Baccalauréat série S Liban mai

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat série S Liban mai 2003 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis la remettre dans l'urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn , la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n?1 pre- miers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage. 1. Calculer les probabilités p2, p3 et p4. 2. On considère les évènements suivants : Bn : « On tire une boule blanche lors du n-ième tirage », Un : « On tire une boule blanche et une seule lors des n?1 premiers tirages ». a. Calculer la probabilité de l'évènement Bn . b. Exprimer la probabilit de l'évènement Un en fonction de n. c. En déduire l'expression de pn en fonction de n et vérifier l'égalité : pn = n?1 4 ? ( 2 3 )n . 3. On pose : Sn = p2+p3+·· ·+pn . a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : Sn = 1? (n 2 +1 ) ? ( 2 3 )n .

• ?? ?


• nature précise du parallélogramme pqrs


• pgcd de x8


• ième tirage


• probabilit de l'évènement

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mai 2003
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat série S Liban mai 2003\

E X E R C IC E 1 4points Commun à tous les candidats Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. On répètenfois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puisla remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants. On notep n , la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors desn−1 pre miers tirages et une boule blanche lors dunième tirage. 1.Calculer les probabilitésp 2 ,p 3 etp 4 . 2.On considère les évènements suivants : B n : « On tire une boule blanche lors dunième tirage », U n : « On tire une boule blanche et une seule lors desn−1 premiers tirages ». a.Calculer la probabilité de l’évènementB n . b.Exprimer la probabilit de l’évènementU n en fonction den. c.En déduire l’expression dep n en fonction denet vérifier l’égalité : µ ¶ n n−1 2 p n = ×. 4 3 3.On pose :S n =p 2 +p 3 + ∙ ∙ ∙ +p n . a.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on a : µ ¶ ³ ´ n n2 S n =1− +1×. 2 3 b.Déterminer la limite de la suite (S n ).

E X E R C IC E 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1.Résoudre dansCl’équation :

5 points

2 4z−12z+153=0. ³ ´ −→−→ 2.O,Dans le plan rapporté à un repère orthonorméu,v, d’unité graphique 3 1 cm on considère les points A, B, C, P d’affixes respectives :z A = +6i, 2 3 1 −→ 5 z B = −6i ;z C = −3−i,z P =3+2i et le vecteurwd’affixez= −1+i. −→ w 2 42 a.Déterminer l’affixez Q du point Q, image du point B dans la translationt −→ de vecteurw. b.Déterminer l’affixez R du point R, image du point P par l’homothétieh 1 de centre C et de rapport−. 3 c.Déterminer l’affixez S du point S, image du point P par la rotationrde π centre A et d’angle−. 2 Placer les points P, Q, R et S. 3. a.Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.

z R −z Q b.Calculer . z P −z Q En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS. c.Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté C. On calculera l’affixe de son centreΩet son rayonρ. 4.La droite (AP) estelle tangente au cercleC?

Exercice 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les suites d’entiers naturels (x n ) et (y n ) sont définies surNpar :

5 points

x 0 =3 etx n+1 =2x n −1 y 0 =1 ety n+1 =2y n +3. n+1 1.Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,x n =2+1. 2. a.Calculer le pgcd dex 8 etx 9 , puis celui dex 2 002 etx 2 003 . Que peuton en déduire pourx 8 etx 9 d’une part, pourx 2 002 etx 2 003 d’autre part ? b.x n etx n+1 sontils premiers entre eux pour tout entier natureln? 3. a.Démontrer que pour tout entier natureln, 2x n −y n =5. b.Exprimery n en fonction den. c.En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de p l’entier naturelple reste de la division euclidienne de 2par 5. d.On noted n le pgcd dex n ety n pour tout entier natureln. Démontrer que l’on ad n =1 oud n =5 ; en déduire l’ensemble des entiers naturelsntels quex n ety n soient premiers entre eux.

P R O B L È M E 11 points Commun à tous les candidats Partie A Étude d’une fonction auxiliaireg x La fonctiongest définie surRparg(x)=2e+2x−7. 1.Étudier les limites degen−∞et en+∞. 2.Étudier le sens de variation de la fonctiongsurRet dresser son tableau de variations. 3.Justifier que l’équationg(x)=0 admet dansRune solution uniqueαtelle que :

0, 94<α<0, 941.

4.Étudier le signe degsurR. Partie B Étude d’une fonction La fonctionfest définie surRpar ¡ ¢ −x f(x)=(2x−5) 1−e . On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormal ³ ´ −→−→ O,ı,. 1.Étudier le signe defsurR. 2.Étudier les limites defen−∞et+∞. ′ ′′ 3.Calculerf(x), oufdésigne la fonction dérivée defet vérifier quef(x) et g(x) ont le même signe. Dresser le tableau de variations def.

2

2 (2α−5) 4. a.Démontrer l’égalité :f(α)=. 2α−7 2 (2x−5) b.Étudier le sens de variations de la fonctionh:x7→sur l’inter 2x−7 ¸ · 5 valle−∞; . 2 En déduire, à partir de l’encadrement deαobtenu dans lapartie A, un −2 encadrement d’amplitude 10def(α). 5.Démontrer que la droiteD, d’équationy=2x−5, est asymptote àCen+∞. Préciser la position deCpar rapport àD. ³ ´ −→−→ 6.Tracer la droiteDet la courbeCdans le repèreO,ı,(unité graphique 2 cm).

Partie C  Calcul d’aires 2 À l’aide d’une intégration par parties, calculer en cml’aireAde la portion de plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équa 5 tionx=. 2 Partie D  Étude d’une suite de rapports de distances Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, on considère les pointsA n ,B n , et C n d’abscissenla droite, appartenant respectivement à l’axe des abscisses,Det la courbeC; soitu n le réel défini par : C n B n u n =. A n B n 1.Démontrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, on a : 2n−5−f(n) u n =. 2n−5 2. a.Quelle est la nature de la suite (u n ) ? b.Calculer la limite de la suite (u n ). Pouvaiton prévoir ce résultat ?

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