Baccalauréat série ES France septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat série ES France septembre 2004 \ EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie pour tout x élément de R par f (x)= 30e?5x . Soit g la fonction définie pour tout x élément de R par g (x)= e5x +1. On admet que f et g sont dérivables sur R. 1. Démontrer que la fonction f est strictement décroissante sur R. 2. Démontrer que la fonction g est strictement croissante sur R. 3. Tracer sur la copie dans un même repère orthogonal les représentations gra- phiques des fonctions f et g sur l'intervalle [0 ; 0,5] (on prendra 20 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 0,5 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées). 4. Le but de cette question est de résoudre dans R l'équation : (E) : f (x)= g (x). a. Montrer que (E) s'écrit aussi : (e5x)2+ (e5x)?30= 0. b. Résoudre dans R l'équation : X 2+X ?30= 0. c. En déduire que ln55 est l'unique solution de l'équation (E). 5. Dans cette question, on considère la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses.

• unique solution de l'équation


• acheteurs de yaourts


• hachurer sur le graphique de la question


• probabilité


• solutions éventuelles


• acheteur de yaourts choisi au hasard

Sujets

• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2004
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatsérieESFranceseptembre2004\
EXERCICE 1 7points
Communàtouslescandidats
?5xSoit f lafonctiondéfiniepourtout x élémentdeRpar f(x)?30e .
5xSoit g lafonctiondéfiniepourtout x élémentdeRparg(x)?e ?1.
Onadmetque f et g sontdérivablessurR.
1. Démontrerquelafonction f eststrictementdécroissantesurR.
2. Démontrerquelafonction g eststrictementcroissantesurR.
3. Tracer sur lacopie dans unmême repèreorthogonalles représentations gra-
phiques desfonctions f et g surl’intervalle [0;0,5](onprendra20cmpour1
unitésurl’axedesabscisseset0,5cmpour1unitésurl’axedesordonnées).
4. LebutdecettequestionestderésoudredansRl’équation:
(E): f(x)?g(x).
? ? ? ?25x 5xa. Montrerque(E)s’écritaussi: e ? e ?30?0.
2b. RésoudredansRl’équation: X ?X ?30?0.
ln5
c. Endéduireque estl’uniquesolutiondel’équation(E).
5
5. Dans cette question, on considère la partie du plan située au dessus de l’axe
desabscisses.
Hachurer sur le graphique de la question 3 le domaine situé à la fois sous la
courbede f etsouslacourbedeg,etlimitéparlesdroitesd’équation x?0et
x?0,5.
2Calculer,encm ,l’aireA decedomaine.
?1Donnerlavaleurexactedel’aireA puisunevaleurapprochéeà10 près.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Onconsidèreunegrandepopulationd’acheteursdeyaourts.
Onsupposequel’effectifdecettepopulationeststable.
UneentreprisecommercialisedesyaourtssouslamarqueY.
30%desacheteursdeyaourtsachètentlamarqueY.
L’entreprisedécidedefaireunecampagnepublicitairepouraméliorersesventes.
Auboutd’unesemaine,uneenquêteindiqueque:
? 20% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts
desautresmarquesachètentmaintenantdesyaourtsY.
?10%desacheteursdeyaourtsquiachetaientlasemaineprécédentedesyaourtsY
achètentmaintenantdesyaourtsdesautresmarques.
L’entreprise continue sacampagne publicitaire.Onfaitl’hypothèse quel’évolution
desrésultatsobtenusàl’issue delapremièresemainedecampagnepublicitaireest
lamêmelessemainessuivantes.
1. Dessinerlegrapheprobabilistecorrespondantàcettesituation.
2. Soit X ?(0,3 0,7)lamatricelignedécrivantl’étatinitialdelapopulation.0
a. Donnerlamatricedetransition(notéeA)associéeaugrapheprécédent.
b. Déterminer la probabilité qu’un acheteur de yaourts choisi au hasard
après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de
lamarqueY.BaccalauréatESseptembre2004 A.P.M.E.P.
3. Onadmetquepourtoutentiernatureln ona:
0 ? ? ? ? 1
2 1 1 1n n? 0,7 ? 0,7B C
n 3 3 3 3B C? ? ? ?A ?@ A2 2 1 2n n? 0,7 ? 0,7
