Baccalauréat S Pondichéry avril

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011 \ Le sujet est composé de 3 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. EXERCICE 1 10 points Commun à tous les candidats Partie I Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C1 et C2 représentatives de deux fonctions f1 et f2 définies sur l'inter- valle ]0 ; +∞[. 1 2 3 ?1 1 2 3 4 C1 C2 O On sait que : – l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes C1 et C2 – l'axe des abscisses est asymptote à la courbe C2 – la fonction f2 est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]0 ;+∞[ – la fonction f1 est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ;+∞[ – la limite quand x tend vers +∞ de f1(x) est +∞. Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois proposi- tions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une ré- ponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée. 1. La limite quand x tend vers 0 de f2(x) est : • 0 • +∞ • On ne peut pas conclure

• asymptote aux courbes c1


• points candidats


• courbe cg


• triangle équilatéral


• sommet au centre de gravité de la face opposée


• nature de e4


• face op


• centre de gravité du triangle bcd


• point d'intersection de la courbe ch et de l'axe des abscisses

Sujets

• Triangle équilatéral

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 avril 2011
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSPondichéry13avril2011\
Lesujetestcomposéde3exercicesindépendants.
Lecandidatdoittraitertouslesexercices.
EXERCICE 1 10points
Communàtouslescandidats
PartieI
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal,les
courbesC etC représentativesdedeuxfonctions f et f définiessurl’inter-1 2 1 2
valle]0;?1[.
3
C1
2
1
C2
O 1 2 3 4
?1
Onsaitque:
– l’axedesordonnéesestasymptoteauxcourbesC etC1 2
– l’axedesabscissesestasymptoteàlacourbeC2
– lafonction f estcontinueetstrictementdécroissantesurl’intervalle]0;?1[2
– lafonction f estcontinueetstrictementcroissantesurl’intervalle]0;?1[1
– lalimitequandx tendvers?1de f (x)est?1.1
Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois proposi-
tions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune
justification n’est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une ré-
ponsefausseoul’absencederéponsen’estpassanctionnée.
1. Lalimitequandx tendvers0de f (x)est:2
?0 ??1 ?On ne peut pas
conclureBaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Lalimitequandx tendvers?1de f (x)est:2
?0 ?0,2 ?On ne peut pas
conclure
3. En?1,C admetuneasymptoteoblique:1
?Oui ?Non ?On ne peut pas
conclure
4. Letableaudesignesde f (x)?f (x)est:2 1
x 0 ?1 x 0 ?1 x 0 ?1
f (x)?f (x) f (x)?f (x) f (x)?f (x)2 1 2 1 2 1? ? ?0 ?? ? ?
PartieII
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0;?1[par
1
f(x)?ln(x)?1? .
x
1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de
définition.
2. Étudierlesvariationsdelafonction f surl’intervalle]0; ?1[.
3. Endéduirelesignede f(x)lorsquex décritl’intervalle]0; ?1[.
4. MontrerquelafonctionF définiesurl’intervalle]0; ?1[par
F(x)?xlnx?lnx estuneprimitivedelafonction f surcetintervalle.
5. Démontrer que la fonction F est strictement croissante sur l’intervalle
]1; ?1[.
1
6. Montrerquel’équationF(x)?1? admetuneuniquesolutiondansl’in-
e
tervalle]1;?1[qu’onnote?.
?17. Donnerunencadrementde?d’amplitude10 .
PartieIII
Soitg eth lesfonctionsdéfiniessurl’intervalle]0;?1[par:
1
g(x)? et h(x)?ln(x)?1.
x
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal,les
courbesC etC représentativesdesfonctionsg eth.g h
Pondichéry 2 13avril2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
3
Ch
2
P
1
Cg
A
O t1 2 3 4
?1
1. Aestlepointd’intersectiondelacourbeC etdel’axedesabscisses.Dé-h
terminerlescoordonnéesdupointA.
2. P est le pointd’intersectiondes courbesC etC . Justifierque les coor-g h
donnéesdupointPsont(1;1).
3. OnnoteA l’airedudomainedélimitéparlescourbesC ,C etlesdroitesg h
1
d’équationsrespectivesx? etx?1(domainegrisésurlegraphique).
e
a. Exprimerl’aireA àl’aidedelafonction f définiedanslapartieII.
1
b. MontrerqueA ?1? .
e
4. Soit t un nombre réel de l’intervalle ]1 ; ?1[. On noteB l’aire du do-t
maine délimitépar les droites d’équations respectives x?1, x?t et les
courbesC etC (domainehachurésurlegraphique).g h
Onsouhaitedéterminerunevaleurdet tellequeA ?B .t
a. MontrerqueB ?tln(t)?ln(t).t
