Baccalauréat STL

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STL 2005 \ L'intégrale de septembre 2004 à juin 2005 Métropole Biochimie–Génie biologique septembre 2004 3 Métropole Chimie de laboratoire septembre 2004 . . . . . . 5 Métropole Physique de laboratoire septembre 2004 . . . . 7 Métropole Biochimie juin 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Métropole Chimie de laboratoire juin 2005 . . . . . . . . . . . . 11 Métropole Physique de laboratoire juin 2005 . . . . . . . . . . 14 Polynésie Biochimie juin 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

• nature du triangle oab


• température moyenne annuelle de la planète


• degré celsius


• evolution avec la température


• usage des calculatrices et des instruments de calcul


• métropole biochimie–génie biologique

Sujets

• Degré Celsius

Informations

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Extrait

[ Baccalauréat STL 2005 \

L’intégrale de septembre 2004 à juin 2005

Métropole Biochimie–Génie biologique septembre 2004 3

Métropole Chimie de laboratoire septembre 2004 . . . . . . 5

Métropole Physique de laboratoire septembre 2004 . . . . 7

Métropole Biochimie juin 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Métropole Chimie de laboratoire juin 2005 . . . . . . . . . . . . 11

Métropole Physique de laboratoire juin 2005 . . . . . . . . . . 14 Polynésie Biochimie juin 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2

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2005

[ Baccalauréat STL France septembre 2004 \ Biochimie–Génie biologique

E XERCICE 1 8 points Afin de mettre en évidence le réchauffement de l’atmosphère ( effet de serre), on a mesuré la température moyenne annuelle de la planète. Le tableau ci-dessous donne l’évolution de la température (en degrés Celsius) de- puis 1974. Année : x i 1974 1978 1982 1986 1990 1994 1998 Température : y i (en °C) 19,12 19,70 19,62 20 20,60 20,88 20,92 1. Représenter le nuage de points M i ¡ x i ; y i ¢ dans un repère orthogonal. On prendra pour origine le point (1970 ; 19) et comme unités graphiques : 1 cm pour 2 ans sur l’axe des abscisses 5 cm pour 1 degré sur l’axe des ordonnées. Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ? 2. On désigne par G 1 le point moyen des trois premiers points du nuage et par G 2 le point moyen des quatre derniers. a. Calculer les coordonnées de G 1 et de G 2 et tracer la droite (G 1 G 2 ) sur le graphique. b. Déterminer une équation de la droite (G 1 G 2 ). On considère que cette droite réalise un bon ajustement du nuage. 3. Si la tendance se confirme, déterminer a. la température que l’on peut prévoir en 2005, à l’aide d’une lecture gra- phique ; b. par le calcul, en quelle année la température aura dépassé 22 o C.

STL Biochimie–Génie biologique

L’intégrale 2005

E XERCICE 2 12 points La désintégration radioactive du Zirconium 95 se fait en deux étapes : formation de Niobium (Nb) puis transformation qui conduit à un isotope stable. On s’intéresse à l’évolution du 95 Nb en fonction du temps. À l’instant t (exprimé en jours), on note N ( t ) le nombre d’atomes de 95 Nb. On admet que sur l’intervalle [0 ; ∞ [, l’expression de N ( t ) est : N ( t )  200 ¡ e − 0,01 t − e − 0,02 t ¢ . On note C la courbe représentative de la fonction N dans un repère orthogonal d’unités graphiques : 1 cm pour 10 jours sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l’axe des ordon- nées. 1. Calculer N (0). 2. a. Calculer la limite de N ( t ) lorsque t tend vers ∞ . b. Que peut-on en déduire pour la courbe C ? 3. a. Montrer que la fonction N ′ dérivée de N vérifie N ′ ( t )  200e − 0,02 t ¡ 0, 02 − 0, 01e 0,01 t ¢ . b. Résoudre l’équation N ′ ( t )  0. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 − 1 près de la so- lution t 0 de cette équation. c. Résoudre dans [0 ; ∞ [ l’inéquation N ′ ( t ) > 0. En déduire le tableau de variations de la fonction N . Préciser la valeur exacte de N ( t 0 ). 4. Construire la courbe C sur l’intervalle [0 ; 150]. 5. Déterminer graphiquement l’intervalle de temps pour lequel N ( t ) > 40. (On laissera apparaître sur la figure les constructions utiles).

