Baccalauréat S Polynésie septembre 2000

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Polynésie septembre 2000 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par pk la probabilité d'obtenir, lors d'un lancer, la face numérotée k (k est un entier et 16 k 6 6). Ce dé a été pipé de telle sorte que : • les six faces ne sont pas équiprobables, • les nombres p1, p2, p3, p4, p5, p6, dans cet ordre, sont six termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison r , • les nombres p1, p2, p4 dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique. 1. Démontrer que : pk = k 21 pour tout entier k tel que 16 k 6 6. 2. On lance ce dé une fois et on considère les évènements suivants : – A : « le nombre obtenu est pair » – B : « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 » – C : « le nombre obtenu est 3 ou 4 ». a. Calculer la probabilité de chacun de ces évènements. b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu'il est pair. c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Les évènements A et C sont-ils indépendants ? 3.

• courbe représentative dans le plan


• courbe


• triangle aeh


• composée h1


• centre de gravité du triangle bde


• carré de sens direct


• boule blanche


• droite∆passant par le point


• points enseignement obligatoire

Sujets

• Courbe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2000
• Nombre de lectures: 359
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSPolynésieseptembre2000\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Ondisposed’undécubiquedontlesfacessontnumérotéesde1à6.Ondésignepar
p la probabilité d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k (k est un entier etk
16k66).
Cedéaétépipédetellesorteque:
? lessixfacesnesontpaséquiprobables,
? les nombres p , p , p , p , p , p , dans cet ordre, sont six termes consécutifs1 2 3 4 5 6
d’unesuitearithmétique deraisonr,
? les nombres p , p , p dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d’une suite1 2 4
géométrique.
k
1. Démontrerque: p ? pourtoutentierk telque16k66.k
21
2. Onlancecedéunefoisetonconsidèrelesévènementssuivants:
– A:«lenombreobtenuestpair»
– B:«lenombreobtenuestsupérieurouégalà3»
– C:«lenombreobtenuest3ou4».
a. Calculerlaprobabilitédechacundecesévènements.
b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égalà 3,
sachantqu’ilestpair.
c. Les évènements A et B sont-ils indépendants? Les évènements A et C
sont-ilsindépendants?
3. Onutilise cedépourunjeu.Ondispose:
? d’uneurneU contenantunebouleblancheettroisboulesnoires,1
? d’uneurneU contenantdeuxboulesblanchesetuneboulenoire.2
Lejoueurlanceledé:
? s’ilobtientunnombrepair,ilextraitauhasardunebouledel’urneU ,1
? s’il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l’urne
U .2
Onsupposequelestiragessontéquiprobablesetlejoueurestdéclarégagnant
lorsqu’iltireunebouleblanche,onnoteGcetévènement.
a. Déterminer la probabilité de l’évènement G\ A, puis la probabilité de
l’évènement G.
b. Lejoueurestgagnant.Déterminerlaprobabilitéqu’ilaitobtenuunnombre
pairlorsdulancerdudé.
EXERCICE 2 5points
Enseignementobligatoire
OnconsidèreuncubeABCDEFGHd’arête1.
?! ?! ?!
1. a. Exprimerplussimplement levecteurAB ?AD ?AE.
?! ?!
b. EndéduirequeleproduitscalaireAG ?BD estnul.
?! ?!
c. DémontrerdemêmequeleproduitscalaireAG ?BE estnul.
d. Démontrerqueladroite(AG)estorthogonaleauplan(BDE).
2. Soit Ile centre de gravité du triangle BDE. Déduirede1aque le point Iest le
point d’intersection dela droite(AG)et duplan (BDE),et préciser laposition
dupointIsurlesegment[AG].
3. Danscettequestion,l’espaceestorientéparlerepèreorthonormaldirect
