Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin Génie électronique électrotechnique optique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2000 Génie électronique, électrotechnique, optique \ Durée : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 4 points On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est π 2 . Soient les nombres complexes z1 et z2 tels que z1 = p 2+ i p 6 et z2 = 2?2i. 1. a. Calculer le module et un argument de chacun des deux nombres com- plexes z1 et z2. b. Écrire le quotient z1 z2 sous la forme rei? où r est un nombre réel stricte- ment positif et ? un nombre réel. 2. P est le plan muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) d'unité gra- phique 2 cm dans lequel les points M1 et M2 sont les points d'affixes respec- tives z1 et z2. Dans ce plan : a. placer les points M1 et M2 ; b. montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme M2 en M1. Donner une mesure, en radian, de l'angle de cette rotation. 3. a. En utilisant les formes algébriques de z1 et de z2 données dans l'énoncé, écrire le quotient z1 z2 sous forme algébrique. b. Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos ( 7π 12 ) et sin ( 7π 12 ) .

• droites d'équations respectives


• axe des ordonnées passant par le point de coor


• demi plan


• autour de l'axe des abscisses


• plan rapporté au repère


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

[ BaccalauréatSTIAntilles–Guyanejuin2000
Génieélectronique,électrotechnique,optique\
Durée:4heures Coefficient:4
EXERCICE 1 4points
π
Onnoteilenombrecomplexedemodule1etdontunargumentest .
2p p
Soientlesnombrescomplexes z et z telsque z = 2+i 6et z =2−2i.1 2 1 2
1. a. Calculer le module et un argument de chacun des deux nombres com-
plexes z et z .1 2
z1 iθb. Écrirelequotient sous la forme re où r est un nombreréel stricte-
z2
mentpositifetθunnombreréel.
³ ´→− →−
2. P est le plan muni d’un repère orthonormal direct O, u , v d’unité gra-
phique 2 cm dans lequel les points M et M sont les points d’affixes respec-1 2
tives z et z .1 2
Dansceplan:
a. placerlespointsM etM ;1 2
b. montrerqu’ilexisteunerotationdecentreOquitransformeM enM .2 1
Donnerunemesure,enradian,del’angledecetterotation.
3. a. Enutilisantlesformesalgébriquesdez etdez donnéesdansl’énoncé,1 2
z1
écrirelequotient sousformealgébrique.
z2 µ ¶ µ ¶
7π 7π
b. Déduiredesrésultatsprécédentslesvaleursexactesdecos etsin .
12 12
EXERCICE 2 4points
′′1. a. Résoudre l’équation différentielle y +y=0, où y désigne une fonction
′′définie et deux fois dérivable surR et où y désigne la fonction dérivée
secondedelafonction y.
b. Déterminerlasolutionparticulière f decetteéquationdifférentiellevé-
³ ´π′ ′rifiant f(0)=1et f =0.(f désignelafonctiondérivéedelafonction
4
f.)
³ ´→−→− →−
2. L’espace est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k d’unité graphique
4cm.
Lebutdecettequestion estdecalculerlevolume Vengendréparlarotation,
autourdel’axedesabscisses,dudomaineDhachurésurledessinci-dessous:
→−

D
π π→−O
ı4 2BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
³ ´→− →−
Dansleplanrapportéaurepère O, ı ,  ledomaineDestlimitépar:
• la courbe représentative de la fonction f trouvée à la question précé-
dente;
• l’axedesabscisses;
• l’axedesordonnées;
• la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point de coor-³ ´π
données ; 0 .
2
a. Montrerque,pourtout x réel:
2[f(x)] =1+sin(2x).
b. Sachantque:
Zπ
2 2V=π [f(x)] dx,
0
calculerlavaleurexactedeVenunitédevolume.
3 3c. DonnerlavaleurdeVarrondieaumm .(Exprimerlerésultatencm .)
PROBLÈME 12points
Dansceproblème:
• Idésignel’intervalle]0;+∞[;
• f désignelafonctiondéfinie,pourtout x del’intervalle]0;+∞[par:
2xe
f(x)= ;
xe −1
• f’désignelafonctiondérivéedelafonction f ;
• C désigne la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapportéf
à un repère orthogonal (Ox, Oy) d’unités graphiques 4 cm sur l’axe des abs-
cisseset1cmsurl’axedesordonnées.
PartieA
1. a. Vérifierque,pourtout x del’intervalleI:
1xf(x)=e +1+ .
xe −1
b. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers+∞, et la limite de f(x)
quand x tendvers0.
Endéduirel’existenced’uneasymptoteàlacourbeC .f
2. a. Vérifierque,pourtout x del’intervalleI:
2x xe (e −2)′f (x)= .
2x(e −1)
′b. Étudier,pourtout x del’intervalleI,lesignede f (x).
En déduire le sens de variations de la fonction f et que, pour tout x de
l’intervalleI, f(x)>0.
9
3. a. Résoudre,dansl’intervalle I,l’équation,d’inconnue x, f(x)= .
2
Antilles-Guyane 2 juin2000BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
b. Déduire, du résultat obtenu à la question précédente, les coordonnées
des points A et B, points d’intersection de la courbeC et de la droitef
9
dontuneéquationest y= .
2
(Aestlepointd’intersectiondontl’abscisseestlapluspetite.)
PartieB
Soitlafonction g définie,pourtout x del’intervalleI,par:
xg(x)=e +1.
OnnoteC lacourbereprésentativedelafonction g dansleplanrapportéaurepèreg
(Ox,Oy).
C estdonnéesurlegraphiqueci-après.g
Onnoteh lafonctiondéfinie,pourtout x del’intervalleI,par:
h(x)= f(x)−g(x).
1. a. Étudier,pourtout x del’intervalle I,lesignedeh(x);endéduirelaposi-
tiondelacourbeC ,parrapportàlacourbeC .gf
b. Résoudredansl’intervalleI,l’inéquation, d’inconnue x, h(x)?0,05.
Onadmetquedeuxpointsduplandemêmeabscissesontindiscernables
sur un dessin dès que la différence deleurs ordonnées a une valeur ab-
solueinférieureà0,05.
Déterminer un demi-plan dans lequel les courbesC etC sont indis-f g
cernables.
c. Tracer,avecsoin,lacourbeC surlegraphiqueci-après.f
2. Montrerque,pourtout x deI:
xe
h(x)= −1;
xe −1
endéduireunefonctionprimitivedeh surI.
3. Calculer l’aireSdela partieduplandélimitée parlacourbeC ,lacourbeCf g
etlesdroitesd’équationsrespectives x=ln2et x=ln3.
2(Exprimerlerésultatencm .)
Cgy
5
xO
−1 0 1 2
Antilles-Guyane 3 juin2000