Mtéropole 4 septmebre2004

[ Baccalauréat STL Métropole septembre 2004 \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels

L’usage des calculatrices et des instruments de calcul est a utorisé.

5 points

E XERCICE 1 1. Résoudre dans C l’équation z 2 − 4 z 3  16  0. 2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ³ O, − u → , v −→ ´ d’unité gra- phique 1 cm. Soit les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives z A  2  2i ; z B  2 3 − 2i et z C  2e i 6 π . a. Calculer le module et un argument de z A et z B . b. Construire les points A, B et C. c. Calculer | z A − z B | . d. Quelle est la nature du triangle OAB ? (justifier la réponse). 3. a. Écrire z C sous forme algébrique. b. Montrer que C est le milieu du segment [OA]. 4. Quelle est la nature du triangle ABC ? (justifier la réponse).

E XERCICE 2 4 points Une urne contient trois boules : une jaune J, une verte V et une rouge R, indiscer- nables au toucher. On tire successivement deux boules dans l’urne, en remettant la première, après avoir noté sa couleur, avant de tirer la deuxième. On appelle résultat, un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage, et le second élément celle obtenue au second tirage. Par exemple, le couple ( J ; V) est un résultat différent du couple (V ; J). 1. Déterminer l’ensemble des 9 résultats possibles (on pourra s’aider d’un ta- bleau ou d’un arbre). 2. On convient de la règle de jeu suivante, associée au tirage précédent : • pour chaque boule jaune tirée, le joueur perd 3 ( ; • pour chaque boule verte tirée, le joueur gagne 1 ( ; • pour chaque boule rouge tirée, le joueur gagne k ( (où k est un nombre positif ). On désigne par X la variable aléatoire qui à tout tirage assoc ie le gain (positif ou négatif ) du joueur. Par exemple, pour le tirage ( J ; V) le gain est de − 2 ( . a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. Donner la loi de probabilité de X c. Calculer l’espérance E(X) de la variable X en fonction de k .

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d. Quelle valeur faut-il donner à k pour que le jeu soit équitable ?

11 points

P ROBLÈME Partie A On considère la fonction g définie sur ]0 ; ∞ [ par g ( x )  − 2 x 2 − 1  ln x . 1. Calculer g ′ ( x ) pour tout x de ]0 ; ∞ [. Étudier son signe sur ]0 ; ∞ [. 2. Dresser le tableau de variations de g sur ]0 ; ∞ [. (On ne demande pas les limites de g aux bornes de son ensemble de définition). 3. En déduire que pour tout x de ]0 ; ∞ [, g ( x )  0.

Partie B Soit f la fonction définie sur ]0 ; ∞ [ par 1 ln x f ( x )  − x  1 − 2 × x x . On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogo- −→ nal ³ O, ı ,  −→ ´ d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. 1. a. Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat. b. Calculer la limite de f en ∞ . c. Démontrer que la droite Δ d’équation y  − x  1 est asymptote à la courbe C . d. Étudier la position relative de C et Δ sur ]0 ; ∞ [. 2. a. Calculer f ′ ( x ) pour tout x ∈ ]0 ; ∞ [. b. Vérifier que pour tout x de ]0 ; ∞ [, f ′ ( x ) g 2 ( x x 2 ) .  c. Déduire de la partie A. le tableau de variations de f sur ]0 ; ∞ [. d. Calculer f (1). En déduire le signe de f sur ]0 ; ∞ [. 3. Dans le plan muni du repère ³ O, ı −→ ,  −→ ´ , tracer la droite Δ et la courbe C .

