Correction du baccalauréat S Amérique du Nord juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Correction du baccalauréat S \ Amérique du Nord 3 juin 2010 EXERCICE 1 4 points 1. a. A(1 ; ?2 ; 4) B(?2 ; ?6 ; 5) C(?4 ; 0 ; ?3). ??? AB (?3 ; ?4 ; 1) ; ??? AC (?5 ; 2 ; ?7) or comme aucun de ces vecteurs n'est nul, s'ils étaient colinéaires, on pourrait trouver un seul k réel tel que ? ? ? ?3 = ?5k ?4 = 2k 1 = ?7k , or ce système est impossible (trois valeurs de k diffé- rentes). Les points A, B et C ne sont pas alignés. b. le vecteur ?? n (1 ; ?1 ; ?1) est orthogonal à ~AB car le produit scalaire est ?3+4?1 = 0 le vecteur ??n (1 ; ?1 ; ?1) est orthogonal à???AC car le produit scalaire est égal à ?5?2+7= 0. Donc le vecteur ?? n (1 ; ?1 ; ?1) un vecteur normal au plan (ABC). c. Uneéquationduplan (ABC)est de la forme 1?x+(?1)?y+(?1)?z+d = 0, donc x? y ?z+d = 0 or C doit être dans ce plan donc?4+3+d = 0 donc d = 1, donc (ABC) : x ? y ? z +1= 0.

• ·???bc ?


• ???? om4


• boule


• ex ?


• ???? bm


• ·???bc


• ??? bo


• droite horizontale d'équation

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 63
• Langue: Français

Extrait

[CorrectiondubaccalauréatS\
AmériqueduNord3juin2010
EXERCICE 1 4points
1. a.
A(1;−2; 4) B(−2;−6; 5) C(−4; 0;−3).
−→ −→
AB(−3;−4; 1); AC(−5; 2;−7)orcommeaucundecesvecteursn’est
nul,s’ilsétaientcolinéaires,onpourraittrouverunseulk réeltelque

−3 = −5k
−4 = 2k ,orcesystèmeestimpossible(troisvaleursdek diffé-

1 = −7k
rentes).
LespointsA,BetCnesontpasalignés.
→− ~b. le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AB car le produit scalaire est
→− −→
−3+4−1=0levecteurn (1;−1;−1)estorthogonalàAC carleproduit
scalaireestégalà−5−2+7=0.
→−
Donclevecteurn (1;−1;−1)unvecteurnormalauplan(ABC).
c. Uneéquationduplan(ABC)estdelaforme1×x+(−1)×y+(−1)×z+d=0,
doncx−y−z+d=0orCdoitêtredansceplandonc−4+3+d=0donc
d=1,donc(ABC): x−y−z+1=0.
−−→ →− −−→ →−
2. a. SiM(x, y, z)estsur(D)alorsOM estcolinéaireàn ,doncOM =tn

x = t×1
y = t×(−1) .C’estunereprésentationparamétriquedeladroite

z = t×(−1)
(D)passantparlepointOetorthogonaleauplan(ABC).
′b. LepointO projetéorthogonaldupointOsurleplan(ABC)estàlafoissur