3 3 3 3
Avec l’hypothèse ci-dessus, l’entreprise peut-elle espérer atteindre une part
demarchéde70%?Justifier.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
0Onconsidèreunefonction f définieetdérivablesur[0,5;4].Onnote f lafonction
dérivéedelafonction f.
Onnote(C)lacourbereprésentativedelafonction f dansleplanmunid’unrepère
orthogonal(O,I,J).
Lacourbe(C)estreprésentéeci-dessous.
Lacourbe(C)passeparlepointAetadmetladroite(AD)pourtangenteenA.
La courbe (C) passe par le point B, d’abscisse e, et en B elle admet une tangente
horizontale.
Onrappellequeeestlenombreréeltelquelne?1.
B
D
A
2
J
O eI 2 3
1. Enutilisantlesdonnéesgraphiques,donnersansjustification:
a. le nombre de solutions sur l’intervalle [0,5; 4] del’équation f(x)?6, et
unevaleurapprochéeà0,25prèsdessolutionséventuelles.
0b. Lesignedeladérivée f delafonction f surl’intervalle[0,5;4].
0 0c. Lesvaleursde f (1)et f (e).
Z2
2. Justifierque:36 f(x)dx67.
1
3. Soit h, g et j lesfonctions définiespourtoutréel x del’intervalle [0,5; 4]res-
pectivementpar:
e 2
h(x)?(4x)(1?lnx) g(x)? ?1 j(x)? (x?e)(x?3).
x e?1
Parmicestroisfonctions,deuxnepeuventpasêtreladérivéedelafonction f.
Lesquelles? Pourquoi?
EXERCICE 3 8points
Communàtouslescandidats
Unjeutélévisé sedéroulesur quatresemaines maximum, etestorganisédelama-
nièresuivante:
Francemétropolitaine 2BaccalauréatESseptembre2004 A.P.M.E.P.
Uncandidatseprésentelapremièresemaineetjoueunepartie.
S’illagagne,ilalapossibilitédepoursuivreendeuxièmesemaineoudes’arrêter.
S’illaperd,ilestéliminé.
Lemêmeprocessuss’appliqueendeuxièmeettroisièmesemaine.
Àl’issuedelaquatrièmepartielejeus’arrête,quelecandidataitgagnéouperdu.
Uncandidatayantjouéetgagnélesquatrepartiesestdéclaré«grandgagnant».
On admet que pour un candidat donné, la probabilité de gagner une partie est la
3
mêmechaquesemaineetvaut .
5
Onadmetégalement,qu’uncandidatayantgagnéunepartiedécided’arrêterlejeu
1
avecuneprobabilitéde .
10
1. On adessiné le début d’un arbremodélisant le fonctionnement du jeu, pour
uncandidatdonné.
Compléter sur la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) l’arbre identique à
celui-ci,etindiquersurchaquebranchelesprobabilitéscorrespondantes.
G désigne l’évènement : le1
candidat gagne la première
partie.
P désigne l’évènement : le1
C candidat perd la première2
Décision
partie.
C désigne l’évènement : le1G2e2 partie candidatdécidedecontinuer
le jeu après la première par-
C A1 2 tie.Décision
A désigne l’évènement : le1
G P candidat décide d’arrêter lere 1 21 partie
jeuaprèslapremièrepartie.
On définit de même les évè-
A1
nements G , G , G , P , P ,2 3 4 2 3
P ,A etA .4 2 3
P1
2. Calculerlaprobabilitéquelecandidatgagnelapremièrepartieetarrêtelejeu.
3. Montrer que la probabilité que le candidat arrête le jeu après avoir gagné la
deuxièmepartieest0,0324.
4. Calculer laprobabilitéquelecandidatsoit«grandgagnant»(donneruneva-
?4leurapprochéeà10 près).
5. On attribue un gain de 100( à un candidat qui gagne la première partie et
décided’arrêterlejeu.
On attribue un gainde 1000( àun candidat qui a gagnéles deux premières
partiesetdécided’arrêterlejeu.
Onattribueungainde10000(àuncandidatquiagagnélestroispremières
partiesetdécided’arrêterlejeu.
Onattribueungainde100000(àuncandidat«grandgagnant».
Danstouslesautrescas,lecandidataperduetnegagnerien.
Ondonneletableausuivantdontunecasen’apasétéremplie:
Gain 0( 100( 1000( 10000( 100000(
Probabilité
(exacteou 0,06 0,0324 0,0175 0,0945
arrondie)
a. Quevautlaprobabilitémanquante?Justifierlaréponse.
b. Donner une valeur approchée de l’espérance mathématique du gain à
1( près.
c. Interprétercerésultat.
Francemétropolitaine 3BaccalauréatESseptembre2004 A.P.M.E.P.
ANNEXE
Exercice3
Àrendreaveclacopie
C2
Décision
G2
e2 partie
C A1 2
Décision
G P1 2
re1 partie
3 1
5 10
A1
P1
Francemétropolitaine 4