Baccalauréat STL Métropole juin Physique de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STL Métropole 17 juin 2008 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels Calculatrice et formulaires autorisés 3 heures Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 5 points Pour la première équation ∆= (?10)2?4?50= 100?200 =?100= (10i)2. Le discriminant est négatif : l'équation a deux solutions complexes conjuguées : z1 = ?(?10)+10i 2 = 5+5i et z2 = z1 = 5?5i. Deuxième équation : z +2 = iz p 3?6 ?? z ( 1? i p 3 ) = ?6?2 ?? z ( 1? i p 3 ) = ?8 ?? z = ?8 1? i p 3 = ?8 ( 1+ i p 3 ) ( 1? i p 3 )( 1+ i p 3 ) = ?8 ( 1+ i p 3 ) 1+3 =?2?2i p 3. 1. On a |zA|2 = 52+52 = 2?52, donc |zA| = 5 p 2. On a donc zA = 5 p 2 ( 5 5 p 2 ? i 5 5 p 2 ) = 5 p 2 (p 2 2 ? i p 2 2

• tri- angle rectangle


• propriété de la rotation oa


• écriture exponentielle de za


• énoncé lim


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2008
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSTLMétropole17juin2008\
Physiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels
Calculatriceetformulairesautorisés 3heures
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplèteounonfructueuse,qu’ilauradéveloppée.
Duréedel’épreuve:4heures Coefficient:4
EXERCICE 1 5points
2 2PourlapremièreéquationΔ=(−10) −4×50=100−200=−100=(10i) .
Lediscriminantestnégatif:l’équationadeuxsolutionscomplexesconjuguées:
−(−10)+10i
z = =5+5ietz =z =5−5i.1 2 1
2
Deuxièmeéquation:
p ? p ? ? p ? −8
z+2=iz 3−6 ⇐⇒ z 1−i 3 =−6−2 ⇐⇒ z 1−i 3 =−8 ⇐⇒ z= =p
1−i 3? p ? ? p ?
−8 1+i 3 −8 1+i 3 p
? p ?? p ?= =−2−2i 3.
1+31−i 3 1+i 3
p
2 2 2 2| | | |1. Ona z =5 +5 =2×5 ,donc z =5 2.A A ? !p p? ?
p p5 5 2 2
Onadoncz =5 2 p −i p =5 2 −i .A
2 25 2 5 2
p p
2 2 π
Siθestunargumentdez ,onacosθ= etsinθ=− ,doncθ=− .A
2 2 4p π− 4L’écritureexponentielledez estdonc5 2e .A
p π
42. Puisquez =z sonécritureexponentielleest5 2e .B A
p π π
4 4z 5 2e e π π πB +4 4 2Ilsuitque = = =e =e =i.p π π− −z 4 4A 5 2e e
z πB
2On a donc =i ⇐⇒ z =iz =e z ,ce qui montre que Best l’image de AB A A
zA
π
danslarotationdecentreOetd’angle .
2
D’après la propriété de la rotation OA = OB, donc le triangle OAB est un tri-
anglerectangleisocèleenO.
p p pπ−
23. Pardéfinitiondelarotationz =e z =−i(−2−2i 3)=2i−2 3=−2 3+2i.D C? p ? p p
? ?OnaOC=|z |= −2−2i 3 = 4+12= 16=4.C
Onplacelepoint C(−2;−2),puis ononconstruitlepointDsurla perpendi-
culaireà(OC)contenantOetsurlecercledecentreO,derayonOC=4(sens
indirect).
? ! ? ! ? !p p p
5−2 −5−2 3 3 −5−2 3 3 −5−2 3
−→4. OnaK ; = ; .Onadoncz ; .
OK2 2 2 2 2 2
? p ? ? p ?
−→Oncalculez 5+2 3; 5−2 = 5+2 3; 3 .
DB
z−→
DB
Oncalcule =
−→z
OK ? ? ??
?? p ? ? p3 5
? p ? 5+2 3 +3i +i + 3
5+2 3 +3i 2 2
? ?= ? ? ??? ? ??=
p p p3 5 3 5 3 5
−i + 3 −i + 3 +i + 3
2 2 2 2 2 2
p p ? p ? p
15 15 25 9 34+3 3− −3 3+i +5 3+ +5 32 2 2 2 2= i.p p
9 25 23+ +3+5 3 +5 34 4 2STLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
? !
? ? −−→z−−→ −−→ πDB
On conclut que OK ; DB = arg = , ce qui montre que les vecteurs sont
−−→z 2
OK
orthogonaux.
Lesdroites(OK)et(DB)sontperpendiculaires.
B
4
D
2
→−
v
→−O
−4 −2 u 2 4
−2
C
−4
K
A
−6
EXERCICE 2 4points
? ?23π′′ ′′(E) s’écrit y + =0, équation différentielle du second ordre de la forme y +
4
3π2ω y=0,avecω= .
4
Onsaitquelessolutions surRdecette équationsont delaforme f(x)= Acosωx+
3π 3π
Bsinωx,doncici f(x)=Acos x+Bsin x.
4 4
1.
3π 3π 3π 3π
′2. Ona f (x)=− sin x+ cos x.
4 4 4 4
Lasolutionparticulièrevérifiedonc:
 p p(
 f(4) = − 3 Acos3π+Bsin3π = − 3? ?
4 3π ⇐⇒ 3π 3π 3π ⇐⇒′ f = − − sinπ+ cosπ = −
3 4 4 4 4p( ? p−A = − 3 A = 3
3π 3π ⇐⇒
− B = − B = 1
4 4
p 3π 3π
Onadonc f(x)= 3cos x+sin x.
4 4
Métropole 2 17juin2008
bbbbbSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
3. Endéveloppant(aveclaformulecos(a−b)=cosacosb+sinasinb),onobtient:
? ? ? ?
3π π 3π π 3π π
2cos x− =2 cos xcos +sin xsin =
4 6 4 6 4 6
p
p3π 3 3π 1 3π 3π
2cos x× +2sin x× = 3cos x+sin x= f(x).
4 2 4 2 4 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8 3π 8 π 3πx π 3πx π
4. Calculonsf x+ =2cos x+ − =cos +2π− =2cos − =
3 4 3 6 4 6 4 6
f(x)carlafonctioncosinusest2π-périodique.
8
Lafonction f estbienpériodiquedepériode .
3
? ?
8
5. D’aprèsleformulairelavaleurmoyennem sur 0; delafonction f est:
3
8Z8 ? ? ? ? ??
31 3 3πx π 3 4 3πx π
m= 2cos − dx= 2× sin − =
8 4 6 8 3π 4 6−0 0 03? ? ? ? ?? h ? ? ? ?i1 3π 8 π 3π π 1 π π
sin × − −sin ×0− = sin 2π− −sin − =
π 4 3 6 4 6 π 6 6
? ? ? ?π π
sin − −sin − =0.
6 6
PROBLÈME 11points
PartieA
x x1. Quelquesoitx∈R, e >0,donce +2>2>0.Ledénominateurnepeutdonc
s’annuler et la fonction g somme de fonctions dérivables surR est dérivable
surR:
x x x x 2x x 2x x4e (e +2)−4e ×e 4e +8e −4e 8e′g (x)=a− =a− =a− .
x 2 x 2 x 2(e +2) (e +2) (e +2)
2. Lesconditionssetraduisentpar:

