Baccalauréat STI Génie électronique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique France 23 juin 2008 Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu'il aura développée. Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées en même temps que le sujet. EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) d'unité gra- phique 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z2+6z p 3+36= 0. 2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : zA =?3 p 3+3i zB =?3 p 3?3i et zC =?6 p 3. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes zA et zB. b. Écrire le nombre complexe zA sous la forme rei? où r est un nombre réel strictement positif et ? un nombre réel compris entre ?π et π. c. Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère ( O, ?? u , ?? v ) . 3.

• équation de la tangente ∆ au point d'abscisse


• repère


• solution de l'équation différentielle


• point du plan complexe d'ordonnée négative

Sujets

• France 3
• France 2
• Repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2008
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Génie électronique\ génie électrotechnique, optique France 23 juin 2008

Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu’il aura développée. Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées en même temps que le sujet.

E X E R C IC E points1 5 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,vd’unité gra phique 1 cm. π On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 1.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation : p 2 z+6z3+36=0.

2.On considère les points A, B et C d’affixes respectives : z A = −3 3+3iz B = −3 3−3i etz C = −6 3. a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexes z A et z B . iθ b.Écrire le nombre complexez A sous la formere oùrest un nombre réel strictement positif etθun nombre réel compris entre−πetπ. ³ ´ −→−→ c.O,Placer les points A, B, C dans le plan muni du repèreu,v. 3. a.Déterminer la nature du triangle ABC. b.En déduire que le quadrilatère OACB est un losange. 4.On appelle K le point du plan complexe d’ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O. On notez K l’affixe du point K. a.Construire le point K sur la figure. b.Par quelle rotation de centre O, le point K estil l’image du point A ? iθ c.Écrire alorsz K , sous la formere (oùrest un nombre réel strictement positif etθun réel compris entre−πetπ) puis sous forme algébrique.

E X E R C IC E 2 4points On considère l’équation différentielle : ′′ (E) :y+25y=0 oùydésigne une fonction de la variable réellexdéfinie et deux fois dérivable sur ′′ l’ensembleRdes nombres réels, etysa fonction dérivée seconde. 1.Résoudre l’équation (E). ′ 2.Soitfla fonction définie et dérivable surR, dont on notefla fonction dérivée, vérifiant les trois conditions suivantes : •fest solution de l’équation différentielle (E) ; •la courbe représentative defdans un repère du plan passe par le point de ³ ´ π coordonnées ;−2 ; 6

A. P. M. E. P.

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′ •f(0)= −5. p Montrer que, pour tout réelx,f(x)=3 cos 5x−sin 5x. ³ ´ π 3.Vérifier que, pour tout réelx,f(x)=52 cosx+. 6 h i π 4.Calculer la valeur moyenne def.0 ;sur l’intervalle sur 6

P R O B L È M E 11 points ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthogonalO,ı,d’unités graphiques 4 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée. On s’intéresse dans ce problème à la fonctionfdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par 3 f(x)=. 3x e+1 ³ ´ −→−→ On noteCla courbe représentative de la fonctionfO,dans le repèreı,. Partie A : étude de la fonctionf 1. a.Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers+∞. b.En déduire que la courbeCadmet une asymptote que l’on précisera. c.Déterminer le signe def(x) pour tout nombre réelx; qu’en déduiton sur la position de la courbeCpar rapport à cette asymptote ? 2.On considère la droiteDd’équationy=3. a.Déterminer la limite def(x) quandxtend vers−∞. b.En déduire que la courbeCadmet la droiteDcomme asymptote. 3x 3e c.Montrer que, pour tout nombre réelx,f(x)=3−. 3x e+1 d.En déduire la position relative de la courbeCet de la droiteD. ′ 3.On notefla fonction dérivée de la fonctionf. 3x −9e ′ a.Montrer que, pour tout nombre réelx,f(x)=. ¡ ¢ 2 3x e+1 b.En déduire le sens de variation de la fonctionfsurR, puis dresser son tableau de variations. 4.Déterminer une équation de la tangenteΔau point d’abscisse 0. ³ ´ −→−→ 5.Dans le plan muni du repèreO,ı,tracer les droitesDetΔainsi que la courbeC.

Partie B : Calcul de l’aire d’une partie du plan 1. a.On considère la fonctiongdéfinie surRpar 3x 3e g(x)=. 3x e+1 Déterminer une primitiveGde la fonctiongsurR. (On pourra remar ′ u quer que la fonctiongest de la formeoùuest une fonction que l’on u précisera). b.En utilisant la question 2. c. de la partie A, déterminer une primitiveFde la fonctionfsurR.

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A. P. M. E. P.

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2.Soitaun réel strictement positif. On noteA(adu) la mesure, exprimée en unités d’aire, de l’aire de la partie plan comprise entre la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 etx=a. a.ExprimerA(a) à l’aide d’une intégrale. ¡ ¢ 3a b.Établir queA(a)=3a−ln e+1+ln 2. ¡ ¢ 3a c.En remarquant que 3a=, écrireln eA(a) sous la forme du loga rithme népérien d’un quotient ; déterminer alors la limite deA(a) lorsque atend vers+∞. Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même in complète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l’évaluation.

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