,onconvientdenoterz sonaffixe.P
31. Onconsidèredansl’ensembledescomplexesl’équation(E): z ?8?0.
3 2a. Déterminerlesnombresréelsa, b, c telsquez ?8?(z?2)(az ?bz?c)
pourtoutcomplexez.
b. Résoudre l’équation (E) (on donnera les solutions sous la forme x?yi,
avecx et y réels).
i?c. Écrirecessolutionssouslaformere ,oùr estunréelpositif.
p p
2. On considère les points A, B, C d’affixes respectives - 2, 1 - i 3 et 1 + i 3, le
2?
pointDmilieude[OB]etlarotationRdecentreOetd’angle .
3
a. MontrerqueR(A)=B,R(B)=CetR(C)=A.EndéduirequeletriangleABC
estéquilatèral.
PlacerA,B,C,Ddansleplan.
?! ??!
b. OnconsidèrelepointLdéfiniparAL ?OD.Déterminersonaffixez .L
zL
Déterminerunargumentde .
zD
?! ??!
EndéduirequelevecteurOL estorthogonalauvecteurOD etauvecteur
?!
AL.
MontrerqueLestsurlecercledediamètre[AO].
PlacerLsurlafigure.L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5,5points
Enseignementdespécialité ? ?!? !?
Leplanestmunid’unrepèreorthonormaldirect O, ı , | .
0OndonnelepointA(6;0)etlepointA (0;2).
0ÀtoutpointM del’axedesabscissesdifférentdeAonassocielepointM telque:
? ????!??! ?0 0 0 0AM?A M et AM , A M ? mod2?.
2
0Onadmetl’existenceetl’unicitédeM .
On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour cette figure, on
prendra?4pourabscissedeM.
1. SoitM unpointdel’axedesabscissesdifférentdeA.
0a. PlacerlepointM surlafigure.
b. Pourcettequestiononpourradonnerunedémonstrationpurementgéomé-
triqueouutiliserlesnombrescomplexes.
Démontrerqu’ilexiste uneuniquerotation,dontonprécisera lecentre,
0 0notéIetl’angle,quitransformeAenA etM enM .
PlacerIsurlafigure.
0c. Démontrerquelamédiatricede[MM ]passeparI.
02. On veut déterminer et construire les couples de points (M, M ) vérifiant la
0conditionsupplémentaire MM ?20.
0a. Calculer IM etdémontrer qu’il existe deuxcouples solutions :(M , M )1 1
0et(M , M ).2 2
b. Placercesquatrepointssurlafigure.
Antilles-Guyane 4 septembre1999L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
PROBLÈME 10points
Commun à tous les candidats Étude d’une fonction et résolution d’une équation
liéeàcettefonction.
Danstoutleproblème,onconsidèrelafonctionréelle f delavariableréellexdéfinie
sur]0; ?1[par: ? ?
1
f(x)?ln 1? .
x
OnnoteC sacourbereprésentativedansleplanrapportéàunrepèreorthonormal? ?!? !?
O, ı , | (unitégraphique:4cm).
PartieA
Étudedusensdevariationdelafonction f
01. a. Calculer f (x) et étudier son signe sur ]0 ; ?1[. En déduire le sens de
variationde f sur]0;?1[.
b. Déterminerleslimitesde f en+1eten0.
c. Dresserletableaudevariationsde f.
2. Montrer que, pour tout x élément de l’intervalle I = [0,7; 0,9], f(x) est aussi
0élémentdeIetquejf (x)j60,9.
PartieB
Onse propose danscette partiede montrer que l’équation f(x)?x a une solution
unique dansl’intervalle ]0 ; ?1[ etde donner une valeur approchée decette solu-
tionàl’aided’unesuite.
1. Onconsidèrelafonctiong définiesur]0; ?1[par:
? ?
1
g(x)?ln 1? ?x.
x
a. Déterminerleslimitesdeg en+1eten0.
b. Montrerqueg estunefonctionstrictementdécroissantesur]0; ?1[.
c. Montrerquel’équationg(x)?0admetunesolutionunique,quel’onno-
tera?,appartenantàl’intervalleI=[0,7;0,9].Montrerquecetteéquation
n’apasd’autresolutiondans]0;?1[.
d. Quepeut-onendéduirepourl’équation f(x)?x?Surlegraphiquejoint
en annexe, que l’on rendra avec la copie, figure la partie de la courbe
C dont les points ont une abscisse comprise entre 0,7 et 0,9 et le seg-
ment[AB],oùAetBsontlespointsdecoordonnéesrespectives(0,7;0,7)
et (0,9; 0,9). Que représente le point de coordonnées (? ; f(?)) pour la
courbeC et le segment [AB]? Placer ce point sur le graphique joint en
annexe.