x = t
y = −t
(D)etsur(ABC)doncsescoordonnéesvérifient ;
 z = −t
x−y−z = −1
cesystèmeestnoté(S):
   −1x = t x = t x=   3   1y = −t y = −t y = 3(S) ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ;1 z = −t  z = −t  z = 3  −1 −13t = −1 t = t =3 3
−1 1 1′O ( ; ; ).
3 3 3
3. OndésigneparHleprojetéorthogonaldupointOsurLadroite(BC).DoncH
est l’intersection de (BC) avec le plan (Q) perpendiculaire à (BC), on a donc
−−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ 2OH ?BC =0etH∈(BC),doncBO?BC =BH ?BC =BC ?BC =tkBCk .
−→ −→
BO ?BC
Finalement:t= (carB6?C).? ?2−→? ?
?BC?BaccalauréatS
B O
H
Q
C
−→ −→ −−→ −→ −→ −→
a. OB?BC =OH ?BC +HB?BC.
−→ −→
Soitt leréeltelqueBH =tBC.
−→ −→ −→ −→
OB?BC =0−t×(BC ?BC).
−−→ −−→ 2doncBO ?BC =t×BC .
−−→−−→
BO?BC
t= 2BC
2~ ~b. OncalculeensuiteaveclescoordonnéesBO.BCetBC
−→ −→ −→ −→ 2BO(2 ; 6 ; −5) et BC(−2 ; 6 ; −8); BO ?BC =−4+36+40= 72; BC =
72 94+36+64=104; t= = .
104 13
−−→ −→ −→−−→
OH =OB+tBC OH.
−−→
DoncOH apourcoordonnées:
9 9 9 −44 −24 −7(−2+ ×(−2);−6+ ×(6);5+ ×(−8))=( ; ; ).
13 13 13 13 13 13
CesontaussilescoordonnéesdeH.
EXERCICE 2 3points
0.2 N1
0.1 R2
N2
0.8
V0.9 2
SurcetarbreN c’est«tirerlenumero1»,N c’est«tirerlenumero2»«R c’est«tirer1 2 2
unerougenumérotée2»,«V c’est«tirerunevertenumérotée2»2
1. La boule peut être rouge et porter le numéro 1, ou être rouge et porter le
numéro 2 donc si on note R «la boule tirée est rouge, R = N ∪(N ∩R ),1 2 2
ceci est une réunion d’évènements disjoints car inclus dans N et N , donc1 2
p(R)=p(N )+p(N ∩R )=p(N )+p(N )×p (R )=0,2+0,8×0,1=0,281 2 2 1 2 N 22
AmériqueduNord 2 3juin2010
bbbbbbbbbbbbbbbbbBaccalauréatS
p(N ∩R) p(N ∩R )2 2 2 0,8×0,1 22. Icionveutp (N )c’estp (N )= = = =R 2 R 2 p(R) p(R) 028 7
3. Soitn unentiernaturelsupérieurouégalà2.
Oneffectuen tiragessuccessifs d’unebouleavecremise(aprèschaquetirage
la boule est remise dans l’urne). On répète donc n fois l’expérience à deux
issues : «tirer une rougenumérotée 1» de probabilité p=0,2 car c’est N ou1
«nepastirerunerougenumérotée1»deprobabilité0,8,lavariablealéatoire
X quisertàcompterlessuccès(nombredeboulesrougessurlesntirages)est
unevariablealéatoirequisuituneloibinomialeB(n ; 0,2).
? ?n k n−kDonc,pourk entierentre0etn,p(X=k)= ×0,2 ×0,8k
a. «Tirer au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n
tirages»apourcontraire«netireraucuneboulerougeportantlenuméro
1»deprobabilitép(X=0)donclaprobabilitédemandéeest
n1−p(X =0)=1−0,8 .
nb. Cecirevientàrésoudre(n entiernaturel)1−0,8 >0,99cequiestéqui-
nvalentà0,8 60,01, onprendleslndesdeuxmembresquisontstricte-
mentpositifs
−2ln(10)n n −20,8 60,01 ⇐⇒ 0,8 610 ⇐⇒ nln(0,8)6−2ln(10) ⇐⇒ n> ⇐⇒
ln(0,8)
n>20,6.
Ilfautdoncfaireaumoins21tirages.
EXERCICE 3 5points
Enseignementobligatoire
6
5
4
3
2
E
A
1
D0
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
′D
B ′E−2
−3
π1. LepointEestobtenuparrotationautourdeA,d’angle dupointDdonc3? !p
π π 1 3i i
3 3z −z =e (z −z )doncz =e (1−i)+i= +i ×(1−i)+i=E A D A E
2 2
? !p p p
1+ 3 1+ 3 1+ 3
+i = (1+i).
2 2 2
AmériqueduNord 3 3juin2010
bbbbbbBaccalauréatS
2−i (2−i)(1−i) 1−3i
2. z ′= = = =0,5−1,5i.D 2 2i+1 1 +1 2
3. a. Pourtoutnombrecomplexez différentdei,
? ?? ? ? ? i′ 2z−i 2z−i+2i(iz+1)z +2i (z−i)= +2i (z−i)= (z−i)= ×(z−i)=iz+1 iz+1 iz+1
i
×(z−i)=1.
i(z−i)
? ?
′b. Donc pour tout nombre complexe z différent de i, z +2i (z−i)=1 en
prenantlesmodulesetlesarg:
? ?−−→ ? ?→−′ ′ ′Comme(z +2i)=z−−→; (z−i)=z−−→,etcomme u , BM =arg z +2i
′ AMBM? ?→− −−→
Ainsique u , AM =arg(z−i).
PourtoutpointM d’affixez(z6?i):
