Baccalauréat S Polynésie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Polynésie juin 2000 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) , unité graphique 4cm. Dans l'ensemble des nombres complexes C, i désigne le nombre de module 1, et d'argument pi2 .On appelle f l'application, qui, à tout nombre complexe z différent de ?2, associe Z = f (z)= z?2+ i z+2i . 1. Si z = x+ iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imagi- naire de Z en fonction de x et de y . On vérifiera que ?(Z )= x 2+ y2?2x+3y +2 x2+ (y +2)2 . En déduire la nature de : a. l'ensemble E des points M d'affixe z, tels que Z soit un réel ; b. l'ensemble F des points M d'affixe z du plan, tels que Z soit un imagi- naire pur éventuellement nul. c. Représenter ces deux ensembles. 2. On appelle A et B les points d'affixes respectives zA = 2? i et zB =?2i. En remarquant que Z = z? zA z? zB , retrouver les ensembles E et F par une mé- thode géométrique.

• points candidats


• égale au gain algébrique du joueur


• coordonnées des points communs


• jeton


• affixe du centre


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
• Nombre de lectures: 78
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Polynésie juin 2000\

E X E RC IC E 1 5points Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v, unité graphique 4cm. Dans l’ensemble des nombres complexesC, i désigne le nombre de module π 1, et d’argument. 2 On appellefl’application, qui, à tout nombre complexezdifférent de−2, associe z−2+i Z=f(z)=. z+2i 1.Siz=x+iy,xetyétant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imagi naire deZen fonction dexet dey. 2 2 x+y−2x+3y+2 On vérifiera queℜ(Z)=. 2 2 x+(y+2) En déduire la nature de : a.l’ensembleEdes pointsMd’affixez, tels queZsoit un réel ; b.l’ensembleFdes pointsMd’affixezdu plan, tels queZsoit un imagi naire pur éventuellement nul. c.Représenter ces deux ensembles. 2.On appelleAetBles points d’affixes respectivesz A =2−i etz B = −2i. z−z A En remarquant queZ=, retrouver les ensemblesEetFpar une mé z−z B thode géométrique. ′ 3.Calculer|f(z)−1| × |z+2i|, et en déduire que les pointsMd’affixeZ, lorsque le pointMd’affixezparcourt le cercle de centreB5, sont touset de rayon sur un même cercle dont on précisera le rayon et l’affixe du centre.

E X E RC IC E 2 5points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 4 jetons blancs marqués 0 ; 3 jetons rouges marqués 7 ; 2 jetons blancs marqués 2 ; 1 jeton rouge marqué 5. 1.On tire simultanément 4 jetons du sac. Quel est le nombre de tirages possibles ? 2.On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les évè nements suivants : A: « Les quatre numéros sont identiques ». B: « Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000 ». C: « Tous les jetons sont blancs ». D: « Tous les jetons sont de la même couleur ». E: « Au moins un jeton porte un numéro différent des autres ». 4 a.Montrer que la probabilité de l’évènementB., est 105 b.Calculer la probabilité des évènementsA,C,D,E. c.On suppose que l’évènementCest réalisé, calculer alors la probabilité de l’évènementB. On établit la règle de jeu suivante :

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

– Sile joueur peut former 5000, il gagne 75 F. – Sile joueur peut former le nombre 7000, il gagne 50 F. – Sile joueur peut former le nombre 2000, il gagne 20 F. – Sile joueur peut former le nombre 0000, il perd 25 F. Pour tous les autres tirages, il perd 5 F. Gest la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Établir la loi de probabilité deGet calculer l’espérance mathématique deG.

E X E RC IC E 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

1.On cherche deux entiers relatifsxetysolutions de l’équation (1)a x+b y= 60 (aetbentiers naturels donnés tels queab6=0). On noteradle plus grand commun diviseur deaetb. a.On suppose que l’équation (1) a au moins une solution (x 0 ;y 0 ). Montrer queddivise 60. b.On suppose queddivise 60. Prouver qu’il existe alors au moins une so lution (x 0 ;y 0 ) à l’équation (1). 2.On considère l’équation : (2) 24x+36y=60. (xetyentiers relatifs). a.Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l’équa tion (2).

b.Trouver une solution évidente pour l’équation (2) et résoudre cette équa tion. On appelleraSl’ensemble des couples (x;y) solutions. c.énumérer tous les couples (x;y) solutions de (2) et tels que :

−10 6 x 6 10. Donner parmi eux, ceux pour lesquelsxetysont multiples de 5. d.Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l’ensembleEdes pointsMde coordonnées (x;y) telles que : ½ x=1+3t t∈R. y=1−2t e.Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions (x;y) de l’équation (2) appartiennent àE. Comment peuton caractériserS?

P RO B L È M E

10 points

Partie A On considère la fonction numériquef, de la variable réellex, définie surRpar :

−x f(x)=e sinx. On appelle (C f ) la courbe d’ équationy=f(x) dans le plan rapporté à un repère ³ ´ −→−→ orthogonal O,ı,. On prendra 2 cm pour 1 unité sur l’axe des ordonnées, et 6 cm pou rπunités sur l’axe des abscisses.

Polynésie

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juin 2000

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

−x−x 1.Montrer que, pour tout réelx,−e 6 f(x) 6 e . En déduirelimf(x) et l’existence d’une asymptote pour la courbe (C f ). x→+ ∞ 2.Montrer que la fonction dérivée defvérifie : ³ ´ p π ′ −x f(x)= −2e cosx+, pourxélément deR. 4 h i π 3.On étudie la fonctionfsur l’intervalle−;π. 2 Recopier et compléter le tableau suivant :

π x−π 2 π π x+ 4 2 ³ ´ π Signe decosx+ 4 h i π En déduire le tableau de variations de la fonctionfsur l’intervalle−;π. 2 h i π 4.Représenter la fonctionfsur l’intervalle−;πainsi que les courbes (C 1 ) 2 −x−x et (C 2 ) d’équationsy= −e ety=e . h i π 5.Déterminer algébriquement surR, puis sur−;π, les coordonnées des 2 points communs à : a.(C f ) et l’axe des abscisses. b.(C f ) et (C 1 ). c.(C f ) et (C 2 ). −2 6.Déterminer un réelαtel que, pourx > α, on ait|f(x)| 6 10 .

Partie B Le but de cette partie est de déterminer une primitiveFde la fonctionfsurR. 1.En calculant les dérivées successives de la fonctionfjusqu’à l’ordre 4 (on rap −x pelle quef(x)=e sinx), trouver une relation entre la fonctionfet sa déri (4) vée d’ordre 4 notéef. 1 (3) 2.En déduire qu’on peut choisirF(x)= −f(x). 4 Z π e+1 −x 3.On poseI=e sinxdx. Montrer queI=. 0 2

Partie C Z (2n+1)π Pour tout entier natureln, on pose :I n =f(x) dx. 2nπ 1.Vérifier queI 0 =Iet interpréterI 0 comme l’aire d’un domaine plan. Hachurer ce domaine. −2nπ e −π 2.Montrer que, pour tout natureln,I n =(e+1) . 2

3.Prouver que la suite (I n ) n∈N est une suite géométrique. Calculer sa raison. 4.Prouver que la suite (I n ) n∈N converge et préciser sa limite.

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