2. Onconsidèrelasuiteréelle(a )définiepara ?0,7eta ? f(a )pourtoutn 0 n?1 n
entiernatureln.
a. Montrerque,pourtoutentiernatureln, a estélémentdeI.n
b. Construire sur le graphique joint en annexe les éléments de (a ) pourn
n?1, 2, 3, 4.Justifierquelasuiten’estpasmonotone.
c. Démontrer,enutilisantl’inégalitédesaccroissementsfinis,que
ja ??j60,9ja ??j pourtoutentiern.n?1 n
d. Démontrer,enutilisantunraisonnementparrécurrence,que
nja ??j6(0,9) ?0,2pourtoutentiern.n
Endéduirequelasuite(a )convergevers?.n
Antilles-Guyane 5 septembre1999L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
3. a. Montrer que si x ?? alors f(x)?? et que si x ?? alors f(x)??. On
admetque,pourtoutentiernaturelnpair,a ??etquepourtoutentiern
natureln impair,a ??.n
b. Letableaudevaleurssuivantaétéécritparunélèveayantrecopiélesré-
sultatsdonnésparunlogicielinformatiquepourlecalculdesvaleursap-
prochéesdestermesdelasuite(a ),enneretenantqueles5premièresn
décimales.Or,unevaleuraétéincorrectementrecopiée.
Quelle estla plus petite valeur del’entiern pour laquelle onestsûr que
lavaleurapprochéeécritedea estincorrecte?n
Pourquoi?Soitpcettevaleur.Calculeràlacalculatriceunevaleurappro-
chéedea etvérifierlavaleurapprochéedea écritdansletableau.p p?1
Peut-onaffirmeràl’aidedecetableauque0,80640???0,80651?
n? a n? an n
0 0,70000 12 0,80523
1 0,88730 13 0,80731
2 0,75471 14 0,80588
3 0,84371 15 0,80686
4 0,78172 16 0,80619
5 0,82383 17 0,80665
6 0,79472 18 0,80633
7 0,81461 19 0,80655
8 0,80091 20 0,80640
9 0,81029 21 0,80650
10 0,80884 22 0,80643
11 0,80826
Antilles-Guyane 6 septembre1999? ?
1
y?ln 1?
x
L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
Annexe1
Partie de la courbeC dont les points ont une abscisse comprise entre 0,69 et 0,91
etlesegment[AB],oùAetBsontlespointsdecoordonnéesrespectives(0,7;0,7)et
(0,9;0,9).
0,90 ?B
0,85
0,80
0,75
A
0,70 ?
0,70 0,75 0,80 0,85 0,90
Antilles-Guyane 7 septembre1999
y?x[BaccalauréatSMétropoleseptembre1999\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Danstoutl’exercice,ondonneralesrésultatssousformedefractionsirréductibles.
Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On considère l’expé-
riencesuivante:
On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et une face
blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans
l’urne;silejetontombesurlafacenoire,onajouteuneboulenoiredansl’urne.
Puisontiresimultanément, etauhasard,troisboulesdel’urne.
1. Onappelle E l’évènement :«Aucune bouleblanchenefigureparmiles trois0
boulestirées»etBl’évènement :«Lejetonesttombésurlafaceblanche».
a. CalculerP(E \ B),P(E \B),puisP(E ).0 0 0
b. On tire trois boules de l’urne, aucune boule blanche ne figure dans ce
tirage.Quelleestlaprobabilitéquelejetonsoittombésurlafacenoire?
2. OnappelleE l’évènement :«Unebouleblancheetuneseulefigureparmiles1
troisboulestirées»etBl’évènement:«Lejetonesttombésurlafaceblanche».
a. Calculerlaprobabilitédel’évènement E .1
b. On effectue successivement quatre fois l’expérience décrite au début,
quiconsisteàlancerlejeton,puisàtirerlestroisboulesdel’urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir, au moins une fois, une et une seule
bouleblanche?
Exercice2 5points
Enseignementobligatoire
? ?!? !?
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct O, u , v (unité graphique :
2cm).OnnoteZ l’affixed’unpointM.M
SoitAlepointd’affixe4etBlepointd’affixe4i.
1. Soit? unréelde[0,2?[etr unréelstrictementpositif.
i?Onconsidèrele pointE d’affixere etF le point tel queOEF estun triangle? ? ??! ?!
rectangleisocèlevérifiant OE , OF ? .
2
Quelleest,enfonctionder et?,l’affixedeF ?
2. Faire une figureet la compléter au fur et à mesure de l’exercice. On choisira,
uniquementpourcettefigure:
?
??5 etr?3.
6
3. OnappelleP,Q, R, Slesmilieuxrespectifsdessegments[AB],[BE],[EF], [FA].
a. ProuverquePQRS estunparallélogramme.
