Baccalauréat STI Antilles–Guyane septembre Génie des matériaux mécanique B C D E

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Antilles–Guyane septembre 2009 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E EXERCICE 1 5 points 1. a. z2?6z +25 = 0 ?? (z ?3)2?9+25 = 0 ?? (z ?3)2 +16 = 0 ?? (z ? 3)2? (4i)2 = 0 ?? (z ?3+4i)(z ?3?4i)= 0. L'équation a coefficients entiers a deux solutions complexes conjuguées : 3+4i= zB et 3?4i. b. 1 2 3 4?1?2?3?4?5 1 2 3 4 ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?? u ?? v b b b b b A B O I J K (C ?) (C ) 2. a. On a de façon évidente |zA| = 5 et |zB| = p 32+42 = p 25= 5. Donc OA = OB = 5, ce qui montre que les points A et B appartienent au cercle centré en O et de rayon 5. b. Voir la figure 3. a. zJ = 2 ( cos 5pi6 + i sin 5pi 6 ) = 2 ( ? p 3 2 + i 1 2 ) =? p 3+ i.

• tableau de la loi de probabilité


• tote horizontale au voisinage


• réciproque du théo- rème de pythagore


• asymptote oblique


• e2x


• ??

Sujets

• Asymptote

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2009
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSTIAntilles–Guyaneseptembre2009\
Géniedesmatériaux,mécaniqueB,C,D,E
EXERCICE 1 5points
2 2 21. a. z −6z+25=0 ⇐⇒ (z−3) −9+25=0 ⇐⇒ (z−3) +16=0 ⇐⇒ (z−
2 23) −(4i) =0 ⇐⇒ (z−3+4i)(z−3−4i)=0.
L’équationacoefficientsentiersadeuxsolutionscomplexesconjuguées:
3+4i=z et3−4i.B
b.
B
4
(C)
3
2 I
J
1
→−
v
→−O−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4u
−1
K′(C )
−2
−3
−4
−5 A
p p
2 22. a. Onadefaçonévidente|z |=5et|z |= 3 +4 = 25=5.A B
Donc OA = OB = 5, ce qui montre que les points A et B appartienent au
cerclecentréenOetderayon5.
b. Voirlafigure
³ p ´¡ ¢ p35π 5π 13. a. z =2 cos +isin =2 − +i =− 3+i.J 6 6 2 2
p
b. |z|= 1+3=2;I¯ ¯
¯ ¯z =2;J ¯ ¯
¯ ¯|z |= z =2.K J
Les troisnombres ont lemême module, donc I,J et K appartiennent au
cerclecentréenOderayon2.
¯ ¯¡ ¢ 2¯ ¯′ 2 →−4. a. Voir la figure; C est le cercle de centre O de rayon 2 IJ = ¯z ¯ =|−
IJp p p p
2 2 23+i−(1+i 3)| =(−1− 3) +(1− 3) =8.
¯ ¯2 p p p p¯ ¯2 2 2 2→−IK =¯z ¯ =| 3−i−(1+i 3)| =( 3−1) +(−1− 3) =8.
IJ
¯ ¯2 p p p¯ ¯2 2 2 2−→JK =¯z ¯ =| 3−i−(− 3+i)| =(2 3) +(−2) =12+4=16.
JK
DoncIJ=IK:letriangleestisocèleenI;
bbbbbA.P.M.E.P. BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique
2 2 2IJ +IK = JK ⇐⇒ IJK est rectangle en I d’après la réciproque du théo-
rèmedePythagore.
LetriangleIJKestrectangleisocèleenI.
b. Les points de (E) (couronne circulaire sont les points situés entre les
′cercles(C)et(C ).
EXERCICE 2 4points
Nombredejours Nombredejours TOTAL
oùilyaundégât oùiln’yapasde
deseaux dégâtdeseaux
Nombredejours 4 10 14
oùl’alarmese
1.
déclenche
Nombredejours 1 485 486
oùl’alarmenese
déclenchepas
TOTAL 5 495 500
14 7
2. a. D’aprèsletableau p(A)= = .
500 250
b. SoitLesystèmed’alarmeestmisendéfaut10+1=11fois.
11
p(B)= .
500
4
p(A∩E) 4 2500c. Ilfautcalculerp (E)= = = = .A 14p(A) 14 7
