Baccalauréat S La Réunion juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat S La Réunion juin 2002 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Dansun lot de 100pièces demonnaie toutes demêmeapparence, ont étémélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées. La probabilité d'apparition de « PILE » lors d'un jet d'une pièce truquée est 3 4 . La probabilité d'apparition de « PILE » lors d'un jet d'une pièce équilibrée est 1 2 . On suppose que les différents lancers dont il sera question dans la suite sont indé- pendants les uns des autres. La probabilité d'un évènement A est notée p(A). On désigne par A l'évènement con- traire de A. La probabilité conditionnelle de A sachant que l'évènement B est réalisé est notée p(A/B). Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 1. On prend une pièce au hasard et on la lance : soit T l'évènement : « la pièce est truquée », soit P l'évènement : « on obtient PILE » . a. Calculer la probabilité d'obtenir « Pile » (on pourra s'aider d'un arbre). b. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que l'on a ob- tenu « PILE » ? 2. On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois. – si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois « Pile », on décide d'éli- miner la pièce, – dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.

• image m1 située sur la droite d'équation


• points candidats


• appartenance du point b?


• affixe du point


• argument de z ?1


• encadrement de la distance am? d'amplitude

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2002
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatSLaRéunionjuin2002
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Dansunlotde100piècesdemonnaietoutesdemêmeapparence,ontétémélangées
60pièceséquilibréeset40piècestruquées.
3
Laprobabilitéd’apparitionde«PILE»lorsd’unjetd’unepiècetruquéeest .
4
1
Laprobabilitéd’apparitionde«PILE»lorsd’unjetd’unepièceéquilibréeest .
2
On suppose que les différents lancers dont il sera question dans la suite sont indé-
pendantslesunsdesautres.
Laprobabilitéd’unévènementAestnotéep(A).OndésigneparAl’évènement con-
trairedeA.
La probabilité conditionnelle de A sachant que l’évènement B est réalisé est notée
p(A/B).
Lesrésultatsserontdonnéssousformedefractionsirréductibles.
1. Onprendunepièceauhasardetonlalance:
soitTl’évènement :«lapièceesttruquée»,
soitPl’évènement :«onobtientPILE».
a. Calculerlaprobabilitéd’obtenir«Pile»(onpourras’aiderd’unarbre).
b. Quelleestlaprobabilitéquelapiècesoittruquéesachantquel’onaob-
tenu«PILE»?
2. Onprendunepièceauhasardetonlalancequatrefois.
– siaucoursdesquatrelancersonobtientquatrefois«Pile»,ondécided’éli-
minerlapièce,
– danslecascontraire,ondécidedeconserverlapièce.
OnnoteEl’évènement «lapièceestéliminée».
a. Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle est
équilibrée?
b. Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu’elle est
truquée?
c. Quelle est la probabilité d’avoir pris une pièce équilibrée et de l’avoir
éliminéeoud’avoirprisunepiècetruquéeetdel’avoirconservée?
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité ? ?→− →−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v (unité
graphique:1cm).
On considère l’application f du plan dans lui-même, qui à tout point M d’affixe z
′ ′ 3 2associelepoint M d’affixe z =z −3z +3z.
p
1. OnconsidèrelespointsBetCd’affixesrespectivesieti 3.
Calculer lesaffixesdespoints imagesdeO,BetCpar f.Placerles pointsB,C
′ ′etleursimagesB etC surunefigure.L’application f conserve-t-ellel’aligne-
ment?
2. Montrerqu’unpointM d’affixez estinvariantpar f sietseulementsiz vérifie
l’équation
3 2z −3z +2z=0.
Endéduireque f possèdetroispoints invariants, dontondéterminerales af-
fixes.BaccalauréatS
3. a. Montrerpourtout z deCl’égalitésuivante:
′ 3
z −1=(z−1) .
b. Soit z un nombre complexe différent de 1, on note r le module de z−1
′ ′et α un argument de z−1. Exprimer le module r et un argument α de
′z −1enfonctionder etdeα.
Soit A le point d’affixe 1, déduire des résultats précédents une reIation
′entreladistanceAM etladistanceAM,etunerelationentreunemesure? ? ? ?−−→→− →− −−→′del’angle u , AM etunemesuredel’angle u , AM .
