Baccalauréat STI Polynésie septembre 2011

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Polynésie septembre 2011 \ Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est muni d'un repère orthononnal direct ( O, ??u , ??v ) . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a = 2p3?2i, b =?2?2ip3, c =?4 et d = 4i. 1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes a et b. b. Placer les points A, B, Cet D dans le plan muni du repère ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 1 cm. 2. a. Montrer que les points A, B, C et D sont un même cercle dont on déter- minera le centre et le rayon. b. Vérifier que d ?a =p3(c?b). c. Calculer les distances AB et CD. d. Déduire des questions 2. b. et 2. c. que le quadrilatère ABCD est un tra- pèze isocèle. EXERCICE 1 5 points On considère l'équation différentielle notée (E ) : y ??+ 1 9 y = 0, où y désigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'en- semble R des nombres réels et où y ?? désigne sa dérivée seconde.

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Sujets

• Repère
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2011
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Polynésie septembre 2011\ Génie mécanique, énergétique, civil

E X E R C IC E points1 4 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthononnal directO,u,v. On désigne π par i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 On considère les points A, B, C et D d’affixes respectivesa=2 3−2i, p b= −2−2i 3,c= −4 etd=4i.

1. a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexes a et b. ³ ´ −→−→ b.O,Placer les points A, B, Cet D dans le plan muni du repèreu,v d’unité graphique 1 cm. 2. a.Montrer que les points A, B, C et D sont un même cercle dont on déter minera le centre et le rayon. b.Vérifier qued−a=3(c−b). c.Calculer les distances AB et CD. d.st un traDéduire des questions 2. b. et 2. c. que le quadrilatère ABCD e pèze isocèle.

E X E R C IC E points2 5 On considère l’équation différentielle notée (E) : 1 ′′ y+y=0, 9 oùydésigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l’en ′′ sembleRdes nombres réels et oùydésigne sa dérivée seconde.

1.Résoudre l’équation différentielle (E). 2.Déterminer l’expression de la fonctionfsolution de l’équation différentielle µ ¶ 3π ′ (E) qui vérifie les conditionsf=1 etf(3π)=0. 4 3.On considère la fonctiongdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par : µ ¶ 1 g(x)=2 cosx. 3 On donne cidessous la représentation graphique de la fonctiong, dans un re père orthogonal du plan. On noteKla partie du plan comprise entre la courbe représentative de la fonctiong, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=0 etx=π.

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−1

1

−1

1

K

2

3

4

5

A. P. M. E. P.

µ ¶ 2 2 a.Justifier que pour tout nombre réelx, [g(x)]=1+cosx. 3 b.On considère le solideSengendré par La rotation de la partieKautour de l’axe des abscisses. Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volumeVdu solideS. Z π 2 On rappelle que:V=π[g(x)] dx. 0

P R O B L È M E 11 points Partie A : exploitation d’un graphique ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthogonalO,ı,. La courbeCcidessous est la représentation graphique d’une fonctionfdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par :

x2 f(x)=xe+a x+b x+c, ′ oùa,betcdésignent trois nombres réels. On notefla fonction dérivée defsurR. ¡ ¢ −1 Cette courbeCpasse par les points A(0 ; 2) et B−31 ;−e . Au point B, la tangente à la courbeCest parallèle à l’axe des abscisses. La parabolePreprésente la fonctiongdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par :

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2 g(x)= −x−2x+2.

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6

5

4

3

2

1

C

−5−4−3−2−2 3 41 1 −1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

P

A. P. M. E. P.

−8 1. a.Donner la valeur def(0). En déduire la valeur dec. b.Donner la valeur def(−1). En déduire une relation entreaetb. ′ 2. a.Donner la valeur def(−1). ′ b.Exprimerf(x) en fonction deaet deb. En déduire une deuxième rela tion entreaetb. 3.eÀ l’aide des questions 1. b. et 2. b., déterminer les valeurs daet deb

Dans la suite, on admettra que pour tout nombre réelx,f(x)s’exprime par:

x2 f(x)=xe−x−2x+2.

Partie B x 1. a.Vérifier quef(x) peut se mettre sous la formex(e−x−2)+2. b.Déterminer la limite de la fonctionfen−∞.

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A. P. M. E. P.

c.Déterminer, lorsquextend vers−∞, la limite def(x)−g(x). Interpréter graphiquement le résultat. d.Étudier les positions relatives des courbesCetP. µ ¶ x e 2 2 2. a.Vérifier quef(x) peut se mettre sous la formex− −1+2. x x b.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. ′x 3. a.Établir que pour tout nombre réelx,f(x)=(x+1) (e−2). x b.Résoudre dans l’ensembleRdes nombres réels l’inéquation : e−2>0. ′ c.Déterminer le signe def(x) suivant les valeurs du nombre réelx. d.Dresser le tableau de variation de la fonctionf. On donnera la valeur exacte def(ln 2).

Partie C : calcul d’aire

On considère les fonctionsHethdéfinies sur l’ensembleRdes nombres réels par :

x x H(x)=(x−1)e eth(x)=xe . 1.Montrer que la fonctionHest une primitive de la fonctionhsurR. 2.Calculer l’aire du domaine du plan délimité par la courbeC, la parabolePet les droites d’équations respectivesx=0 etx=ln 2. Le résultat sera exprimé en unité d’aire.

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