Baccalauréat STI Antilles–Guyane septembre Génie électronique électrotechnique et optique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Antilles–Guyane septembre 2009 \ Génie électronique, électrotechnique et optique EXERCICE 1 4 points Dans cet exercice, les quatre questions sont indépendantes. Dans l'ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument π 2 . Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . 1. On considère le nombre complexe z =?1+ i p 3. Écrire z sous la forme rei? où r est un nombre réel strictement positif et ? un nombre réel compris entre ?π et π. 2. Soit A le point du plan d'affixe A = 2ei 5π 6 et A? l'image de A par la rotation de centre O et d'angle ? π 2 . Déterminer l'affixe de A? sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. 3. On considère les points B, C et D du plan d'affixes respectives : zB = 1+2i, zC = 4? i, zD =?1?3i. Calculer les distances DB et DC. Donner une interprétation géométrique du résultat. 4. Déterminer le réel c pour que le nombre complexe ?4+ 2i soit solution de l'équation : z2+8z+c = 0. Résoudre ensuite cette équation dans l'ensemble C. EXERCICE 2 4 points Unepersonnepossèdeun téléphoneportable dont le code comporte quatre chiffres.

• probabilités respectives


• hachurer sur le graphique


• axes du repère


• code en choi- sissant au hasard


• loi de la probabilité de la variable aléatoire


• code


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2009
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat STI Antilles–Guyane septembre 2009\ Génie électronique, électrotechnique et optique

E X E R C IC E points1 4 Dans cet exercice, les quatre questions sontindépendantes. Dans l’ensembleCdes nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et π d’argument . 2 ¡ ¢ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. 1.On considère le nombre complexez= −1+i 3. iθ Écrirezsous la formere oùrest un nombre réel strictement positif etθun nombre réel compris entre−πetπ. 5π i ′ 6 2.Soit A le point du plan d’affixe A =2e etA l’imagede A par la rotation de π ′ centre O et d’angle−. Déterminer l’affixe de Asous forme exponentielle 2 puis sous forme algébrique. 3.On considère les points B, C et D du plan d’affixes respectives :

z B =1+2i,z C =4−i,z D = −1−3i.

Calculer les distances DB et DC. Donner une interprétation géométrique du résultat. 4.Déterminer le réel c pour que le nombre complexe−4+2i soit solution de l’équation : 2 z+8z+c=0.

Résoudre ensuite cette équation dans l’ensembleC.

E X E R C IC E points2 4 Une personne possède un téléphone portable dont le code comporte quatre chiffres. Elle ne se souvient plus de ce code et dispose seulement des informations suivantes : – lesquatre chiffres sont pris parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6 et sont tous différents ; – ledeuxième chiffre est un 2 et le quatrième est un 5. La situation peut être schématisée de la façon suivante :

? 2? 5

En tenant compte de toutes ces informations, cette personne saisit un code en choi sissant au hasard les deux chiffres manquants. 1.Écrire la liste des douze codes de quatre chiffres qui sont alors possibles. 2.ode est :Sachant que ces douze codes sont équiprobables et que le bon c

3 2 6 5 déterminer les probabilités respectivesp 1 ,p 2 etp 3 des évènements suivants : a.« Le code saisi est correct ». b.« Le code saisi ne comporte aucun chiffre exact bien placé à part les deux déjà connus ». c.« Le code saisi comporte au moins un chiffre exact bien placé en plus des deux chiffres déjà connus ».

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A. P. M. E. P.

3.On définit la variable aléatoireXqui, à chaque code saisi, associe le nombre total de chiffres exacts bien placés (y compris ceux déjà connus au départ). a.Déterminer la probabilité de l’évènement « X = 3 ». b.Donner les trois valeurs prises par la variable aléatoireX. c.Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoireX.

P R O B L È M E 12 points ¡ ¢ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,ı,d’unité graphique 2cm. Partie A : Étude d’une fonctionf ¸ · 1 Soitfla fonction définie pour tout réelxde l’intervalle−;+∞par : 2 f(x)=1+ln(2x+1)

où ln désigne la fonction logarithme népérien. ¡ ¢ −→−→ On désigne parCla courbe représentative de la fonctionfO,dans le repèreı,. La courbeCe vérifierest donnée en annexe pour aider le candidat et lui permettre d ses réponses. 1 1. a.Déterminer la limite de la fonctionfen−et en donner une interpré 2 tation graphique. b.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. ¸ · 1 ′ 2.On désigne parfla fonction dérivée de la fonctionfsur l’intervalle−;+∞∙ 2 ¸ · 1 ′ a.Calculerf(x) pour tout réelxde l’intervalle−;+∞. 2 b.Étudier le sens de variation de la fonctionfet dresser son tableau de variation. c.Démontrer que, pour tout réelxde l’intervalle [0 ;+∞[, on af(x) > 1. ¸ · 1 3. a.Résoudre dans l’intervalle−;+∞l’équation : 1+ln(2x+1)=0. 2 b.Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbeC avec chacun des axes du repère.

Partie B : Étude d’une fonctiong

Soitgla fonction définie pour tout réelxpar :

−x g(x)=(x+1)e . ¡ ¢ −→−→ On noteΓla courbe représentative degdans le repèreO,ı,. 1. a.Déterminer la limite degen−∞. b.Déterminer la limite degen+∞. Donner une interprétation graphique de cette limite. ′ 2.Soitgla fonction dérivée de la fonctiongsur l’ensembleRdes nombres réels. ′ −x a.Démontrer que, pour tout réelx,g(x)= −xe . ′ b.Étudier le signe deg(x) selon les valeurs du réelxet dresser le tableau de variation de la fonctiong. 3.Vérifier que, pour tout réelx, on ag(x) 6 1. 4.Tracer la courbeΓdans le même repère que la courbeCsur la feuille donnée en annexe.

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Partie C : Calcul d’aire

1.On considère la fonctionFdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : µ ¶ 1 F(x)=x+ln(2x+1). 2

A. P. M. E. P.

a.Démontrer que la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur cet intervalle. Z 2 b.Calculer l’intégraleI 1 =f(x) dx. 0 2.On considère la fonctionGdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : −x G(x)=(−x−2)e . On admet que la fonctionGest une primitive degsur [0 ;+∞[. Z 2 Calculer l’intégraleI 2 =g(x) dx. 0 3. a.Démontrer, en utilisant des résultats établis dans les parties A et B, que la courbeCest au dessus de la courbeΓsur l’intervalle [0 ;+∞[. b.Hachurer sur le graphique la partiePdu plan délimitée par la courbeΓ, la courbeCet les droites d’équationsx=0 etx=2. c.Déduire de ce qui précède la valeur exacte de l’aire de la partiePexpri mée en unités d’aire.

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Annexe : À rendre avec la copie

y

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O

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4

C

1

2

A. P. M. E. P.

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