Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 \ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats 1. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : 2x + y ?3z +1= 0. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n'appartient pas à (P). Un vecteur normal à (P) est ??n (2 ; 1 ; ?3). H est le projeté orthogonal de A sur (P) si, et seulement si, ??? AH est colinéaire à ??n . On a :???AH(?1 ; ?9 ; ?6). Il est clair que les coordonnéesdes deux vecteurs ne sont pasproportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. H n'est pas le projeté orthogonal de A sur (P) : la proposition 1 est fausse. 2. On considère l'équation différentielle (E) : y ? = 2?2y . Cette équation s'écrit : y ? =?2y +2 qui d'après le cours, a pour solutions : u(x)= ke?2x +1, k ?R. La condition u(0)= 0 donne k +1= 0 donc k =?1. Par conséquent : u(x)=?e?2x +1= 1?e?2x . Alors : u ( ln2 2 ) = 1?e? ln2 = 1?eln 12 = 1? 12 = 1 2 donc la proposition 2 est vraie.

• affixe z


• zd ?


• angles ?


• similitude directe de point fixe?


• égalité sur les affixes


• points commun

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mai 2007
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

[CorrectionduBaccalauréatSAmériqueduNordmai2007\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
1. Leplan(P)aunepouréquationcartésienne:2x?y?3z?1?0.LescoordonnéesdeHvérifientcette
équationdoncHappartientà(P)etAn’appartientpasà(P).
!?Unvecteurnormalà(P) est n(2 ; 1 ;?3). Hest le projeté orthogonalde A sur(P) si, etseulement si,
?! !?AH estcolinéaireà n.
?!
Ona:AH(?1;?9;?6).Ilestclairquelescoordonnéesdesdeuxvecteursnesontpasproportionnelles
donclesvecteursnesontpascolinéaires.Hn’estpasleprojetéorthogonaldeAsur(P):laproposition
1estfausse.
02. Onconsidèrel’équationdifférentielle(E):y ?2?2y.
0 ?2xCetteéquations’écrit:y ??2y?2quid’aprèslecours,apoursolutions:u(x)?ke ?1,k2R.
?2x ?2xLaconditionu(0)?0donnek?1?0donck??1.Parconséquent:u(x)??e ?1?1?e .µ ¶
1ln2 1 1?ln2 ln
2Alors:u ?1?e ?1?e ?1? ? donclaproposition2estvraie.
2 2 2
p
3. Onconsidèrelasuite(u )définieparu ?2et,pourtoutentiernatureln,u ? 7u .n 0 n?1 n
Effectuonsunedémonstrationparrécurrence.
SoitP laproposition:«06u 67»n n
? (initialisation)u ?2donc06u 67.P estvraie.0 0 0
? (Hérédité)SupposonsP vraiepourunrangn.n
Alors:06u 67.Enmultipliantpar7,onobtient:067u 679. Commelafonctionracinecarrén n p p
estcroissantesursonensemblededéfinition,onendéduit:06 7u 6 49?7donclaproposi-n
tionestvraieaurangn?1.
Onamontréquelaparrécurrencequelapropositionestvraiepourtoutn,donclaproposition 3est
vraie.BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpaschoisilaspécialitémathématiques
2π
1. a. restlarotationdecentreOetd’angle .Uneécriturecomplexed’unerotationdecentreΩ(ω)
3
2π0 iθ 0 i
3etd’angleθ estz ?ω?e (z?ω)doncuneécriturederest: z ?e z .
5π 2π 5π π?i i ?i ?i
6 3 6 6b. B a pour affixe z ? e et C est l’image de B par r. On en déduit : z ? e ?e ? e .B C
π?i
6z ?e .C
p p
3 1 3 1
c. z ?? ? i et z ? ? i .B C
2 2 2 2
d. voirfigureàlafin
2. a. DestlebarycentredespointsA,BetCaffectédescoefficients2,-1et2.
