Baccalauréat S Métropole juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Métropole juin 2000 \ Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats Métropole Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions. Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On note A l'évènement contraire de l'évènement A et p(A / B) la probabilité condi- tionnelle de A sachant que B est réalisé. 1. On interroge un élève de la classe pris au hasard. On appelle P l'évènement : « L'élève fait partie du club photo », et T l'événe- ment : « L'élève fait partie du club théâtre ». Montrer que les évènements P et T sont indépendants. 2. Lors d'une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un pre- mier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d'un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort. a. Onappelle T1 l'évènement : «Le premier élève appartient au club théâtre». Calculer p(T1). b. On appelle T2 l'évènement « L'élève pris en photo appartient au club théâtre ». Calculer p(T2/T1), puis p ( T2/T1 ) .

• points candidats


• image de e' par hd représenter


• sort


• séance du club photo


• séance de photographie avec tirage au sort duphotographe


• e? x2

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Métropole juin 2000\

Exercice 14 points Commun à tous les candidats Métropole Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions. Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On note A l’évènement contraire de l’évènement A etp(A / B) la probabilité condi tionnelle de A sachant que B est réalisé. 1.On interroge un élève de la classe pris au hasard. On appelle P l’évènement : « L’élève fait partie du club photo », et T l’événe ment : « L’élève fait partie du club théâtre ». Montrer que les évènements P et T sont indépendants. 2.Lors d’une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un pre mier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d’un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort. a.On appelle T 1 l’évènement : « Le premier élève appartient au club théâtre ». Calculerp(T 1 ). b.On appelle T 2 l’évènement «L’élève pris en photo appartient au club ³ ´ théâtre ».Calculerp(T 2 /T 1 ), puispT 2 /T 1 . En déduirep ( T 2 ∩T 1 ) et ³ ´ pT 2 ∩T 1 . (On pourra éventuellement utiliser un arbre.) c.Montrer que la probabilité que l’élève pris en photo appartienne au club théâtre est 0,2. 3.Toutes les semaines, on recommence de façon indépendante la séance de photographie avec tirage au sort du photographe et du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de suite. Calculer la probabilité qu’au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n’ait été photographié.

Exercice 25 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal directO,u,v, unité gra phique 4 cm, on considère les points A d’affixez A =1 et B d’affixez B =2. Soit un réelθappartenant à l’intervalle ]0 ;π[. 2iθ On noteMle point d’affixez=1+e . 1.Montrer que le pointMappartient au cercle (C) de centre A et de rayon 1. −−−→→ 2.; AExprimer l’angle (ABM) en fonction deθ. En déduire l’ensembleEdes pointsMquandθdécrit l’intervalle ]0 ;π[. ′ 3.On appelleMl’image deMpar la rotation de centre O et d’angle−2θet on ′ ′′ ′ notezl’affixe deM. Montrer quez=zpuis queMappartient à (C). π 4.Dans toute la suite, on choisitθ=. 3 2π ′ On appellerla rotation de centre O et d’angle−l’image de A paret Ar. 3 ′ a.Définir l’image (C) du cercle (C) parr. ′ ′ Placer sur une figure A,B, (C),M, (C) puis le pointMimage deMpar r. b.Montrer que le triangleA MO est équilatéral.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

′ ′ c.Montrer que (C) et (C) se coupent en O et enM. ′ d.Soit le pointPsymétrique deMpar rapport à A. Montrer queMest le ′ milieu de [AP].

Exercice 25 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité −→ 3 −→ Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que AE=AB . 4 Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure. ³ ´ −→−→ π Soit un pointC, distinct deA, tel queAB ; AC=. 4 La droite parallèle à (BC) passant par E coupe la droite (AC) enF. On appelleIle milieu de [BC],Jle milieu de [EF] etDle point d’intersection des droites (EC) et (BF). On noteh A l’homothétie de centre A qui transforme B en E eth D l’homothétie de centreDqui transforme E enC. 1.Déterminerh A (C) puish D (F). 2.En déduire la nature et les éléments caractéristiques deh D ◦h A puis deh A ◦h D . ′′ 3.On appelle E’ l’image de E parh A etEl’image de E’ parh D Représenter E’, ′′ puis construireEen justifiant la construction. 4.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques deh D ◦h A ◦h A ◦h D . ′′ 5.Montrer que le quadrilatère BEC Eest un parallélogramme. ³ ´ −→−−→ π 6.On appelle (Δ) l’ensemble des pointsMtels queAB ; AM=. 4 (Δ) est donc une demidroite ouverte d’origine A. Pour la suite, les points A,B, Esont fixes et le pointCdécrit (Δ). ′′ ′′ Déterminer et construire le lieu géométrique (Δ) dupointE.

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

Problème 11points Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal O,ı, (unité graphique : 5 cm). Partie A ⋆ On considère la fonctionf 1 définie sur [0 ;+∞[ par 2 −x f 1 (x)=xe et on appelle (C 1 ) sa courbe représentative. 2 2 ′ −x2−x 1.Montrer que, pour tout réel positifx,f(x)=e−2xe .En déduire le 1 sens de variation def 1 . 2 2.Calculer la limite def 1 en+ ∞(on pourra poseru=x). Interpréter graphi quement ce résultat. 3.Dresser le tableau de variation def 1 . 4.On appelle (Δ) la droite d’équationy=x. Déterminer la position de (C 1 ) par rapport à (Δ). 5.Tracer (C 1 ) et (Δ).

Partie B 2 3−x ⋆ On considère la fonctionf 3 définie sur [0 ;+ ∞[ parf 3 (x)=xon appellee et (C 3 ) sa courbe représentative. ′2 1.Montrer que, pour tout réelxpositif,f(x) a même signe que 3−2x. En dé 3 duire le sens de variation def 3 . 2.Déterminer les positions relatives de (C 1 ) et (C 3 ). 3.Tracer (C 3 ) dans le même repère que (C 1 ) (on admettra que (C 3 ) a la même asymptote que (C 1 ) en+ ∞. 4.On appelle (D) la droite d’équationx=1. SoitA 1 l’aire en unités d’aire du domaine limité par la courbe (C 1 ), les deux axes de coordonnées et la droite (D) et soitA 3 l’aire en unités d’aire du domaine limité par la courbe (C 3 ) les deux axes de coordonnées et la droite (D). a.CalculerA 1 . 1 b.À l’aide d’une intégration par parties, montrer queA 3 = −+A 1 . 2e Partie C ⋆ On désigne parnun entier naturel non nul et on considère la fonctionfdéfinie sur [0 ;+ ∞[ par 2 n−x f n (x)=xe . ³ ´ −→−→ On note (C n ) la courbe représentative defO,dans le repèreı,. n 1.Montrer que, pour tout entiern > 1,f n admet un maximum pourx=. 2 On noteα n , ce maximum. n 2.On appelleS n le point de (C n ) d’abscisse. 2 Montrer aue, pour toutn, (C n ) passe parS 2 . PlacerS 1 ,S 2 ,S 3 sur la figure. 3.Soit la fonctiongdéfinie sur [0 ;+ ∞[ par : £ ¡¢¤ x x − −1+ln 2 2 g(x)=e £ ¡¡ ¢¢¤ x x c’estàdireg(x)=exp− −1+ln . 2 2 a.Étudier le sens de variation deg. b.Montrer que, pour tout entiern > 1,α n =g(n). En déduire que tout pointS n a une ordonnée supérieure à celle deS 2 .

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