?! ?! ?!
(A;AB, AD, AE).BaccalauréatS A.P.M.E.P.
a. Écrireuneéquationduplan(BDE).
b. ÉcrireunereprésentationparamétriquedeladroiteΔpassantparlepoint
Hetorthogonaleauplan(BDE).
c. Déterminerlescoordonnéesdupointd’intersectionJdeladroiteΔavec
leplan(BDE).
d. EndéduireladistancedupointHauplan(BDE).
E H
F
G
A
D
B C
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont
descarrésdesensdirect.
1. Lebutdecettepremièrequestion estdedémontrerquelesdroites(AC),(EG)
et(FH)sontconcourantes.PourcelaonnoteIlepointd’intersectiondesdroites
(EG)et(FH)etonintroduit:
?l’homothétie h decentreIquitransformeGenE.1
?l’homothétie h decentreIquitransformeFenH.2
a. Déterminerl’imagedeladroite(CG)par
BC Fl’homothétie h puis par la composée1
h ?h .2 1
b. Déterminer l’image dela droite(CF) par
Dlacomposéeh ?h .1 2 A E
c. Justifierl’égalité:
h ?h ?h ?h .2 1 1 2
Endéduirequeladroite(AC)passeaussi
parlepointI. G H
2. OnseproposeicidedémontrerquelamédianeissuedusommetAdutriangle
AEHestunehauteurdutriangleABD.OnnoteOlemilieudusegment[EH].
?! ?! ?!
a. ExprimerlevecteurAO enfonctiondesvecteursAE etAH.
??! ??! ??!
b. ExprimerlevecteurBD enfonctiondesvecteursAB etAD.
?! ?!
c. CalculerleproduitscalaireAO ?BD etconclure.
3. Danscettequestion,onétudielasimilitudedirecteSquitransformeAenBet
DenA.
OnposeAB=1etAD=k (k?0).
a. Déterminerl’angleetlerapportdelasimilitudeS.
Polynésie 2 septembre2000BaccalauréatS A.P.M.E.P.
b. Déterminer l’image dela droite(BD),puisl’image dela droite(AO),par
cettesimilitude S.
c. En déduire que le point d’intersectionΩ des droites (BD) et (AO) est le
centredelasimilitudeS.
PROBLÈME 10points
Enseignementobligatoireetdespécialité
Onconsidèrelafonctionnumérique f définiesurRpar:
x?1f(x)?2x?1?xe .
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal³ ´!? !?
O, ı , | .
A.Étudedelafonction f
etconstructiondelacourbe(C)
1. Étudierlalimitedelafonction f en- 1puisen+ 1(onpourraécrire
1x?1 xxe ? xe ).
e
2. DémontrerqueladroiteΔd’équation y?2x?1estasymptoteàlacourbe(C)
en?1etpréciserlapositiondelacourbe(C)parrapportàladroiteΔ.
0 003. a. Calculerladérivée f etladérivéeseconde f delafonction f.
0b. Dresserletableaudevariationdelafonction f enprécisantlalimitede
0lafonction f en- 1.
0 0c. Calculer f (1)etendéduirelesignede f pourtoutréel x.
d. Dresserletableaudevariationdelafonction f.
4. SoitIl’intervalle[1,9;2].Démontrerque,surI,l’équation f(x)?0aunesolu-
tionunique,?.
5. TracerladroiteΔetlacourbe(C)(unitégraphique:2cm).
B.Recherched’uneapproximationdeα
Onconsidèrelafonction g définiesurl’intervalle Ipar:
µ ¶
1
g(x)?1?ln 2? .
x
1. Démontrerque,surI,l’équation f(x)?0équivautàl’équation g(x)?x.
2. Étudierlesensdevariationdelafonction g surIetdémontrerque,pourtout
x appartenantàI,g(x)appartientàI.
103. Démontrerque,pourtout x del’intervalle I,jg (x)j6 .
9
4. Soit(u )lasuitedenombresréelsdéfiniepar:n
u ?2 et,pourtoutn deN, u ?g(u ).0 n?1 n
OndéduitdelaquestionB2quetouslestermesdecettesuiteappartiennent
àl’intervalle I.Onnedemandepasdeledémontrer.
1
a. Démontrerque,pourtoutn deN, ju ??j6 ju ??j.n?1 n
9
b. Endéduire,enraisonnantparrécurrence,que:
µ ¶n1 1
pourtoutn deN, ju ??j6 ? .n
9 10
Polynésie 3 septembre2000BaccalauréatS A.P.M.E.P.
c. Endéduirequelasuite(u )convergeetprécisersalimite.n
C.Calculd’aire
Z?
x?11. Enintégrantparparties,calculerl’intégrale I= xe dx.
1
2. a. Déterminer, en unités d’aire, l’aireA de la portion de plan limitée par
la courbe (C), l’axe des abscisses, la droite d’équation x?1 et la droite
d’équation x??.
µ ¶
1
b. Démontrerqu’onpeutécrireA ?(??1) ?? .
?
Polynésie 4 septembre2000