ln2 4e?  aln2+b− = ln2 ln2f(ln2) = ln2 e +2
⇐⇒ ln2 ⇐⇒′ 8ef (ln2) = 0  a− = 0 ? ? 2ln2e +2

8 ? aln2+b− = ln2 aln2+b−2 = ln24 ⇐⇒ ⇐⇒16 a−1 = 0 a− = 0
24)
? ?
ln2+b−2 = ln2 b = 2
⇐⇒
a = 1 a = 1
x4e
Onadonc:g(x)=x+2− .
xe +2
PartieB
x x x4e 4e 4e
1. On a f(x)=x+2− =x−2+2+2− =x−2+4− =x−2+
x x xe +2 e +2 e +2
x x x x4 e +2 −4e 4e +8−4e 8( )
=x−2+ x−2+ .
x xe +2 = e +2
8x2. En utilisant l’énoncé lim e =0, donc lim =4 et comme lim x=
xx→−∞ x→−∞ x→−∞e +2
−∞,onafinalement:
lim f(x)=−∞.
x→−∞
8xEnutilisantladeuxièmeécriture,ona lim e =+∞,donc lim =0et
xx→+∞ x→+∞e +2
comme lim x=+∞,onafinalement:
x→+∞
Métropole 3 17juin2008STLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
lim f(x)=+∞.
x→+∞
8
Soit d la fonction définie par : d(x)= f(x)−(x−2)= ; on a vu que
xe +2
8
lim =0soit lim f(x)−(x−2)=0,cequisignifiequeladroited’équa-
xx→+∞ x→+∞e +2
tiony=x−2estasymptoteàC auvoisinagedeplusl’infini.
x4e
De même, soit e la fonction définie par e(x)= f(x)−(x+2)=− . On a
xe +2
x4e
vu que lim = 0. Ceci montre que la droite d’équation y = x+2 est
xx→−∞e +2
asymptoteàC auvoisinagedemoinsl’infini.
3. Lafonction f estdérivablesurRetona:
x x 2 x 2x x x 2x x8e (e +2) −8e e +4+4e −8e e +4−4e′f (x)= 1− = = = =
x 2 x 2 x 2 x 2(e +2) (e +2) (e +2) (e +2)
? ?2 2x x(e −2) e −2
= .
x 2 x(e +2) e +2
′ x x4. f (x) étant un carré est supérieur à zéro sauf si e −2= 0 ⇐⇒ e = 2 ⇐⇒
x=ln2,auquelcaslenombredérivéestnuletlatangenteàC encepointest
horizontale.
LafonctionestdonccroissantesurR.D’oùletableaudevariation:
x −∞ ln2 +∞
′f (x) + 0 +
+∞
f ln2
4
5.
3
2
C1
O
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
PartieC
′u (x)′x x x1. Onremarqueque(e +2) =e ,donch()estdelaforme ,avecu(x)=e +2et
u(x)
onadéjàvuquecetteexpressionestsupérieureàzéro.
Métropole 4 17juin2008
y=x+2
y=x−2STLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
′u (x) ′Or =(lnu(x)) .
u(x)
Conclusion:uneprimitivesurRdeh estdonclafonctionH définiesurRpar:
? ?xH(x)=ln e +2 .
2x
2. Uneprimitivedex+2étant +2x,onendéduitqu’uneprimitiveF de f estdéfinie
2
surRpar:
2x
xF(x)= +2x−4ln(e +2).
2
3. Sur l’intervalle [0 ;2], la fonction f estpositive :l’aire dela partieduplanest donc
égaleenunitésd’aireàl’intégrale:
Z ? ?22 2 2? ? ? ? ? ?x 22 x 2 0f(x)dx=[F(x)] = +2x−4ln e +2 = +2×2−4ln e +2 − (−4lne +2 =0 2 20 0? ?2
6−4ln e +2 +4ln3u.a.
2Oruneunitéd’aireestégaleà2×2=4cm .
2Doncl’aireencm estégaleà:
? ? ? ?
2 24 6−4ln e +2 +4ln3 ≈5,75cm
2à1mm près.
Métropole 5 17juin2008