Baccalauréat STI Métropole La Réunion septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Métropole & La Réunion \ septembre 2009 Génie électronique, électrotechnique et optique EXERCICE 1 6 points Partie A 1. z2?8z p 3+64 = 0 ?? ( z ?4 p 3 )2?48+64 = 0 ?? ( z ?4 p 3 )2+16 = 0 ?? ( z ?4 p 3 )2? (4i)2 = 0. Les racines sont donc : 4 p 3+4i et 4 p 3?4i. 2. Comme ? ?z30 ? ?= |z0|3 = 23 = 8. De même arg ( z30 ) = 3arg(z0)= 3? pi6 = pi 2 . Finalement z30 = 8 ( cos pi2 + isin pi 2 ) = 8(0+ i)= 8i. Partie B 1. On a |zB|2 = ( 4 p 3 )2+ (4)2 = 48+16 = 64= 82, donc |zB| = 8. On peut donc écrire zB = 8 (p 3 2 + i 1 2 ) = 8 ( cos pi6 + i sin pi 6 ) = 8e pi 6 . Un des arguments de zB est pi 6 .

• droite ∆ d'équation


• point de cercle


• cos pi6


• e4?x ?


• diamètgre du cercle de centre


• ?9


• écriture complexe de la rotation

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2009
• Nombre de lectures: 15
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSTIMétropole&LaRéunion\
septembre2009
Génieélectronique,électrotechniqueetoptique
EXERCICE 1 6points
PartieA
p ¡ p ¢ ¡ p ¢2 221. z −8z 3+64=0 ⇐⇒ z−4 3 −48+64=0 ⇐⇒ z−4 3 +16=0 ⇐⇒
¡ p ¢2 2z−4 3 −(4i) =0.
p p
Lesracinessontdonc:4 3+4iet4 3−4i.
¯ ¯
3 3 3¯ ¯ | |2. Comme z = z =2 =8.00 ¡ ¢ π π3Demêmearg z =3arg(z )=3× = .00 6 2¡ ¢
3 π πFinalement z =8 cos +isin =8(0+i)=8i.0 2 2
PartieB
¡ p ¢22 2 21. Ona|z | = 4 3 +(4) =48+16=64=8 ,donc|z |=8.B BÃ !p
¡ ¢3 1 ππ π
6Onpeutdoncécrirez =8 +i =8 cos +isin =8e .B 6 62 2
π
Undesargumentsdez est .B
6
π− 6Commez =z ,z =8e .C B C
π
Undesargumentsdez est− .C
6
πi
22. Onendéduitl’écritureexponentielle:z =8e .B
π π π′ i3 2 33. a. L’écriture complexe de la rotation est : z =ze , donc z = 8e ×e =D
5π
68e .
p ³ p ´ p5π 3 5π 1 3 1b. Onacos =− etsin = ,doncz =8 − +i =−4 3+4i.D6 2 6 2 2 2
A
D B
4
O
−8 −4 4
−4
C
4. a. −8
OnplaceBsurlecercledecentreOetderayon8etladroited’équation
y=4.
bbbbBaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique
b. PardéfinitiondelarotationOA=OD,doncOADestisocèleenO.
³ ´ π−−→ −−→
De plus OA, OD = . Il en résulte que les angles à la base ont égale-
3
π
mentunemesureégaleà .Ilestdoncéquilatéral.
3
c. Onaz +z =0.DoncOestlemilieude[CD].C D
d. D’aprèslaquestionprécédente[CD]estundiamètgreducercledecentre
Oetderayon8;Aétant unpoint decercleletriangleACDest rectangle
enA.
EXERCICE 2 4points
2
3
1
4
5
1
3
2
4
5
1
2
1. a. 3
4
5
1
2
4
3
5
1
2
5
3
4
b. Ilya8tiragesdonnantunnombrepairet8tiragesdonnantunmultiple
de3,doncP M =P M .( ) ( )2 3
c. Les tirages multiples de 3 sont : 12; 15; 21; 24; 42; 45; 51; 54. il faut
supprimerlespairs:12;24;42;54etdansceuxquirestentlesmultiples
de5,soit15et45.Ilrestedonc21et51.
2 1
Onadoncp(A)= = =0,1.
20 10
2. a. 13;23;31;41;43;53quisontpremiersdonnantungainde0−3=−3.
14;32;34;52sontseulementpairs;ilsdonnentungainde2−3=−1.
12;24;42;54sontpairsetmultiplesde3;ilsdonnentungainde2+3−
3=2.
21;51sontmultiples de3,maispasde2nide5;ilsdonnentungainde
3−3=0.
Métropole&LaRéunion 2 septembre2009BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique
25;35sontmultiples de5,maispasde2nide3;ilsdonnentungainde
