Baccalauréat S Nouvelle Calédonie novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S \ Nouvelle-Calédonie novembre 1996 EXERCICE 1 4 points On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible. 1. Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 noirs. On tire successivement les 7 jetons sans remise. X est la variable aléatoire qui prend pour valeur k si le premier jeton blanc apparaît au k-ième tirage. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérancemathématique. 2. Une autre urne U? contient 17 jetons blancs et 18 noirs. On jette un dé cubique dont chaque face à la même probabilité d'appa- raître. Si le 6 apparaît, on tire un jeton de l'urne U, sinon on tire un jeton de l'urne U?. a. Démontrer que la probabilité de tirer un jeton blanc est égale à 0,5. b. On a tiré un jeton blanc, calculer la probabilité pour qu'il provienne de U. EXERCICE 2 6 points Enseignement obligatoire Leplan complexeP est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) (unité graphique : 2 cm). On désigne par A et B les points d'affixes respectives 1 et 4. L'application f associe à tout point M d'affixe z de P , distinct de A, le point M ? d'affixe Z définie par : Z = z?4 z?1. 1.

• repère orthonormal


• jeton de l'urne u?


• points d'affixes respectives


• jetons blancs


• points enseignement obligatoire


• repère orthonormal direct

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 1996
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Extrait

[Baccalauréat S\ NouvelleCalédonie novembre 1996

E XERCICE 1 4points On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible. 1.Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 noirs. On tire successivement les 7 jetons sans remise. Xest la variable aléatoire qui prend pour valeurksi le premier jeton blanc apparaît aukième tirage. Donner la loi de probabilité deXet calculer son espérance mathématique. ′ 2.Une autre urne Ucontient 17 jetons blancs et 18 noirs. On jette un dé cubique dont chaque face à la même probabilité d’appa raître. Si le 6 apparaît, on tire un jeton de l’urne U, sinon on tire un jeton ′ de l’urne U . a.Démontrer que la probabilité de tirer un jeton blanc est égale à 0,5. b.On a tiré un jeton blanc, calculer la probabilité pour qu’il provienne de U.

E XERCICE 2 6points Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexePest rapporté à un repère orthonormal directO,u,v(unité graphique : 2 cm). On désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et 4. ′ L’applicationfassocie à tout pointMd’affixezdeP, distinct de A, le pointM d’affixeZdéfinie par :

z−4 Z=. z−1 1.2.Soit C le point d’affixe i ′ Déterminer l’affixe de C=f(C). 2.Démontrer quefadmet deux points invariants I et J. (On notera I celui d’ordonnée positive.) ′ Placer les points I, J, C et C . 3.On posez=x+iyetZ=X+iYavecx,y,X,Yréels. a.DéterminerXetYen fonction dexety. b.Déterminer l’ensemble E des pointsMd’affixeztels queZsoit réel. c.Déterminer et construire l’ensemble F des pointsMd’affixeztels queZsoit imaginaire pur. d.Donner une interprétation géométrique de|Z|,|z−4|,|z−1|. En déduire l’ensemble D des pointsMd’affixeztels que|Z| =1. Construire D.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

E XERCICE 2 6points Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Dans le plan rapporté à un repère orthonormalO,ı,, (Γ) est l’ensemble des pointsM(t) de coordonnées (x(t) ;y(t)) telles que : 2 x(t)=ety(t)=3 tant cost i h π π quanttdécrit l’intervalle−; . 2 2 1. a.CommentM(−t) se déduitil deM(t) ? En déduire que (Γ) admet un axe de symétrie. h h π b.Étudier les variations des fonctionsxety.0 ;sur l’intervalle 2 2. a.Démontrer que (Γ) est contenue dans l’hyperbole (H) d’équation : 2 2 x y − =1. 4 9 ′ b.Préciser les asymptotes à (H), on les notera D et D; les placer sur la figure. c.Construire (Γ).

P ROBLÈME Partie I

10 points

On considère la fonctionfdéfinie surRpar 2−x f(x)=xe ¡ ¢ ainsi que sa courbe représentativeCdans un repère orthonormalO, ~ ı, ~ . 1.Calculer la dérivée def. 2.En déduire le tableau de variation def. Préciser les limites defen+∞et en−∞. 3.TracerC. On choisira une unité graphique de 4 cm.

Partie II Z 1 −x 1.CalculerJ=xe dx. 0 ′ −x 2.Vérifier quefest telle que :f(x)+f(x)=2xe . 3.En déduire que Z 1 f(x) dx=2J−f(1) 0 ( Jest définie à la questionII  1.).

Partie III

L’équationf(x)=f(2) admet une seconde solution, notéeα, et appartenant à l’intervalle I= [ −0].1 ;

NouvelleCalédonie

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

µ ¶ 2 x 1.Soitg(x)= −e .Montrer quef(α)=f(2) équivaut àg(α)=α. 2 e 1 ′ 2.Montrer queg(I) est inclus dans I et que|g(x)| 6 pour toutxapparte e nant à I. 1 3.En déduire que|g(x)−α| 6 |x−α|pout toutxappartenant à I. e 4.On définit la suite (U n ) n∈N par ½ U 0 = −0, 5 U n+1 =g(U n tout entier) pourn > 0

On admet queU n appartient à I pour tout entiern > 0. Montrer que 1 1 |U n −α| 6 |U 0 −α| 6 n n e 2e pour tout entiern > 0. 5.Déterminer le plus petit entierntel que l’inégalité précédente fournisse −6 une valeur approchée deαprès.à 10

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