′BM ×AM=1? ? ? ?−−−→→− →− −−→′et u , BM + u , AM =k×2πoùk estunentierrelatif.
4. a. Les points D et Eappartiennent à un même cercle(C) decentreA et dep
rayonparlarotationdu1)etlerayonestAD= 2.
p p
b. Donc AE= 2,AD= 2 donc en utilisant la relation sur les longueurs :
1′ ′ ′ ′ pAD×BD =1, AE×BE =1doncBE =BD = .
2
Etaveclesangles:
? ? ? ?−−→→− →− −→′u , BE + u , AE =k×2πoùk estunentierrelatif.
? ? ? ?−−→→− →− −→′ ′ ′et u , BD + u , AD =k ×2πoùk estunentierrelatif.,onretranche
cesdeuxrelations? ? ? ?−−→ −−→ −→ −→′ ′ ′′ ′′BD , BE + AD, AE =k ×2πoùk estunentierrelatif.
? ?−−→ −−→ π′ ′ ′′ ′′BD , BE + =k ×2πoùk estunentierrelatif.
3
? ?−−→ −−→
′ ′ π ′′ ′′Donc BD , BE =− +k ×2πoùk estunentierrelatif.3
π′ ′c. AinsiletriangleBDE estisocèleenBetavecunanglede− ,ilestéqui-
3
latéralindirect.
EXERCICE 3 5points
Enseignementdespécialité
PartieA
Oncherchel’ensembledescouplesd’entiersrelatifs(x, y)solutionsdel’équation
(E): 16x−3y=4.
1. Lecouple(1,4)estunesolutionparticulièrede(E):16×1−3×4=16−12=4.
2.
(E): 16x−3y=16−4×3.
Donc16(x−1)=3(y−4).
3diviselesdeuxmembreset3premieravec16donc3divise(x−1)(GAUSS):il
existe j entiertelque(x−1)=3j onaalors16(3j)=3(y−4)donc16j=(y−4)
doncy=16j+4,onvérifie16×(3j+1)−3×(16j+4)=4,donc
S ={(3j+1; 16j+4)|j∈Z}
PartieB
p 3iπ′
8z = 2e z.
AmériqueduNord 4 3juin2010BaccalauréatS
p
1. Latransformationf estunesimilitudedirectedecentreOderapport 2d’angle
3π.8
2. a. La transformation g est une similtude directe de centre O de rapport
p 4 3π 3π 3π 3π 3π −π2 =4,d’angle + + + = = +2π.8 8 8 8 2 2
b. Pourtoutentiernatureln,
M = f(M )= f ◦ f(M )= f ◦ f ◦ f(M )= f ◦ f ◦ f ◦ f(M )=n+4 n+3 n+2 n+1 n
g(M ),n
doncM =g(M )n+4 n? ? π−−−→ −−−−−→
OM =4OM et OM , OM =− +k×2πoùk estunentier re-n+4 n n n+4
2
latif.
c. M =g(M ),M =g(M )etM =g(M )4 0 5 1 6 2
? ? π−−−→ −−−→
doncOM =4OM et OM , OM =−4 0 0 4
2? ? π−−−→ −−−→
OM =4OM et OM ,OM =−5 1 1 5
2? ?−−−→ −−−→ π
OM =4OM et OM , OM =− .6 2 2 6
2
p π 3nπi( + )n 2 83. Pourtoutentiernatureln, z =( 2) en
C’estunerécurrence:
? ??p ? π 3×0π0 i +
2 8pourn=0;z = 2 e =i:vrai.0
?p ? pπ 3×kπ 3πk i( + ) i
2 8 8Pourtoutk unentier telque z = 2 e alorsz = 2×e z =k k+1 k? ?
π 3×kπp p3π i +i k 2 882×e ×( 2) e
On regroupe les racines de 2 en additionnant les exposants, les exposants
3×(k+1)π3×kπ 3πdes exponentielles s’additionnent aussi et + = donc z =k+18 8 8? ?
π 3×(k+1)πp i +k+1 2 8( 2) e ce qui prouve que si la proposition est vraie au rang k
elleestvraieaurangk+1donc,enfait:
p π 3nπn i( + )
2 8Pourtoutentiernatureln, z =( 2) e .n
? ? p π 3×(n−p)π−−−→ −−−→ z i( + ) 3n n−p 2 84. a. OM , OM =arg( )=arg(( 2) e )=(n−p)× ×π.p n z 8p
b. Les points O, M et M sont alignés si et seulement si l’argument ci-p n
3dessusestunmultipledeπsietseulementsi(n−p)× sietseulementsi
8
8divise3(n−p),or8et3sontpremiersentreeuxdonc8divise 3(n−p)
sietseulementsi8divise(n−p)(GAUSS)sietseulementsi(n−p)estun
multiplede8.
5. L’ensembledesentiersnaturelsn telsquelepointM appartienneàlademi-n
3π πdroite[Ox)estl’ensembledesentiersnaturelsn telsn× + =2kπ,kentier,8 2
donc3n+4=16k donc16k−3n=4etonavuqu’alorsn=16j+4etk=3j+1,
j entier.
On veutn∈N, donc les entiersn cherchés vont de 16 en 16 à partir de 4 : ce
sont4; 20; 36; 52;??? suitearithmétiquederaison16.
EXERCICE 4 8points
PartieA:
x4×e 4 4
1. = ,donc f (x)= pourtoutx deR.1x −x −x −xe ×(1+7e ) 1+7e 1+7e
4 4
2. a. LacourbeC admetdeuxasymptotescar lim = =41 −xx→+∞7e +1 0+1
x4e 0
lim = =0
xx→−∞e +7 0+7
Doncen−∞asymptoteàC :ladroitehorizontaled’équationy=0.1
Doncen+∞asymptoteàC :ladroitehorizontaled’équationy=4.1
A