Partie C 1. Vérifier que la fonction F définie sur ]0 ; ∞ [ par F ( x )  − 1 2 x 2  x − 1 4 (ln x ) 2 est une primitive de f sur ]0 ; ∞ [. 2. C Z 1 e f n donnera la valeur exacte). alculer l’intégrale I  ( x ) d x . (o 3. a. Hachurer sur le graphique la partie E du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x  1 et x  e. b. Déduire de la question 2. de la partie C la valeur exacte de l’aire S de E en cm 2 , puis en donner la valeur arrondie en cm 2 , au mm 2 près.

Mtéropoel 6 septembre0204

[ Baccalauréat STL France septembre 2004 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels Le sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. E XERCICE 1 5 points Soit l’équation différentielle (E) : y ′′  4 y  0. 1. Déterminer la solution f de (E) qui vérifie f ³ 4 π ´  2 et f ′ ³ π 8 ´  0. 2. Montrer que f ( x ) peut s’écrire sous la forme f ( x )  2 cos ³ 2 x − π 4 ´ . 3. Résoudre l’équation f ( x )  2 sur l’intervalle [0 ; 2 π ]. 4. Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle · 0; 3 8 π ¸ . Exercice 2 5 points Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ³ O, u −→ , − v → ´ d’unité gra- phique 1 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π 2 . Dans P, les points A et B ont pour affixes respectives 8 et 8i. 1. On appelle D l’image de A par la rotation R 1 de centre O et d’angle − 3 π et C l’im 2 π . age de B par la rotation R 2 de centre O et d’angle  3 a. Quelles sont les fonctions f 1 et f 2 de C dans C associées respectivement aux rotations R 1 et R 2 . b. Calculer les affixes des points C et D. 2. a. Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cerc le C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer le cercle C dans le plan P et représenter les points A, B, C et D. b. Quelle est la nature du triangle OCD ? − →−→ 3. On note a l’affixe du vecteur AD et b celle du vecteur BC. Montrer que b  a 3. En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.

P ROBLÈME 10 points Soit f la fonction numérique de la variable x définie sur R par 2 x 2 − . f ( )  e x  1 On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère ortho- normal ³ −→−  → ´ unité graphique 2 cm. O, ı , d’ Partie A 1. a. Déterminer les limites de f ( x ) quand x tend vers ∞ puis quand x tend vers −∞ .

Baccalauréat STL STL Chimie de laboratoire et de procédés indust riels

b. En déduire que la courbe C admet deux asymptotes D et D ′ dont on donnera les équations. 2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 3. Soit T la tangente à la courbe C au point I(0 ; 1). Déterminer une équation de la droite T . 4. a. Pour tout réel x , on appelle M le point de la courbe C d’abscisse x et M ′ celui d’abscisse − x . Démontrer que I(0 ; 1) est le milieu du segment [ M M ′ ]. b. Que représente le point I pour la courbe C ? 5. Tracer les droites D , D ′ , T et la courbe C .

Partie B 2 1. Vérifier que, pour tout réel x , f ( x )  e x e  x 1 . En déduire une primitive F de f sur R . 2. α désigne un réel inférieur ou égal à 1. On appelle A ( α ) l’aire, en cm 2 , de la partie du plan, ensemble des points M ( x ; y ) tels que : ½ α 6 y x 6 6 1 f ( x ) 0 6 a. Calculer A ( α ) en fonction de α . b. Donner la valeur exacte de A (0) puis sa valeur arrondie au cm 2 . c. Calculer lim A ( α ). α →−∞

