Baccalauréat S Polynésie septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Polynésie septembre 2001 \ Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Pour tout naturel n > 1 on pose : In = 1 2n+1n! ∫1 0 (1? t)ne t 2 dt . 1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer I1. 2. Démontrer que pour tout naturel n > 1 on a : In+1 = In ? 1 2n+1(n+1)! . 3. En déduire par récurrence que pour tout naturel n > 1 on a : p e= 1+ 1 2 · 1 1! +·· ·+ 1 2n · 1 n! + In . 4. Montrer que l'on peut trouver une constante A telle que : 06 In 6 1 2nn! A. On pourra déterminer A en majorant la fonction : t 7?? (1? t)ne t 2 sur l'intervalle [0 ; 1] En déduire la limite quand n tend vers l'infini de : un = 1+ 1 2 · 1 1! +·· ·+ 1 2n · 1 n! . Exercice 2 4 points Enseignement obligatoire Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) , unité graphique 4 cm, on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives zA = 2i, zB = i, zC

• courbes ?


• cos te1?t


• axe des abscisses


• ??? ab


• encadrement de ? d'amplitude


• points enseignement obligatoire


• position relative de ? et de ∆

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2001
• Nombre de lectures: 62

Extrait

[Baccalauréat S Polynésie septembre 2001\

Exercice 1 Commun à tous les candidats Pour tout natureln > 1 on pose : Z 1 1 t n I n =(1−td) et. 2 n+1 2n! 0 1.À l’aide d’une intégration par parties, calculer I 1 . 2.Démontrer que pour tout natureln > 1 on a : 1 I n+1 =I n −. n+1 2 (n+1)! 3.En déduire par récurrence que pour tout natureln > 1 on a : 1 11 1 e=1+ ∙ ∙ ∙ ++ ∙∙ +I n . n 2 1!2n! 4.Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que : 1 0 6 I n 6 A. n 2n! On pourra déterminer A en majorant la fonction : t n t→7−(1−tsur l’intervalle [0 ; 1]) e 2

En déduire la limite quandntend vers l’infini de :

1 11 1 u n =1+ ∙ ∙ ∙ ++ ∙∙. n 2 1!2n!

5 points

Exercice 24 points Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Dans le plan complexePrapporté au repère orthonormal directO,u,v, unité graphique 4 cm, on considère les points A, B, C, D d’affixes respectives z A =2i,z B =i,z C = −1+i,z D =1+i. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exe rcice. 1.Soit la fonctionfdeP {B} dansPqui au pointMd’affixezassocie le point ′ ′ Md’affixezoù z−2i ′ z=i . z−i a.Développer (z+1−i)(z−1−i). b.Chercher les pointsMvérifiantf(M)=Met exprimer leurs affixes sous forme algébrique puis trigonométrique. 2. a.Montrer que, pour toutzdifférent de i, AM ′ |z| =, BM et que, pour toutzdifférent de i et de 2i, ³ ´ ¡ ¢ −−→ π −−→ ′ argz=BM, AM+(modulo2π). 2

Baccalauréat S

b.Déterminer et construire l’ensemble (E) des pointsMd’affixeztels que ′ |z| =1. c.Déterminer et construire l’ensemble (F) des pointsMd’affixeztels que ¡ ¢ π ′ argz=(modulo 2π). 2 1 ′ ′ 3. a.Démontrer quez−i=et en déduire que|z−i|×|z−i| =1, pour tout z−i complexezdifférent de i. 1 b.SoitMun point du cercleCde centre B et de rayon. Prouver que le 2 ′ ′ pointMd’affixezappartient à un cercle de centre B et de rayon à dé terminer.

Exercice 24 points Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Dans le plan complexePA ;rapporté au repère orthonormal directu,v, unité −→−→−−→→ graphique 1 cm, on considère les points B, D définis par : AB=2u, AD=3vet C tel que ABCD soit un rectangle. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exe rcice. −→ 1.Soit E l’image de B par la translation de vecteur DB. Déterminer l’affixez E de E. 2.Déterminer les nombres réelsa,btels que le point F d’affixez F =6−i soit le barycentre des points A, B, C affectés des coefficientsa,bet 1. 3.On considère la similitudesqui transforme A en E et B en F. À tout pointM ′ ′ d’affixez, on associe le pointMd’affixez, image deMpars. ′ a.Exprimerzen fonction dez. b.Déterminer le centre I, l’angle et le rapport de la similitude s. c.Déterminer les images de C et de D pars. d.Calculer l’aire de l’image parsdu rectangle ABCD. 4. a.Déterminer l’ensembleΩdes pointsMdu plan tels que : −−→ −−→−−→ ° 6MA−10MB+MC ° =9.

b.Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l’image deΩpar s.

Problème 11points ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthogonalO,ı,. L’unité graphique est 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A Soitfla fonction définie surRpar :

1−x f(x)=(2+cosx)e . ³ ´ −→−→ On noteCla courbe représentative defdans le repèreO,ı,. 1.Montrer que, pour toutxdeR:f(x)>0. ³ ´ p π 2. a.Montrer que, pour toutxdeR: 2cosx x− =cosx+sinx. 4 b.En déduire que, pour toutxdeR: 2+cosx+sinx>0. c.Montrer quefest strictement décroissante surR. 1−x1−x 3. a.Montrer que, pour toutxdeR: e 6 f(x) 6 3e .

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Baccalauréat S

b.En déduire les limites defen+∞et en−∞. c.Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la li mite defen+∞. 4. a.Montrer que, sur l’intervalle [0 ;π], l’équationf(x)=3 admet une solu tion uniqueα. −2 b.Donner un encadrement deαd’amplitude 10. 5.Représenter la courbeCsur [0 ; 4].

Partie B On veut calculer l’aireA, exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe C, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=1. Z 1 1−t 1.Montrer que :A=2e−2+coste dt. 0 Z Z 1 1 1−t1−t 2.On pose : I=coste dtet J=sinte dt. 0 0 a.À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que :

I= −cos 1+e−J et J= −sin 1+I. b.En déduire la valeur de I. 3.Déterminer la valeur exacte deAen unités d’aire, puis donner une valeur −2 approchée deAsi à 10près par défaut.

Partie C Soithla fonction définie surRpar : sinx h(x)= −1−. 2+cosx 1. a.Montrer que la fonctionhadmet des primitives surR. b.Calculer la primitiveHde la fonctionh, qui prend en 0 la valeur (1+ln 3). 2. a.Déterminer ln[f(x)] pour toutxdeR. b.Étudier le sens de variations de la fonctionH. c.Déterminer le tableau de variations deH. 3.On appelleΓla courbe représentative de la fonction définie surRparx7−→ 1−x+ln(2+cosx). (On ne demande pas de représenterΓ.) On appelleΔla droite d’équationy= −x+1. a.Étudier la position relative deΓet deΔ. b.Déterminer les abscisses des points communs àΓetΔ. 4. a.Établir une équation de la tangente T àΓau point d’abscisse 0. b.Étudier la position relative deΓet T. 5.Montrer que la courbeΓest contenue dans une bande du plan limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations.

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