Baccalauréat série S Métropole juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat série S Métropole juin 2003 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal ( O, ?? u , ?? v ) (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 2, b = 1?i et c = 1+i. 1. a. Placer les points A, B et C sur une figure. b. Calculer c?a b?a . En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. 2. a. On appelle r la rotation de centre A telle que r (B) = C. Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D = r (C). b. Soit ? le cercle de diamètre [BC]. Déterminer et construire l'image ?? du cercle ? par la rotation r . 3. Soit M un point de ? d'affixe z, distinct de C et M ? d'affixe z ? son image par r . a. Montrer qu'il existe un réel ? appartenant à [ 0 ; π 2 [ ? ]π 2 ; 2π [ tel que z = 1+ei?. b. Exprimer z ? en fonction de ?. c. Montrer que z ??c z?c est un réel.

• instant t0


• point de ? d'affixe z


• système d'équations paramétriques de la droite ∆


• points candidats


• equation cartésienne


• t0 positif


• plans parallèles aux axes de coordonnées


• coordonnées


• points de coordonnées respectives

Sujets

• Équation cartésienne
• Coordonnées

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2003
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatsérieSMétropolejuin2003
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
³ ´→− →−
Dansleplancomplexemunid’unrepèreorthonormal O, u , v (unitégraphique:
2cm),onconsidèrelespointsA,BetCd’affixesrespectivesa=2, b=1−ietc=1+i.
1. a. PlacerlespointsA,BetCsurunefigure.
c−a
b. Calculer .EndéduirequeletriangleABCestrectangleisocèle.
b−a
2. a. Onappeller larotationdecentreAtellequer(B)=C.
Déterminerl’angleder etcalculerl’affixed dupointD=r(C).
b. SoitΓlecercledediamètre[BC].
′Détermineretconstruirel’imageΓ ducercleΓparlarotationr.
′ ′3. Soit M unpointdeΓd’affixez,distinctdeCet M d’affixez sonimageparr.
h h i hπ π
a. Montrer qu’il existe un réel θ appartenant à 0; ∪ ; 2π tel que
2 2
iθz=1+e .
′b. Exprimer z enfonctiondeθ.
′z −c ′c. Montrerque estunréel.EndéduirequelespointsC,M etM sont
z−c
alignés.
2πi ′
3d. PlacersurlafigurelepointMd’affixe1+e etconstruiresonimageM
parr.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
C
Soient a un réel stricte-
ment positif et OABC un
tétraèdretelque:
• OAB, OAC et OBC sont
des triangles rectangles
enO,
H•OA=OB=OC= a.
On appelle I le pied de O
la hauteur issue de C du B
triangle ABC, H le pied D
de la hauteur issue de O
du triangle OIC, et D le I
point de l’espace défini
−−→ −−→
parHO =OD.
A
1. QuelleestlanaturedutriangleABC?
2. Démontrerquelesdroites(OH)et(AB)sontorthogonales,puisqueHestl’or-
thocentredutriangleABC.
3. CalculdeOH
a. CalculerlevolumeVdutétraèdreOABCpuisl’aireSdutriangleABC.
1p
3
b. ExprimerOHenfonctiondeVetdeS,endéduirequeOH= a .
3
4. ÉtudedutétraèdreABCD. µ ¶
1−→ 1−→ 1−→
L’espaceestrapportéaurepèreorthonormal O; OA, OB, OC .
a a a
³ ´a a a
a. DémontrerquelepointHapourcoordonnées: , , .
3 3 3
b. DémontrerqueletétraèdreABCDestrégulier(c’est-à-direquetoutesses
arêtesontmêmelongueur).
c. SoitΩlecentredelasphèrecirconscriteautétraèdreABCD.Démontrer
queΩestunpointdeladroite(OH)puiscalculersescoordonnées.
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Les questions 3. et 4. sont indépendantes des questions 1. et 2. seule l’équation deΓ
donnéeen1.c.intervientàlaquestion4..
³ ´→− →− →−
1. L’espaceestrapportéaurepèreorthonormal O, ı ,  , k .
p
a. MontrerquelesplansPetQd’équationsrespectives x+y 3−2z=0et
2x−z=0nesontpasparallèles.
b. Donner un système d’équations paramétriques de la droiteΔ intersec-
tiondesplansPetQ.
c. On considère le cône de révolutionΓ d’axe (Ox) contenant la droiteΔ
commegénératrice.
2 2 2MontrerqueΓpouréquationcartésienne y +z =7x .
2. Onareprésentésurlesdeuxfiguresci-dessouslesintersectionsdeΓavecdes
plansparallèlesauxaxesdecoordonnées.
Determiner dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant
avecsoinvotreréponse.
Figure1 Figure2
