Baccalauréat STI Métropole septembre Génie mécanique B C D E des matériaux

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Métropole septembre 1999 Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux \ Durée : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 5 points Uncircuit comprend en série un généra- teur de force électromotrice E, une bo- bine d'inductance L et une résis- tance R. L'intensité du courant électrique i , ex- primée en ampères, est fonction du temps t , exprimé en secondes, et est so- lution de l'équation différentielle (1) : E L R Li ?(t)+Ri (t)= E. On donne L = 0,2 H ; R = 100 ? ; E = 10 V. 1. Écrire l'équation différentielle (1) en remplaçant L, R et E par leurs valeurs. 2. Résoudre l'équation différentielle (2) : 1 5 y ?+100y = 0. 3. Vérifier que la fonction i définie sur R par i (t)= ? 1 10 e?500t + 1 10 est solution de l'équation différentielle (1). 4. Étudier sur l'intervalle [0 ; +∞[ les variations de la fonction i définie à la ques- tion 3. Dresser le tableau de variations de i sur l'intervalle [0 ; +∞[ ; préciser la limite de i en +∞.

• axe des abscisses


• position relative de la courbe ? et de la droite ∆


• ?1 contenant le réel ?


• droite ∆ pour la courbe ?

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1999
• Nombre de lectures: 78
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat STI Métropole septembre 1999 Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux\

Durée : 4 heures

E X E R C IC E 1 Un circuit comprend en série un généra teur de force électromotrice E, une bo bine d’inductance L et une résis tance R. L’intensité du courant électriquei, ex E primée en ampères, est fonction du tempst, exprimé en secondes, et est so lution de l’équation différentielle (1) : ′ Li(t)+Ri(t)=E. On donne L = 0,2 H ; R=100Ω; E = 10 V.

L

Coefficient : 4

5 points

R

1.Écrire l’équation différentielle (1) en remplaçant L, R et E par leurs valeurs. 1 ′ 2.Résoudre l’équation différentielle (2) :y+100y=0. 5 1 1 −500t 3.Vérifier que la fonctionidéfinie surRpari(t)= −e+est solution 10 10 de l’équation différentielle (1). 4.Étudier sur l’intervalle [0;+∞[ les variations de la fonctionidéfinie à la ques tion 3. Dresser le tableau de variations dei;sur l’intervalle [0+∞[ ; préciser la limite deien+∞. 5.Déterminer par le calcul l’instantt 1 à partir duquel l’intensitéi(t) sera supé rieure à 0,095 A. −3 En donner la valeur exacte puis la valeur décimale approchée à 10près par excès.

E X E R C IC E points2 5 ¡ ¢ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,u,vd’unité graphique 2 cm. p 1.Soit A le point d’affixe :z A =1−i 3. Calculer le module et un argument dez A . En déduire la forme exponentielle ¡ ¢ −→−→ du nombre complexez A O,. Placer le point A avec précision dans le repèreu,v. π 2.Soit B l’image du point A par la rotation de centre 0 et d’angle−. On appelle 3 z B l’affixe du point B. Calculerz B sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. ¡ ¢ −→−→ Placer le point B avec précision dans le repèreO,u,v. 3.Quelle est la nature du triangle AOB ? π 4.Soit C l’image du point A par la rotation de centre O et d’angleetz C son 4 affixe. ¡ ¢ −→−→ a.Placer le point C avec précision dans le repèreO,u,v. b.Calculerz C sous forme exponentielle.

Baccalauréat STI Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux

A. P. M. E. P.

à ! p 2 2 c.Montrer quez C =z A +En déduire une forme algébrique dei ∙ 2 2 z C . π π d.et de sin.Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos 12 12

P R O B L È M E 10 points C Δ La figure cicontre représente la voile Γ d’un bateau constituée par la réunion 100 des parties P et T. Les distances sont exprimées en dm et le repère est or B P thonormal. 50 La CourbeΓreprésente la fonctiong définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : T 5 000x g(x)=x+. La droiteΔa pour 2 A x+2 500 0 équationy=x. a 0 50100 150 aétant un nombre appartenant à l’intervalle [50; 100] : •P est l’ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient 0ÉxÉaet xÉyÉg(x) ; •T est l’ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient 0ÉxÉaet 0ÉyÉx. La droitedd’équationx=acoupe l’axe des abscisses, la droiteΔet la courbeΓrespectivement aux points A, B et C. Le but du problème est de déterminer, si elle existe, la valeur deapour laquelle les aires de P et de T sont égales. Partie A On considère la fonctionhdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ parh(x)=g(x)−x. 1.Déterminer la limite en+∞de la fonctionh. Que représente la droiteΔpour la courbeΓ? 2.En utilisant le signe deh(x) étudier la position relative de la courbeΓet de la droiteΔ.

Partie B 5 000x On rappelle que la fonctionhest définie par :h(x)=. 2 x+2 500 1.Déterminer une primitiveHde la fonctionhsur l’intervalle [0 ;+∞[. 2.Montrer que l’aireA(a) de la partie P est : £ ¡¢ ¤ 2 A(a)=ln2 500a+2 500−.ln 2 500 3.Calculer, en fonction dea, l’aireB(a) de la partie T.

Partie B Soitfla fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : ¡ ¢ 1 2 2 f(x)=2 500 lnx+2 500−2 500 ln 2 500−x. 2 ′ 1. a.Déterminer la fonction dérivéefdefsur l’intervalle [0 ;+∞[. b.Dresser le tableau de variations de la fonctionf. (on admettra que la limite en+∞defest−∞.)

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A. P. M. E. P.

¡ ¢ −→−→ c.O,Dans le repère orthogonalı,dm(unités graphiques : 1 cm pour 10 2 sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 50dm surl’axe des ordonnées), construire la représentation graphique de la fonctionf. 2. a.Montrer que sur l’intervalle [50 ; 100] l’équationf(x)=0 a une unique −1 solution, notéeα. Déterminer un intervalle d’amplitude 10contenant le réelα. b.Quelle est l’interprétation géométrique de ce nombreα? c.Déterminer alors une valeur décimale approchée de l’aire de chacune des parties P et T en prenant 79,3 comme valeur décimale approchée de α.

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