Baccalauréat STL septembre Chimie de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STL septembre 2006 \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels Calculatrice autorisée 3 heures Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 4 points Soit (E) l'équation différentielle y ??+4y = 0, où y est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle x. 1. Résoudre l'équation différentielle (E). 2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) . Déterminer la fonction f solutionde l'équationdifférentielle (E), dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées (pi 2 ; ? p3 ) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 2. 3. Vérifier que, pour tout nombre réel x, f (x)= 2cos ( 2x+ pi6 ) . 4. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [ 0 ; pi2 ] . EXERCICE 2 5 points 1. a. Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation 1 2 z 2+ z+1= 0. b. On note z1, z2, z3 et z4 les nombres complexes définis par : z1 =?1+ i, z2 = z1, z3 =?2 et z4 =?2z1. Écrire z2 et z4 sous forme algébrique.

• droites d'équations respectives


• points d'affixes respectives


• heure - coefficient


• tangente de coefficient directeur


• equation différentielle


• repère orthonormal direct

Sujets

• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2006
• Nombre de lectures: 20

Extrait

[Baccalauréat STL septembre 2006\ Chimie de laboratoire et de procédés industriels

Calculatrice autorisée

Durée de l’épreuve : 3 heures

3 heures

Coefficient : 4

E X E R C IC E points1 4 ′′ Soit (E) l’équation différentielley+4y=0, oùyest une fonction deux fois dérivable de la variable réellex. 1.Résoudre l’équation différentielle (E). ³ ´ −→−→ 2.O,Le plan est rapporté à un repère orthonormalı,. Déterminer la fonctionfsolution de l’équation différentielle (E), dont la courbe ³ ´ π p représentative passe par le point A de coordonnées;−3 etadmet en ce 2 point une tangente de coefficient directeur 2. ³ ´ π 3.Vérifier que, pour tout nombre réelx,f(x)=22 cosx+. 6 h i π 4.Calculer la valeur moyenne de la fonctionf0 ;sur l’intervalle. 2

E X E R C IC E 2 5points 1. a.Résoudre, dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation 1 2 z+z+1=0. 2 b.On notez 1 ,z 2 ,z 3 etz 4 les nombres complexes définis par :

z 1 = −1+i,z 2 =z 1 ,z 3 = −2 etz 4 = −2z 1 . Écrirez 2 etz 4 sous forme algébrique. ³ ´ −→−→ 2.Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v(unité graphique : 1 cm). On désigne par A, B, C et D les points d’affixes respectivesz 1 ,z 2 ,z 3 etz 4 . ³ ´ −→−→ a.Placer les points A, B, C, D dans le repèreO,u,v. b.On note I le milieu du segment [CD]. Déterminer l’affixe du point I. c.Montrer que le triangle ACD est rectangle. d.Préciser le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ACD.

P R O B L È M E 11 points On considère la fonctionfdéfinie surRpar ¡ ¢ 2x f(x)=3−xe . On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthononnal ³ ´ −→−→ O,ı,. Une partie de la courbeCest représentée sur la feuille annexe, à rendre avec la copie. Partie I : étude de la fonctionf

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A. P. M. E. P.

1. a.Étudier la limite defen+∞. b.Étudier la limite defen−∞. On pourra utiliser le résultat suivant : n x limxe=0 ;n∈N. x→−∞ ′ 2.On notefla fonction dérivée de la fonctionfsurR. ′ a.Calculerf(x). ′ b.Étudier le signe defsurR. c.Dresser le tableau de variations de la fonctionf. 3.Déterminer les coordonnées des points A et B, points d’intersection de la courbe Cavec l’axe des abscisses.

Partie II : Tracé d’une parabole

2 1.SoitPla parabole d’équationy=6−2x. Vérifier que les points A et B, définies à la question 3 de la partie I, appar tiennent à la paraboleP. 2. a.Vérifier que, pour tout nombre réelx, ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ 2 2x 6−2x−f(x)=3−x2−e . £p¤ b.Montrer que, pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle−2 ,3 ; ln ¡ ¢¡ ¢ 2x 3−x2−e > 0. £ ¤ c.En déduire que, sur l’intervalle−2 ,3 ; lnla parabolePest audessus de la courbeC. 3.Tracer la parabolePsur la feuille annexe, à rendre avec la copie.

Partie III : Calcul d’aires

1.On considère la fonctionGdéfinie surRpar ¡ ¢ 2x G(x)=x−2x+2 e . ′ ′ a.On noteGla fonction dérivée de la fonctionG. CalculerG(x). b.En déduire une primitiveFde la fonctionfsurR. 2.On considère le domaine du plan limité par les courbesCetP, les droites d’équations respectivesx= −3 etx=0. a.Hachurer le domaine sur la feuille annexe, à rendre avec la copie. b.On noteAl’aire du domaineD. Calculer l’aireA, exprimée en unités d’aire. −2 Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10.

Métropole

2

septembre 2006

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Métropole

Annexe (à rendre avec la copie)

3

−→ 

−→ O ı

A. P. M. E. P.

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