Métropoel 8 spetmerbe2004

[ Baccalauréat STL Biochimie–Génie biologique \ Métropole juin 2005

Calculatrice autorisée Durée de l’épreuve : 2 heures Coefficient : 2 E XERCICE 1 10 points Une épidémie due au virus Ébola sévit dans une région composée de 125 000 habi- tants. On estime que 18 750 personnes sont contaminées par ce virus. Une stratégie de dépistage, à l’aide d’un test biologique est mise en place. On ob- serve les résultats suivants : • quand la personne est contaminée par le virus Ébola, le test est positif dans 99, 6 % des cas. • quand la personne n’est pas contaminée parce virus, le test est négatif dans 97, 6 % des cas. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant : Nombre de personnes Nombre de personnes contaminées non contaminées Total Test positif Test négatif Total 125 000 Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à 10 − 4 près. 2. On choisit an hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité d’être choisies. On considere les évènements : A « La personne est contaminée par le virus Ébola » B « La personne a un test positif ». a. Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B. b. Écrire à laide d’une phrase l’évènement A ∩ B et calculer sa probabilité. Écrire à l’aide des évènements A et B l’évènement : « la person ne est contaminée par le virus Ébola ou a un test positif » et calcule r sa pro- babilité. c. Calculer la probabilité p 1 que la personne ait un test positif et ne soit pas contaminée par le virus Ébola. Calculer la probabilité p 2 que la personne ait un test négatif et soit conta- minée par le virils Ébola. Calculer la probabilité p 3 que le test donne un résultat faux. 3. on choisit maintenant au hasard une personne ayant un test né gatif, toutes les personnes ayant la même probabilité d’être choisies. Quelle est la probabilité qu’elle soit contaminée par le vir us Ébola ?

10 points

E XERCICE 2 On considère la fonction f détinie sur [0 ; ∞ [ par : x 3e 4 − 1 f ( x )  4 x  1 . e C est sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique 5 cm).

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Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique

1. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations sur [0 ; ∞ [. 2. Calculer la limite de f en ∞ (on pourra montrer que f ( x )  3 1 −  e e − − 4 4 x x ¶ . 3. Donner les valeurs approchées à 10 − 2 près de ( x ) pour les valeurs suivantes de x : 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 ; 1,2 et 1,4. 4. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à C au point d’abscisse 0. 5. Tracer la courbe C et sa tangente T . 3e 3 x e − x − 6. Montrer que f ( x )  e 3 x  e − x . On considère la fonction F définie sur [0 ; ∞ [ par F ( x )  ln ¡ e 3 x  e − x ¢  1.

Expliquer pourquoi F est une primitive de f sur [0 ; ∞ [.

Métropole

10

juin 2005

[ Baccalauréat STL Métropole juin 2005 \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels

Calculatrice autorisée

Durée de l’épreuve : 3 heures

3 heures

Coefficient : 4

E XERCICE 1 5 points π On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument  2  . orté à un repère ort ³ , −→− v → ´ d’unité graphique Le plan complexe est rapp honormal O u , 1 cm. 1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique : z 2  3 z  3  0. 3 2. On considère les nombres complexes : z 1  − 2 3  i et z 2  z 1 . 2 a. Écrire z 1 sous forme trigonométrique. −→−→ b. Construire avec précision dans le repère ³ O, u , v ´ , les points A et B d’af- fixes respectives z 1 et z 2 . On laissera apparents les traits de construction. 7 3  et K l oi  − i 3. On appelle D le point d’affixe z 3 2 2  e p nt d’affixe z 4  1. a. Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle C de centre K. b. Montrer que le point K est le milieu du segment [AD]. epère ³ O, −→ v −→ ´ c. Dans le r u , placer les points K et D et tracer le cercle C . Déterminer la nature du triangle ABD.

E XERCICE 2 4 points Une urne contient trois boules indiscernables au toucher, numérotées respective- ment 1, 2 et 3. Le jeu proposé est le suivant : On verse d’abord 10 euros, puis on effectue trois tirages successifs d’une boule avec remise et on obtient ainsi un nombre à trois chiffres en notant dans l’ordre les trois numéros obtenus. Par exemple, si on tire successivement 2, 3 et 1 on obtient le nombre 231. Si les trois chiffres sont identiques, on reçoit 25 euros. Si les trois chiffres sont tous différents, on reçoit 15 euros. Si la somme des trois chiffres vaut 7, on reçoit 13 euros. Dans tous les autres cas, on ne reçoit rien. 1. En s’aidant d’un arbre comme ci-dessous, donner la liste des 27 tirages pos- sibles.