5−3=2.
15et45sontmultiplesde3etde5;ilsdonnentungainde3+5−3=5.
b. Deuxtirages(21et51)donnentungainde0(;laprobabilitéP(X=0)=
2 1
= .
20 10
c. Onaletableausuivant:
x −3 −1 0 2 5i
6 4 2 6 2
p(X=x )i
20 20 20 20 20
6 4 2 6 2 −18−4+12+10
3. a. E(X)=−3× −1× +0× +2× +5× = =
20 20 20 20 20 20
0
− =0(.
20
b. L’espérancedegainétantnulle,lejeuestpaséquitable.
PROBLÈME 10points
PartieA:Déterminationd’unefonctiong
1′ ′1. 2y +y=0 ⇐⇒ y =− y.
2
Onsaitquelessolutionsdecetteéquationsontlesfonctionsdelaforme
x−
2f(x)=Ke .
2− −1 222. Lasolutionvérifiant f(2)=e=Ke ⇐⇒ e=Ke ⇐⇒ K=e .
x x2 − 2−
2 2Lafonctions’écritdonc f(x)=e e =e .
h i h i¡ ¢ ¡ ¢21 12 2− x 2 2− x2 23. g(x)=(2x+1)[f(x)] −9=(2x+1) e −9=(2x+1) e −9=
4−x(2x+1)e −9.
PartieB:Étudedelafonctiong
4−x1. Ona lim e =+∞,et lim (2x+1)=−∞doncparproduit
x→−∞ x→−∞
lim g(x)=−∞.
x→+∞
4−x 4−x 4−x −x 4 4 −x2. a. Onag(x)=(2x+1)e −9=2xe +e −9=2xe ×e +e ×e −9=
4 −x 4 −x2e xe +e e −9.
−x −xb. Comme lim e =0et lim xe =0, lim g(x)=−9
x→+∞ x→+∞ x→+∞
c. La question précédente montre que la droiteΔ d’équation y =−9 est
asymptoteC auvoisinagedeplusl’infini.
3. a. g estunesommedefonctionsdérivablessurRet
′ 4−x 4−x 4−xg (x)=2e −(2x+1)e =(1−2x)e .
4−x ′b. Commee >0quelquesoitleréelx,lesignedeg (x)estceluide1−2x
1
quis’annulepourx= .
2 ¸ ·
1 1′Doncg (x)>0 ⇐⇒ x< ,doncg estcroissantesur −∞; .
2 2¸ ·
1 1′g (x)<0 ⇐⇒ x> ,doncg estdécroissantesur ;+∞ .
2 2
µ ¶
¡ ¢ 1 1 71 4−2 2Oncalculeg = 2× +1 e −9=2e −9.
2 2
Métropole&LaRéunion 3 septembre2009BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique
1
x −∞ 2 +∞
′g (x) + 0 −
7
22e −9
g
−∞ −9
4+1 54. a. g(−1)=(2×(−1)+1)e −9=−e −9.
4−0 4g(0)=e −9=e −9.
b. Lafonctiong estdérivableetcroissantesurl’intervalle]−1; 0[;deplus
g(−1)≈−157<0etg(0)≈46>0.
L’équation g(x)=0 admetdonc une solution uniqueα dansl’intervalle
[−1; 0].
c. Lacalculatricedonneg(−0,45)≈−0,437etg(−0,44)≈1,173,donc
α≈−0,45aucentièmeprès.
′5. Onag(4)=0etg (4)=−7.
Une équation dela droiteD tangente à la courbeC aupoint d’abscisse 4est
donc:
M(x ; y)∈D ⇐⇒ y=−7x+28.
6. a. Cf.plusbas
b. Voirplusbas
PartieC:Calculd’aire
1. LafonctionG estunesommedefonctionsdérivablessurR;elleestdérivable
et
′ 4−x 4−x 4−xG (x)=−2e −(−2x−3)e −9=(2x+1)e −9=g(x).
DoncG estuneprimitivedeg.
2. a. Voirfigure
b. Surl’intervalle [0;4]lafonction g estpositive; l’aire(enunitésd’airede
lasurfaceH estdoncégaleàl’intégrale
Z4
4g(x)dx=[G(x)] =G(4)−G(0)0
0
4−4 4−0OrG(4)−G(0)=(−2×4−3)e −9×4−(−2×0−3)e −9×0=−11−
4 436+3e =3e −47.
2c. L’unitéd’aireestégaleà2×0,1=0,2cm .
¡ ¢
4 2L’aireestdoncégale0,2× 3e −47 ≈25,36cm (aucentièmeprès).
Métropole&LaRéunion 4 septembre2009BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique
Annexeduproblèmeàrendreaveclacopie
Tableaudesvaleursdelafonctiong (valeursarrondiesàl’unité)
x −0,75 −0,5 −0,25 0 0,5 1 2 3 4 5 6
g(x) −67 −9 26 46 51 28 10 8 0 −5 −7
Repèreorthogonald’unitésgraphiques:2cmpour1unitéenabscisseet1cm
pour10unitésenordonnée
y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 x
−1 1 2 3 4 5 6 7
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−90
−100
−110
Métropole&LaRéunion 5 septembre2009