23. a. Montrerquel’équation x ≡3 [7],dontl’inconnue x estunentierreIa-
tif,n’apasdesolution,
b. Montrerlapropriétésuivante:
2 2pour tous entiers relatifs a et b, si 7 divise a +b alors 7 divise a et 7
diviseb.
4. a. Soient a, b et c des entiers relatifs non nuls. Montrer la propriété sui-
vante:
silepointAdecoordonnées(a, b, c)estunpointducôneΓalorsa, b et
c sontdivisiblespar7.
2b. Endéduireque leseul pointdeΓdontlescoordonnéessontdesentiers
relatifsestlesommetdececône.
PROBLÈME 11points
Communàtouslescandidats
SoitN lenombredebactériesintroduitesdansunmilieudecultureàl’instant0
t=0 (N étantunréelstrictementpositif,expriméenmillionsd’individus).0
Ceproblèmeapourobjetl’étudededeuxmodèlesd’évolutiondecettepopulation
debactéries:
• unpremiermodèlepourlesinstantsquisuiventl’ensemencement (partieA)
• unsecondmodèlepouvants’appliquersurunelonguepériode(partieB).
PartieA
Dans les instants qui suivent l’ensemencement du milieu de culture, on considère
quelavitessed’accroissementdesbactériesestproportionnelleaunombredebac-
tériesenprésence.
Danscepremiermodèle,onnote f(t)lenombredebactériesàl’instant t (exprimé
enmillionsd’individus).Lafonction f estdoncsolutiondel’équationdifférentielle:
′y =ay.(où a est un réelstrictement positif dépendant desconditions expérimen-
tales).
1. Résoudrecetteéquationdifférentielle,sachantque f(0)=N .0
2. OnnoteT letempsdedoublementdelapopulationbactérienne.
t
TDémontrerque,pourtoutréel t positif: f(t)=N 2 .0
PartieB
Lemilieu étantlimité(envolume,enéléments nutritifs, ...),lenombredebactéries
ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne
peut donc s’appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observa-
tions,onreprésentel’évolutiondelapopulationdebactériesdelafaçonsuivante:
Soitg(t)estlenombredebactériesàl’instantt (expriméenmillionsd’individus);la
fonction g estunefonctionstrictementpositiveetdérivablesur[0;+∞[quivérifie
pourtout t de[0;+∞[larelation:
· ¸
g(t)′(E) g (t)=ag(t) 1− .
M
oùMestuneconstante strictement positive dépendantdesconditionsexpérimen-
taleset a leréeldéfinidanslapartieA.
1. a. Démontrerquesi g estunefonctionstrictement positive vérifiantla re-
1
lation(E),alorslafonction estsolutiondel’équationdifférentielle
g
a′ ′
(E ) y +ay= .
M
′b. Résoudre(E ).
1′c. Démontrerquesih estunesolutionstrictementpositivede(E ),alors
h
vérifie(E).
M
2. Onsupposedésormaisque,pourtoutréelpositif t, g(t)= oùC est
−at1+Ce
une constante strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expéri-
mentales.
a. Déterminerlalimitedeg en+∞etdémontrer,pourtoutréelt positifou
nul,ladoubleinégalité:0<g(t)<M.
3b. Étudierlesensdevariationdeg (onpourrautiliserlarelation(E)).
M
Démontrerqu’ilexisteunréelunique t positiftelque g(t )= .0 0
2
µ ¶
2g′′ ′ ′′c. Démontrer que g = a 1− g . Étudier le signe de g . En déduire
M
que la vitesse d’accroissement du nombredebactériesest décroissante
àpartirdel’instant t définici-dessus.0
Exprimer t enfonctiondea etC.0
d. Sachantquelenombredebactériesàl’instantt estg(t),calculerlenombre
moyendebactériesentrelesinstants0ett ,enfonctiondeMetC.0
PartieC
1. Letableauprésenté enAnnexeIapermisd’établir quelacourbereprésenta-
tivede f passaitparlespointsdecoordonnéesrespectives(0;1)et(0,5;2).En
déduirelesvaleursdeN , T et a.0
2. Sachant que g(0)=N et que M = 100 N , démontrer, pour tout réel t positif0 0
ounul,l’égalitésuivante:
100
g(t)= .
−t1+99×4
3. Tracer, sur la feuille donnée en Annexe II, la courbeΓ représentative de g,
l’asymptoteàΓainsiquelepointdeΓd’abscisse t .0
4. Dans quelles conditions le premier modèle vous semble-t-il adapté aux ob-
servationsfaites?
4Documentàrendreaveclacopie
AnnexeI
t 0 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6
(enh)
Nombredebactéries 1,0 2,0 3,9 7,9 14,5 37,9 70,4 90,1 98
(enmillions)
Lespoints obtenus àpartir decetableau,ainsi quelegraphedela fonction f,sont
représentésdanslegraphiqueci-dessous.
AnnexeII
y
100
80
60
40
20
0 t
0 1 2 3 4 5 6 7 8
5
+
+
+
+
+
+
+
+ +