Baccalauréat STI Métropole septembre Génie électronique électrotechnique optique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2001 \ Génie électronique, électrotechnique, optique Durée : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 5 points On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et l'on note, dans l'ordre les résul- tats obtenus ; par exemple PFF correspond à « Pile - Face - Face ». Les résultats sont équiprobables. 1. a. À l'aide d'un arbre, écrire tous les résultats possibles et indiquer pour chacun de ces résultats le nombre de fois où on a obtenu « Face ». b. Soit X la variable aléatoire égale aunombrede fois oùona obtenu «Face» sur les trois lancers. Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabi- lité de X . 2. Unepersonnemise 10 euros pour participer à un jeu qui consiste à lancer trois fois de suite la pièce de monnaie. • S'il a obtenu moins de deux fois « Face », le joueur ne reçoit rien. • S'il a obtenu exactement 2 fois « Face », le joueur reçoit 10 euros. • S'il a obtenu exactement trois fois « Face », le joueur reçoit 30 euros. Ondésignepar Y la variable aléatoire égale au gain algébriquedu joueur (c'est- à-dire la différence entre la somme reçue et sa mise). a. Déterminer les valeurs que peut prendre Y .

• égale aunombrede


• calcul de l'intégrale ∫


• cm sur l'axe des ordonnées


• égale au gain algébriquedu joueur

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2001
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Extrait

[Baccalauréat STI Métropole septembre 2001\ Génie électronique, électrotechnique, optique

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

E X E R C IC E 1 5points On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et l’on note, dans l’ordre les résul tats obtenus ; par exemple PFF correspond à « Pile  Face  Face ». Les résultats sont équiprobables. 1. a.ndiquer pourÀ l’aide d’un arbre, écrire tous les résultats possibles et i chacun de ces résultats le nombre de fois où on a obtenu « Face ». b.SoitXla variable aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu « Face » sur les trois lancers. Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabi lité deX. 2.Une personne mise 10 euros pour participer à un jeu qui consiste à lancer trois fois de suite la pièce de monnaie. •en.S’il a obtenu moins de deux fois « Face », le joueur ne reçoit ri •S’il a obtenu exactement 2 fois « Face », le joueur reçoit 10 euros. •S’il a obtenu exactement trois fois « Face », le joueur reçoit 30 euros. On désigne parYla variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur (c’est àdire la différence entre la somme reçue et sa mise). a.Déterminer les valeurs que peut prendreY. b.Donner la loi de probabilité deY. c.Calculer l’espérance mathématique deY. 3.àdire que E(On veut modifier la mise pour que le jeu soit équitable, c’estY) soit égal à 0. Déterminer cette nouvelle mise en justifiant votre réponse.

E X E R C IC E points2 5 Z π sin(2x) 2 Le but de l’exercice est le calcul de l’intégraledx. 0 1+2 sinx h i π Pour cela, on introduit les fonctionsfetg0 ;par :définies sur l’intervale 2 sin(2x) cosx f(x)=etg(x)= 1+2 sinx1+2 sinx Z Z π π 2 2 ainsi que les intégrales : I=f(x) dxet J=g(x) dx. 0 0 1. a.Montrer quef(x)+g(x)=cosx. b.En déduire que I + J = 1. h i π 2. a.Calculer la dérivée de la fonctionudéfinie sur l’intervallepar :0 ; 2

u(x)=1+2 sinx. h i π b.En déduire une primitive de la fonctiong0 ;sur l’intervalle. 2

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A. P. M. E. P.

c.Calculer J. 3.En utilisant les questions précédentes, déterminer la valeur exacte de I.

P R O B L È M E

y 18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 4 3 2 10 1 2 3 2

On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar :

10 points

x 4

x−x2 f(x)=e+e etg(x)=2+x. Sur le graphique joint , on a tracé les courbes représentativesC f etC g de ces fonc tions dans un repère orthogonal (unité graphique : 2 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées). Dans lapartie A, on étudie la fonctionf. L’objet de lapartie Best d’étudier la posi tion relative des courbesC f etC g , puis de calculer une aire.

Partie A : étude de la fonctionf

1.Montrer quefetgsont des fonctions paires et interpréter géométriquement cette propriété. 2.Calculer la limite defen+∞. En déduire la limite defen−∞. ′ 3.Calculer la fonction dérivéefdef. x−x Montrer que pour toutx∈[0 ;+∞[, e−e > 0. En déduire les variations defsur l’intervalle [0 ;+∞[. 4.Donner le tableau de variations def.

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5 5. a.Démontrer quef(ln 2)=. 2 µ ¶ 1 b.En déduirefln . 2 6.Résoudre dansRl’équationf(x)=3.

A. P. M. E. P.

Partie B : Calcul d’une aire Soithla fonction définie sur [0 ;∞[ par : x−x h(x)=e−e−2x. ′ 1. a.Calculer la fonction dérivéehdeh. x 2 (e−1) ′ b.Montrer queh(x)=. x e Établir le tableau de variations de la fonctionh(on ne demande pas la limite en+∞). c.En déduire queh(x) > 0, pour toutx∈[0 ;+∞[. 2.On considère la fonctionrdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par r(x)=f(x)−g(x). a.Montrer quehest la fonction dérivée der. En déduire les variations de r. b.Calculerr(0) et montrer quer(x) > 0, pour toutx∈[0 ;+∞[. c.Déterminer la position relative des courbesC f etC g pourx∈[0 ;+∞[. 3. a.Déterminer une primitive de la fonctionrsurR. Z 2 b.Calculer I=r(x) dx. 0 c.En déduire l’aireAdu domaine limité par les deux courbesC f etC g et les droites d’équationsx=2 etx= −2. (On donnera sa valeur exacte en −2 unités d’aire, puis son approximation décimale À 10près par défaut).

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