Z ?ZR Q
b. Onpose:Z? .
Z ?ZQ P
Déterminer le module et un argument de Z. En déduire que PQRS est
uncarré.
4. a. Calculer,enfonctionder et?,lesaffixesrespectivesdespointsPetQ.
b. Quelleest,enfonctionder et?,l’aireducarréPQRS?
c. r étantfixé,pourquellevaleurde?cetteaireest-ellemaximale?
Quelleestalorsl’affixedeE ?L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité
? ?!? !?
Soitlerepèreorthonormaldirect O, u , v duplan complexe. Lespoints A,BetC
sontdéfinisparleursaffixesrespectives:
p p p
z ?3?i 3; z ?3?i 3; z ?2? 3?3i.A B C
1. Fairelafigureenchoisissantpourunitégraphique2cm.(Onplaceral’origine
surlagauchedelafeuille).
2. Prouver que OABest un triangle équilatéral direct.Soit G le centredegravité
dutriangleOAB.Déterminerl’affixez deG.G
Dans la suite de l’exercice, on étudie deux isométries transformant [OA] en
[GC].
3. Soita etb deuxnombrescomplexesetRl’application quiaupointM d’affixe
0 0 0z associelepointM d’affixez telquez ?az?b.
a. Déterminera etb pourqueR(O)=GetR(A)=C.
b. ProuverqueRestunerotationdontondétermineralecentreetl’angle.
c. Prouverquelesdroites(OA)et(GC)sontperpendiculaires.Quepeut-on
diredespointsG,BetC?
d. Construire,enjustifiantlaconstruction,l’imagedutriangleOABparR.
0 04. Soita etb deuxnombrescomplexeset f l’applicationquiaupointM d’affixe
0 0 0 0 0z associelepointM d’affixez telquez ?a z?b .
0 0a. Déterminera etb pourque f(O)=Get f(A)=C.
b. SoitIlemilieudusegment[OG].Déterminerlepoint f(I). f est-elleune
réflexion?
c. Construireenjustifiantlaconstruction,l’imagedutriangleOABpar f.
PROBLÈME 11points
Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniesur]0; ?1[par:
2(lnx)
f(x)? .
x
? ?!? !?
OnappelleC lareprésentationgraphiquedef ,dansunrepèreorthogonal O, ı , |
duplan (unités graphiques : 1cm sur l’axe des abscisses, 2cm sur l’axe des ordon-
nées).
PartieA:
1. Déterminerleslimitesde f en+1et0.
0 02. Calculer f (x)enfonctiondex.Montrerque f (x)alemêmesignequelnx(2?
lnx).Déterminerlesensdevariationde f sur]0;?1[.
? ?!? !?
3. TracerlareprésentationgraphiqueC de f dans O, ı , | .
Z 2 pe (lnx)
4. Onposepourp>1, I ? dx.p 2x1
a. Àl’aided’uneintégrationparparties,calculer:
Z 2e lnx
I ? dx.1 2x1
Métropole 9 septembre1999L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
b. Prouver, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier
p supérieurouégalà1:
p?12
I ?? ?(p?1)I .p?1 p2e
c. Enutilisantlesrésultatsprécédents,calculersuccessivement I , I , I .2 3 4
d. On fait tourner autour de l’axe des abscisses l’arc de courbe constitué
2des points deC, d’abscisses comprises entre 1 et e . Le point M deC,
d’abscisse x,décritalorsun cerclederayon f(x).Calculer le volume du
solideainsiengendré,enunitésdevolume.
PartieB:
Soita unréelstrictementpositifet A lepointdeC d’abscissea.SoitT latangentea
àC aupoint A.
1. ÉcrireuneéquationdeT .a
2. Déterminerlesréelsa,pourlesquelsT passeparl’origineOdurepère.a
3. DonneruneéquationdechacunedestangentesàC,passantparO.
Tracercestangentessurlafigure.
PartieC:
1
Onétudiemaintenantl’intersectiondeC avecladroite?d’équation y? x.
2e
1. Onposepourx strictementpositif,' (x)?x?elnx.1
Montrerque' eststrictementcroissantesur]e,+1[etstrictementdécrois-1
santesur]0;e[.
2. Onposepourx strictementpositif,' (x)?x?elnx.2
a. Étudierlesensdevariationde' sur]0, +1[.2
? ?
1
b. Prouver que ' (x)?0 a une solution unique sur ; 1 . On appelle ?2
2
? 1cettesolution;donnerunencadrementde?,d’amplitude10 .
c. Endéduireque' (x)?0auneseulesolutionsur]0; ?1[.2
3. Déterminerlespointsd’intersectiondeC etde?.
Métropole 10 septembre1999

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