??! ??! ??! ??!
Par conséquent : 2OA?OB?2OC ? (2?1?2)OD qui se traduit par l’égalité sur les affixes :Ã !p p
p1 1 3 1 3 1
2z ?z ?2z ?3z d’oùz ? (2z ?z ?2z )? 2i? ? i? 3?i ? ? i.A B C D D A B C
2 3 2 2 2 2
p
3 1
z ? ? i .D
2 2
¯ ¯
5π¯ ¯?i ix6b. jz j?jij?1;jz j?¯e ¯?1car,pourtoutx,je j?1.A B
¯ ¯
π π¯ ¯?i i
6 6Demême,jz j?¯e ¯?1;z ?e doncjz j?1.C D D
LesquatrepointsA,B,CetDsontsurlecerclecentreOetderayon1 .
03. a. hestl’homothétiedecentreAetderapport2.Uneécriturecomplexedehest:z ?z ?2(z?z )A A
0 0doncz ?i?2(z?i)soit: z ?2z?i .
p p p
b. Eestl’imagedeDparh.Ona:z ?2z ?i? 3?i?i? 3. z ? 3 .E D E
p p
3 1 3 1 Ã !p p? i? ? i
π πz ?z i 3 1 1 3 z ?zD C D C2 2 2 2 i i3 34. a. ? p ? p ?i ? i ? ?i ?e . ?e .
z ?z p 2 2 2 2 z ?zE C 3 1 3 1 E C
3? ? i ? i
2 2 2 2¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯z ?z CD πD C ¯ ¯i¯ ¯ 3b. Onendéduit: ? ?¯e ¯?1doncCD?CE.¯ ¯z ?z CEE Cµ ¶ ³ ´ ³ ´
πz ?z ?! ?! πD C i
3arg ? CE ; CD ?arg e ? à2kπprès.
z ?z 3E C
π
CDEestisocèleetl’angleausommetvaut :c’estuntriangleéquilatéral.
3
A
D!?v
!?O Eu
1
B ?
2 C
AmériqueduNord Page2/6 mai2007
bbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantchoisilaspécialitémathématiques
01. f estlatransformationdontuneécriturecomplexeest:z ?(2?2i)z?1.Cetteécritureestdelaforme
0z ?αz?βavecα?2?2ietβ?1donc festunesimilitudedirecte .
β 1 1 ?1?2i 1 2
ElleapourpointfixeΩd’affixeωavecω? ? ? ? ?? ? i.
1?α 1?(2?2i) ?1?2i 5 5 5p
Lerapportdecettesimilitudeestjαj?j2?2ij?j2(1?i)j?2j1?ij?2 2.µ ¶
p p π1 1 π?i
4α?2?2i?2 2 p ?p i ?2 2e .Unargumentdeαest? .
42 2
µ ¶ p1 2 π
f estlasimilitudedirectedepointfixeΩ ? ? i ,derapport2 2etd’angle? .
5 5 4
0 02. a. SoitB’l’imagedeBparf:z ?(2?2i)z ?1?(2?2i)(?4?2i)?1??3?12i.z ??3?12i.B B B
z 0?z ?3?12i?1?4i ?4?8i ?4(1?2i) ?4B C
b. ? ? ? ? ?4i.
z ?z 3?5i?1?4i 2?i i(1?2i) iA C µ ¶³ ´??! 0?! z ?z πB C0Onendéduitque CA ; CB ?arg ?arg(4i)? ?2kπ,k2Z.
z ?z 2A C
Parconséquent,lesdroites(CB’)et(CA)sontorthogonales.
0 0 03. Soit M d’affixez?x?iy.M ?f(M) a pour affixez avec z ?(2?2i)z?1?(2?2i)(x?iy)?1?2x?
2y?1?i(2z?2x).
??!
0 0CM apouraffixez ?z ?2x?2y?(2x?2y?4)i.C
?!
CA apouraffixez?!?a?c?2?i.
CA
??! ?!0LescoordonnéesdesvecteursCM etCA sontrespectivement(2x?2y ; 2y?2x?4)et(2; 1).
???! ??!0CM etCA sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire si et seule-
mentsi2(2x?2y)?2y?2x?4?0soit x?3y?2 aprèssimplifications.
4. Soitl’équation(E);x?3y?2,oùx et y sontdesentiersrelatifs.
a. ?4?3?2??4?6?2donc(?4; 2)estsolutionde(E).
b. (E)s’écritalors:x?3y??4?3?2,c’est-à-direx?4?3(2?y).
3divise3(2?y)donc3divisex?4.Ilexistek2Ztelquex?4?3k.
Enremplaçantdansl’équation,onobtient:3k?3(2?y)d’où2?y?k quidonne y?2?k.
L’ensembledessolutionsde(E)est S ?{(?4?3k ; 2?k), k2Z}
c. Oncherchelescouplessolutionsde(E)vérifiant?56x65et?56y65.
1
?56?4?3k65donne?163k69d’où? 6k63.Alorsk2{0; 1; 2; 3}.
3
?562?k65donne?76?k63d’où?36k67.
Finalement,lesvaleurspossiblespourk sont0,1,2ou3.
LespointsMdontlescoordonnéessont desentiersappartenantàl’intervalle [-5;5]ettelsque
??! ?!0lesvecteursCM etCA soientorthogonauxsontlespointsdecoordonnées(-4;2),(-1;1),(2;0)