500
3. a. Tableaudelaloideprobabilité:
x 0 150 1000 3000i
97 1 1 1
p(X=x )i
100 50 125 500
b. Le coût moyen journalier de cette assurance est égal à l’espérance ma-
thématiquedelavariableX.
97 1 1 1
E(X)=0× +150× +1000× +3000× =3+8+6=17(euros).
100 50 125 500
PROBLÈME 11points
PARTIEA:étudegraphiqued’unefonction
2x −x −xe 2−4e 2−4e( ) 2x1. a. Ona f(x)= ¡ ¢= ,care 6?0.
−x 2x2x −x 2x 1−4e +5ee 1−4e +5e
−x −2xOna lim e = lim e =0,donc lim f(x)=2.
x→+∞ x→+∞ x→+∞
Géométriquement,cecisignifiequeladroited’équationy=2estasymp-
totehorizontaleauvoisinagedeplusl’infini.
Voirlafigure
2ln2 ln2 ln4 ln22e −4e 2e −4e 2×4−4×2 0
b. • f(ln2)= = = = =0
2ln2 ln2 ln4 ln2e −4e +5 e −4e +5 4−8+5 1
2x x x• Autre méthode f(x)=0 ⇐⇒ 2e −4e =0 ⇐⇒ e =2 ⇐⇒ x=ln2
d’aprèslacroissancedelafonctionlogarithmenépérien.
2. a. f(x)60si x6ln2;(C)estsousl’axedesabscisses;
f(x)>0si x>ln2
Antilles–Guyane 2 septembre2009A.P.M.E.P. BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique
b. Lenombredérivéen0estégalàlapentedelatangente(BM);cettepente
′estégaleà−1,donc f (0)=−1.
PARTIEB:étuded’uneprimitivede f surR
x 2x
1. lim e = lim e =0,donc lim F(x)=ln5.
x→−∞ x→−∞ x→+∞
Géométriquementcecisignifiequeladroited’équation y=ln5estasymptote
horizontaleà(Γ)auvoisinagedemoinsl’infini.
¡ ¢
2x 2x x 2x −x −2x2. a. En factorisant e , on peut écrire e −4e +5= e 1−e +5e ;
donc
£ ¡ ¢¤ ¡ ¢ £ ¤ £ ¤
2x −x −2x 2x −x −2x −x −2xF(x)=ln e 1−e +5e =ln e +ln 1−e +5e =2x+ln 1−e +5e .
b. Enutilisantl’écriturequel’onvientd’obtenir:
£ ¤
−x −2x −x −2xlim e = lim e =0,donc lim ln 1−e +5e =ln1=0.
x→+∞ x→+∞ x→−∞
Comme lim 2x=+∞,onafinalement lim F(x)=+∞.
x→+∞ x→+∞
£ ¤
−x −2xCommeF(x)−2x=ln 1−e +5e quiapourlimite0en+∞,ona
lim F(x)−2x=0.
x→+∞
c. Géométriquementlerésultatprécédentsignifiequeladroited’équation
y=2x estasymptoteobliqueà(Γ)auvoisinagedeplusl’infini.
2x x2e −4e′3. a. Quelquesoit x∈R, F (x)= = f(x).
2x xe −4e +5
Lafonction f estladérivéedelafonctionF.
2ln2 2ln2 ln2 ln4b. Commee =2ete =e =e =4,ona
¡ ¢
2×2 2F(ln2)=ln e −4e +5 =ln(4−8+5)=ln1=0.
′c. OnavudanslapartieAque f(x)=F (x)<0si x<ln2:lafonctionF est
doncdécroissantesur]−∞; ln2].
′Demême f(x)=F (x)>0si x>ln2:lafonction F estdoncdcroissante
sur[ln2;+∞[.D’oùletableaudevariations:
x −∞ ln2 +∞
+∞ln5
F(x)
ln2
4. Lacalculatricedonne:
x −2 −1 0 0,5 1 2
F(x) 1,50 1,30 0,69 0,12 0,42 3,40
5. Voirplusbas
PARTIEC:calculd’uneaire
Z2 ¡ ¢ ¡ ¢
2 2×2 2 4 21. f(x)dx=[F(x)] =F(2)−F(ln2)=ln e −4e +5 −0=ln e −4e +5 .ln2
ln2
2. Onavuquepour x>ln2, F(x)>0;doncl’intégrale précédenteestégale(en
unitéd’aire)àl’airedelasurfacelimitéeparlacourbeC,l’axedesabscisseset
2les droitesd’équation x=ln2et x=2.L’unité d’airevaut2×2=4cm ;donc
l’airedudomaineestégaleà:
¡ ¢
4 2 24×ln e −4e +5 ≈13,61cm
Antilles–Guyane 3 septembre2009A.P.M.E.P. BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique
ANNEXEàrendreaveclacopie
Γ
C
y=ln5
J
M
O A I
B
Antilles–Guyane 4 septembre2009
y=2x