p
c. MontrerquesiM appartientaucercleΓdecentreAetderayon 2,alors
′ ′M appartient à un cercle Γ de même centre dont on déterminera le
rayon.
4. Montrerque,siM appartientàunedemi-droiteouverteDd’origineApassant
′ ′parlepointB,alorsM appartientàunedemi-droiteD ’quel’ondéterminera.
′ ′ ′Justifierl’appartenancedupointB àΓ etàD .
′ ′Compléter lafigureaveclesdifférentséléments :Γ,Γ , DetD .
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité ? ?→− →−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v (unité
graphique:2cm).
On fera une figure que l’on compléteraavec les différents éléments intervenant dans
l’exercice.
1. Dans cette question on considère l’application s du plan dans lui-même, qui
′ ′àtoutpoint M d’affixez associelepoint M d’affixez =−iz.
−→
a. Montrer que s est une réflexion d’axe noté D et de vecteur directeur w
d’affixe1-i.
′ ′ ′b. SoitD ladroited’équation y=−1,onappelle s laréflexiond’axeD .
? ?−→ →−
Calculer une mesure de l’angle w , u . Déterminer géométriquement
′lacomposéer=s ◦ s.
c. Déterminerl’écriturecomplexeder.
2. Danscettequestion unconsidérel’application p duplan danslui-même, qui
′1 1 z+z′àtoutpoint M d’affixez associelepoint M d’affixez = z− iz= .1
2 2 2
a. Soitlepoint Ad’affixe z=2+i, déterminerl’affixedupointA imagede1
Aparp.
b. MontrerquetoutpointM asonimageM situéesurladroited’équation1
y=−x .
c. Définir géométriquement, en utilisant les questions précédentes, l’ap-
plication p.
′3. Onconsidèrel’application f définiepar f =s ◦ p.
′Construirel’imageA dupointApar f.
Montrerque s ◦ p=p etendéduireque f =r ◦ p.Montrerque,toutpoint M
duplanasonimagepar f surunedroiteΔ,quel’ondéterminera.
PROBLÈME 11points
Communàtouslescandidats
PartieA
LaRéunion 2 juin2002BaccalauréatS
Onconsidèrelafonction f définiesurl’ensembleRdesnombresréelspar
x −xe −e
f(x)= .
2
On appelleC la courbe représentalive de la fonction f dans le plan rapporté à un? ?→− →−
repèreorthonormal O; ı ,  (unitégraphique2cm).
1. Étudierlaparitéde f.Quepeut-onendéduirecommepropriétégéométrique
pourlacourbeC ?
2. Étudierlalimitede f en+∞etlesvariationsde f surl’intervalle [0,+∞[.
? ?→−
3. Représentergraphiquement lacourbeC danslerepère O; ı , vect .
PartieB
OnconsidèrelepointAduplandecoordonnées(1;0)etons’intéresseauminimum
deladistanceAM oùM estunpointdelacourbeC.
1. M étant un point d’abscisse x de la courbeC, calculer en fonction de x la
distanceAM.
2. Onconsidèremaintenantlafonction g définiesurRpar:
x −x 2(e −e )2
g(x)=(x−1) + .
2
′a. Calculer g (x).
′′ ′′b. Ondésigneparg lafonctiondérivéesecondedeg.Calculer g (x).
Montrerquepourtout x réel::
′′ 2x −2xg (x)=e +e +2.
′c. Endéduirelesvariationsdeg surR.
d. Montrer qu’il existe un unique nombre réel α de l’intervalle [0; 1] véri-
′fiantg (α)=0.
Vérifierl’inégalitésuivante:0,466α60,47.
′Déterminerlesignede g (x)selonlesvaleursdex.
e. Déterminerlesvariationsdelafonction g surR(onnedemandepasles
limites deg en+∞eten−∞).QuelestleminimumsurRdelafonction
g ?
3. ÉtablirqueladistanceAM estminimumaupointM d’abscisseαdelacourbeα
C.
Placerlepoint M surlegraphique.α
4. Enutilisantladéfinitiondeα,montrerleségalités:
1
α−1=− f(2α)
2
puis:
? ? ? ?1 2 2
g(α)= f(2α) + f(α) .
4
Utiliser les variations de f et le résultat suivant, 0,466α60,47 pour enca-
−2drerg(α);endéduireunencadrementdeladistanceAM d’amplitude2.10 .α
PartieC
LaRéunion 3 juin2002BaccalauréatS
Soitn unentiernaturelnonnul,onconsidèrelafonction f définiesurRparn
x x−n ne −e
f (x)= .n
2
? ?→− →−
OnappelleC lacourbereprésentant f dansunrepèreorthonormal O, u , v .n
Ondonneci-dessous les représentations graphiques desfonctions f , f , f , f , et2 3 4 5
f soitrespectivement lescourbesC ,C ,C ,C etC obtenuesàl’aided’unlogi-6 2 3 4 5 6
ciel.
R1
1. Calculerl’intégrale I = f dx.1 10
R12. Onconsidèrepourn entiernaturelnonnull’intégrale I = f dx.n n0
Interprétergéométriquement I .n
Calculerpourn entiernaturelquelconque, I enfonctionden.n
3. Quepeut-onconjecturersurlaconvergencedelasuite(I )?n 
1 1− n n 1 e −1 e −1 ? ? ? ?Montrerque I = − etendéduirelalimite delasuite (I )n n 1 12
−
n n
en+∞.
0,5 C2
0,4
C3
0,3
C4
0,2
C5
C6
0,1
O 0,2 0,4 0,6 0,8 1
LaRéunion 4 juin2002