b. Conclure.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Partie1
Danscettepartie,ABCDestuntétraèdrerégulier,c’est-à-direunsolidedontles
quatrefacessontdestriangleséquilatéraux.
Pondichéry 3 13avril2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
A
D
0A
B
C
0A estlecentredegravitédutriangleBCD.
Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la
0face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA ] est une médiane du
tétraèdreABCD.
1. Onsouhaitedémontrerlapropriétésuivante:
(P ):Dansuntétraèdrerégulier,chaquemédianeestorthogonaleàlaface1
opposée.
??! ??!??! ??!0 0a. MontrerqueAA ?BD ?0etqueAA ?BC ?0.(Onpourrautiliserle
milieuIdusegment[BD]etlemilieuJdusegment[BC]).
0b. Endéduirequelamédiane(AA )estorthogonaleàlafaceBCD.
Un raisonnementanalogue montre que les autres médianes du té-
traèdre régulierABCD sont égalementorthogonalesà leur face op-
posée.
2. Gestl’isobarycentredespointsA,B,CetD.
Onsouhaitedémontrerlapropriétésuivante:
(P ):Lesmédianesd’untétraèdreréguliersontconcourantesenG.2
En utilisant l’associativité du barycentre, montrer que G appartient à la
0droite(AA ),puisconclure.
PartieII
³ ´!? !? !?
Onmunitl’espaced’unrepèreorthonormal O, ı , | , k .
OnconsidèrelespointsP(1;2;3),Q(4; 2; ?1)etR(?2; 3; 0).
1. MontrerqueletétraèdreOPQRn’estpasrégulier.
02. CalculerlescoordonnéesdeP ,centredegravitédutriangleOQR.
3. Vérifierqu’uneéquationcartésienneduplan(OQR)est:3x?2y?16z?0.
4. Lapropriété(P )delapartie1est-ellevraiedansuntétraèdrequelconque?1
Pondichéry 4 13avril2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PartieA
³ ´!?!? !?
On considère, dans un repère O, ı , | , k de l’espace, la surfaceS d’équa-
tion:
2z?(x?y) .
1. OnnoteE l’intersectiondeS avecleplanP d’équationz?0.1 1
Déterminer la nature deE . On noteE l’intersectiondeS avec le plan1 2
P d’équationx?1.2
DéterminerlanaturedeE .2
PartieB
³ ´!? !? !? 0Onconsidère, dansunrepère O, ı , | , k del’espace, lasurfaceS d’équa-
tion:
z?xy.
01. OnnoteE l’intersectiondeS avecleplanP d’équationz?0.3 1
DéterminerlanaturedeE3
02. OnnoteE l’intersectiondeS avecleplanP d’équationz?1.4 3
DéterminerlanaturedeE .4
PartieC
0OnnoteE l’intersectiondeS etdeS .5
Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant àE5
dontlescoordonnéessontdesentiersnaturelsestlepointO(0;0;0).
On supposequ’il existe un point M appartenantàE et dont les coordonnées5
x, y etz sontdesentiersnaturels.
1. Montrerquesix?0,alorslepointM estlepointO.
2. Onsupposedorénavantquel’entierx n’estpasnul.
2 2a. Montrerquelesentiersx, y etz vérifientx ?3xy?y ?0.
0 0En déduire qu’il existe alors des entiers naturels x et y premiers
02 0 0 02entreeuxtelsquex ?3x y ?y ?0.
0 02 0 0b. Montrerquex divise y ,puisquex divise y .
0 0 02c. Établirque y vérifielarelation1?3y ?y ?0.
d. Conclure.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en
quatresecteurs,commeindiquésurlafigureci-dessous.
Pondichéry 5 13avril2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
5points
0point 0point
3points
Onsupposequeleslancerssontindépendantsetquelejoueurtouchelacible
àtouslescoups.
1. Lejoueurlanceunefléchette.
Onnotep laprobabilitéd’obtenir0point.0
Onnotep laprobabilitéd’obtenir3points.3
Onnotep laprobabilitéd’obtenir5points.5
1 1
Onadoncp ?p ?p ?1.Sachantque p ? p etque p ? p déter-0 3 5 5 3 5 0
2 3
minerlesvaleursdep ,p etp ·0 3 5
2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le
joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur
ouégalà8points.Siauboutde2lancers,ilauntotalsupérieurouégalà
8points,ilnelancepaslatroisièmefléchette.
OnnoteG l’évènement:«lejoueurgagnelapartieen2lancers».2
OnnoteG l’évènement:«lejoueurgagnelapartieen3lancers».3
OnnoteP l’évènement:«lejoueurperdlapartie».
Onnotep(A)laprobabilitéd’unévènement A.
5
a. Montrer,enutilisantunarbrepondéré,quep G ? .( )2
36
7
Onadmettradanslasuitequep G ?( )3
36
b. Endéduirep(P).
3. Unjoueurjouesixpartiesaveclesrèglesdonnéesàlaquestion2.
Quelleestlaprobabilitéqu’ilgagneaumoinsunepartie?
4. Pourunepartie,lamiseestfixéeà2(.
Silejoueurgagneendeuxlancers,ilreçoit5(.S’ilgagneentroislancers,
ilreçoit3(.S’ilperd,ilnereçoitrien.
OnnoteX lavariablealéatoirecorrespondantaugainalgébriquedujoueur
pourunepartie.LesvaleurspossiblespourX sontdonc:?2,1et3.
a. Donnerlaloideprobabilitéde X.
b. Déterminerl’espérancemathématiquede X. Lejeuest-ilfavorable
aujoueur?
Pondichéry 6 13avril2011