et(5;-1).
Remarque:onretrouvelepointBqu’onavaittrouvéàlaquestion2)a).
AmériqueduNord Page3/6 mai2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
0,1 E (X?3)3
E2
0,9
0,1
E (X?2)3
E1
0,9
0,050,2 E (X?2)3
E2
0,95
E (X?1)3
0,1 E (X?2)0,8 3
E2
0,9
0,05
E (X?1)3
E1
0,95
0,05 E (X?1)3
E2
0,95
E (X?0)3
1. Représentonsunarbre:(voirci-dessus)
X est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières
parties.
a. X peutprendrelesvaleurs0,1,2ou3.
b. (X?2)?(E \E \E )[(E \E \E )[(E \E \E ).1 2 3 1 2 3 1 2 3
C’estuneréuniond’événementsincompatibles,donc:
p(X?2)?p(E \E \E )?p(E \E \E )?p(E \E \E )?(0,2?0,1?0,9)?(0,2?0,9?0,05)?1 2 3 1 2 3 1 2 3
(0,8?0,05?0,1)?0,031.
p(X?2)? 0,031 .
Demême:p(X?3)?p(E \E \E )?0,2?0,1?0,1? 0,002 .1 2 3
c. p(X?0)?p(E \E \E )?0,8?0,95?0,95? 0,722 .1 2 3
p(X?1)?1?[p(X?0)?p(X?2)?p(X?3)]?1?(0,722?0,031?0,002)? 0,245 .
OnendéduitlaloideprobabilitédeX,résuméedansletableausuivant:
x 0 1 2 3i
p(X?x ) 0,722 0,245 0,031 0,002i
3X
d. L’espérancedeX estE(X)? x p(X?x )?(0?0,722)?(1?0,245)?(2?0,031)?(3?0,002)?i i
i?0
0,313.
E(X)?0,313 .
AmériqueduNord Page4/6 mai2007
bbbbbbbbbbbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. a. Pourtoutn nonnul,p(E \E )?p (E )?p(E )?0,1?p(E )? 0,1p .n n?1 E n?1 n n nn
Demême:p(E \E )?p (E )?p(E )?0,05?(1?p(E ))? 0,05(1?p ) .n n?1 n?1 n n nEn
b. Ona:E ?(E \E )[(E \E )(réuniond’événementsincompatibles).Parconséquent:n?1 n n?1 n n?1
p ?p(E )?p(E \E )?p(E \E )?0,1p ?0,05(1?p )? 0,05p ?0,05n?1 n?1 n n?1 n n?1 n n n
1
3. Soitlasuite(u )définiepourtoutentiernatureln nonnulpar:u ?p ? .n n n
19
1 1 1 1 1 1 1
a. Pour tout n 6? 0, u ? p ? ? 0,05p ?0,05? ? p ? ? ? p ? ?n?1 n?1 n n n
19 19 20 20 19 20 380· ¸
1 1 1
p ? ? u .n n
20 19 20
1 1
Pourtoutn6?0,u ? u donc(u ) estunesuitegéométrique, de raisonq? etde pre-n?1 n n20 20
1 1 1 1 14
miertermeu ?p ? ?0,2? ? ? ? .1 1
19 19 5 19 95
µ ¶ µ ¶n?1 n?114 1 1 1 14 1n?1b. Onendéduit:u ?u q doncu ? etp ?u ? ? ? .n 1 n n n
95 20 19 19 95 20
µ ¶n?11 1 1
c. ?1? ?1donc lim ?0etparconséquent: lim p ? .n
n!?1 n!?120 20 19
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
1. Restitutionorganiséedeconnaissances.
2xxa. Soitlafonctiondéfiniesur[0;?1[parg(x)?e ? .
2
0 xg estdérivablecommedifférencedefonctionsdérivables; pourtoutx de[0;?1[,g (x)?e ?
xx?0puisquee ?x pourtoutx.
0g (x)estdoncpositifetgestcroissantesur[0;?1[;g(0)?1donc,pourtoutx>0,g(x)>g(0)?
1donc g(x)?0 .
2 xx e xxb. On en déduit que, pour tout x>0, e > . Pour x?0, en divisant par x, on obtient : ? .
2 x 2
xx e
Comme lim ??1,d’aprèslepré-requis,onendéduit lim ? ?1 .
x!?1 x!?12 x
1 x?
22. Soit f lafonctiondéfiniesur[0;?1[par f(x)? xe .
4
a. Lafonctionexponentielleestpositivesur[0;?1[donc,pourtoutx de[0;?1[, f(x)>0 .
1x x x?
2b. Pourtoutx>0, f(x)? e .OnposeX? . lim X??1.
x!?12 2 2
Parconséquent,d’aprèslethéorèmesurlacompositiondeslimites,ona:
1 1 X?Xlim f(x)? lim Xe ? lim .
Xx!?1 X!?1 X!?12 2e
xe X
Onavudanslaquestion1.que lim ??1donc lim ?0.
Xx!?1 X!?1x e
Par conséquent : lim f(x)? 0. La courbeC admet donc une asymptote d’&#