Baccalauréat STI Métropole septembre Génie des matériaux mécanique B C D E

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2006 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E EXERCICE 1 5 points 1. ∆ = ( 2 p 3 )2 ? 4? 4 = 12? 16 = ?4 = (2i)2. L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : z1 = ?2 p 3+2i 2 =? p 3+ i et z2 =? p 3? i. 2. a. |z1| = p 3+1= p 4= 2. On peut alors écrire z1 = 2 ( ? p 3 2 + i 1 2 ) = 2 ( cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) . Un argument de z1 est donc 5π 6 . Il suit pour z2 conjugué de z1, |z2| = 2 et arg(z2)=? 5π 6 . b. Lemodule du carré est égal au carré dumodule, donc ? ?z21 ? ?= 4 et arg ( z21 ) = 2arg(z1)= 2? 5π 6 = 5π 3 ou ? π 3 . Demême on obtient ? ?z22 ? ?= 4 et arg ( z22 ) =? 5π 3 ou π 3 .

• lemodule du carré


• ?x ??


• ?z21 ?


• axe des ordonnées


• carré dumodule


• ?? ex


• défaut de diamètre

Sujets

• Coordonnées cartésiennes

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2006
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSTIMétropoleseptembre2006\
Géniedesmatériaux,mécaniqueB,C,D,E
EXERCICE1 5points
¡ p ¢2 21. Δ= 2 3 −4×4= 12−16=−4= (2i) . L’équation a donc deux solutions
complexesconjuguées:
p
p p−2 3+2i
z = =− 3+i et z =− 3−i.1 2
2
à !p
p p 3 1
2. a. |z |= 3+1= 4=2.Onpeutalorsécrirez =2 − +i =1 1
2 2
µ ¶
5π 5π 5π
2 cos +isin .Unargumentde z estdonc .1
6 6 6
5π
Ilsuitpour z conjuguéde z ,|z |=2etarg z =− .( )2 1 2 2
6
¯ ¯ ¡ ¢
2 2¯ ¯b. Lemoduleducarréestégalaucarrédumodule,donc z =4etarg z =1 1
5π 5π π
2arg(z )=2× = ou− .1
6 3 3
¯ ¯ ¡ ¢ 5π π2 2¯ ¯Demêmeonobtient z =4etarg z =− ou .2 2 3 3
à ! à !p p
p p3 1 3 1
c. Onavuque z =2 − +i =− 3+iet z =2 − −i =− 3−i.1 2
2 2 2 2
3. a. Voiràlafindel’exercice.
b. AetBontlamêmeabscisse:ladroite(AB)estdoncparallèleàl’axedes
ordonnées;
CetDontlamêmeabscisse:ladroite(CD)estdoncparallèleàl’axedes
ordonnées;
Donc (AB) et (CD) sont parallèles; le quadrilatère (ABCD) est donc un
trapèze.
D
3
2
A
1
→−
v
→−
−2 −1 u 1 2
−1
B
−2
C
EXERCICE2 5points
bbbbBaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique A.P.M.E.P.
Avecledéfaut Sansledéfaut Total
dediamètre dediamètre
Avec le défaut 5% 3% 8%
1. d’épaisseur
Sans le défaut 1% 91% 92%
d’épaisseur
Total 6% 94% 100%
2. Dans le tableau première ligne, deuxième colonne de nombres, on constate
qu’ilya8-5=3piècessur100quiprésententundéfautd’épaisseuretpasde
3
défautdediamètre.Donc p = =0,03.1
100
3. Sur6piècesprésentantundéfautdediamètre,5présententledéfautd’épais-
5
seur.Laprobabilité p = .2
6
4. a. Ilpeutyavoir0,1ou2défauts.
b.
x 0 1 2i
p(X=x ) 0,91 0,04 0,05i
c. E(X)=0×0,91+1×0,04+2×0,05=0,14.
PROBLÈME 10points
PartieI:étudedelafonction f
x −x −x xe +e e +e
1. Quelquesoitleréelx, f(x)= ,donc f(−x)= = f(x):lafonc-
2 2
tionestpaire.
DoncC apouraxedesymétriel’axedesordonnées.
x x2. Onsaitque lim e =+∞etque lim e =0.
x→+∞ x→−∞
Donc lim f(x)=+∞et lim f(x)=+∞.
x→+∞ x→−∞
x −xe −e′3. f estunesommedefonctionsdérivablessurR.Surcetintervalle f (x)= .
2
x −x x −x4. e −e >0 ⇐⇒ e >e ⇒ parcroissancedelafonctionln x>−x ⇐⇒
′2x>0⇐⇒ x>0.Doncsi x>0,f (x)>0.
′Ontrouvedemêmequesi x<0,f (x)<0.
5. Onendéduitquepour x>0, f estcroissante,d’oùletableaudevariations:
x −∞ 0 +∞
+∞ +∞
f(x)
1
6. Voirlafigureàlafindel’exercice.
PartieII:étudedelalongueurd’unarcdelacourbe
1+1
1. Ona f(0)= =1.E(0;1).
2
Métropole 2 septembre2006BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique A.P.M.E.P.
³ ´ ³ ´
−1 −1e+e e+e2. A 1 ; etB −1 ; .2 2
h i h i2 2−1 −12 2 e+e e+eDoncAE =1 + 1− =1+ 1− .2 2
r h i2−1e+eAE= 1+ 1− .2
Parsymétrie:AE=BE.
à !r h i2−1e+eDoncAE+BE=2 1+ 1− etcommel’unité delongueur est égale
2
à5cm:
AE+EB≈11,379≈11,38cm
· ¸ µ ¶2 2x −1 x −x x −x x −xe +e e e 1 e e 2 e +e′ 23. a. 1+[f (x)] =1+ =1+ + − = + + = .
2 4 4 2 4 4 4 2
s
Z Z µ ¶ Z · ¸q 21 1 x −x 1 x −x x −xe +e e +e e −e
′ 2b. 1+[f (x)] dx= dx= dx= 1=
2 2 2−1 −1 −1 −1µ ¶1 −1 −1 1e −e e −e −1− =e−e .
2 2
¡ ¢
−1c. Doncℓ=5 e−e .
Onaℓ≈11,75.
L’erreur commise en prenant comme longueur AE + EB est donc à peu
près:11,75−11,38=0,37(cm).
B A
E
1
→−
−1 0 ı 1
Métropole 3 septembre2006
bb